【同步练习】北师大版（2019） 高中数学 必修第二册 综合检测卷B

这是一份【同步练习】北师大版（2019） 高中数学 必修第二册 综合检测卷B，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北师大版（2019）必修第二册综合检测卷
一、单选题
1．下列命题正确的是（       ）
A．与平面内无数条直线垂直的直线与该平面垂直
B．过直线外一点可以作无数条直线与该直线平行
C．各面都是正三角形的四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合
D．各面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥
2．已知等边△的边长为，点，分别为，的中点，若，且，则（       ）
A． B． C． D．
3．在中，，且，则“”是“为锐角三角形”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知复数z满足，则（       ）
A． B． C． D．
5．中国古代数学典籍《算数书》，记载有一个计算圆锥体积的近似公式：设圆锥底面周长为L，高为h，则其体积V的近似公式为，根据该公式圆锥底面周长与底面圆半径之比约为（       ）
A．2 B．3 C．6 D．12
6．函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，则函数的解析式是（       ）

A．
B．
C．
D．
7．若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为，则扇形的面积为（       ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．若函数满足对都有，且为R上的奇函数，当时，，则的零点个数为（       ）
A．2 B．3
C．4 D．5
二、多选题
9．若，则角θ的取值范围可能为（       ）
A． B． C． D．
10．已知函数，以下判断正确的是（       ）
A．f（x）的最小正周期为 B．f（x）的最小正周期为π
C．是图象的一个对称中心 D．是图象的一个对称中心
11．在中，已知为的中点，E为的中点，与相交于点M，下列结论中正确的是（       ）
A．点M为的重心 B． C． D．
12．将函数图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数为偶函数，则的可能值为（       ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．若，则与同方向的单位向量是_______.
14．若，，则______.
15．设非零向量满足，则的最大值为________.
16．设非零向量满足，，，则的最大值为________.
四、解答题
17．用一个平面去截长方体，截面的形状将会是什么样的？若想看到截面的样子，可以用一个长方体的盒子，内装一定量的液体，以不同的方向角度倾斜．观察液体表面的变化，我们看到：液面可以是三角形、四边形、五边形或六边形．观察并思考下列问题：

(1)液面不会是七边形，为什么？
(2)当液面是三角形时，一定是锐角三角形，为什么？
(3)当液面是四边形时，这个四边形有什么特点？
(4)设长方体有公共顶点的三条棱长分别为a，b，c（），液面会是正方形吗？
(5)液面不会是正五边形，为什么？
(6)在什么条件下，液面呈正六边形？
(7)当液面是三角形时，液体体积与长方体体积之比的范围是多少？
(8)当液面是六边形时，液体体积与长方体体积之比的范围是多少？
18．求解下列问题
(1)已知，且为第二象限角，求的值.
(2)已知，求的值
19．如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现：图中圆柱的体积是球体积的，圆柱的表面积也是球表面积的．他的发现是否正确？试说明理由．

20．如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点．求：

(1)四棱锥的体积；
(2)三棱锥的体积．
21．如图，EA和DC都垂直于平面ABC，，F，G分别是EB和AB的中点．求证：

(1)平面ABC；
(2)平面ABC．
22．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面平面SBC，，M是BC的中点，，.

(1)求证：.
(2)若，求四棱锥的体积.

参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
由直线与平面垂直的定义判断A；由平行公理判断B；正四面体的特性判断C；举例说明判断D作答.
【详解】
对于A，一条直线与平面内的任意直线垂直，则直线与平面垂直，而无数条直线可以是一组平行直线，A不正确；
对于B，由平行公理知，过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，B不正确；
对于C，因各面都是正三角形的四面体是正四面体，而正四面体的外接球球心和内切球球心重合，C正确；
对于D，三棱锥中，，
显然三棱锥各面都是等腰三角形，而三棱锥不是正三棱锥，D不正确.
故选：C
2．C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，把向量用向量和表示，结合可求得的值.
【详解】
由已知条件,图形如下图所示：




,
解得.
故选：.
3．A
【解析】
【分析】
由已知先求，可得，然后可解.
【详解】
因为，解得，即，
所以，若，则，此时，为锐角三角形；
若为锐角三角形，取，则，故“”是“为锐角三角形”的充分不必要条件.
故选：A
4．D
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算求出z，再求出z+i的模.
【详解】
由题意，∴，∴．
故选：D．
5．C
【解析】
【分析】
由圆锥体积公式与近似公式可得的近似值，然后可得.
【详解】
圆锥底面周长L与底面圆半径r之比，由圆锥体积可得，即，所以，所以圆锥底面周长与底面圆半径之比6.
故选：C．
6．C
【解析】
【分析】
根据图象求出函数的解析式，再根据平移变换求出的解析式.
【详解】
由图可知；设周期为，则，所以；
又，所以.
由，，令，得.
所以；
因为将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，
所以.
故选：C.
7．C
【解析】
【分析】
求出扇形的弧长，再利用扇形的面积公式求解.
【详解】
解：设扇形的弧长为，
由题得.
所以扇形的面积为.
故选：C
8．C
【解析】
【分析】
分析函数的性质，在同一坐标系内作出函数与的部分图象，再借助图象求解作答.
【详解】
依题意，，为R上的奇函数，即，则，因此，是周期为2的周期函数，
当时，是递增的，令，有，即，
在同一坐标系内作出函数与的部分图象，如图，

观察图象得函数与的图象有4个公共点，
所以的零点个数为4.
故选：C
9．BD
【解析】
【分析】
根据给定条件利用平方关系化简等式左边，再分析比较的符号即可推理作答.
【详解】
依题意，，
则，即，由给定选项知，角终边不在坐标轴上，
从而有与异号，为第二象限角或第四象限角，
若为第二象限角，则，，，
若为第四象限角，则，，.
故选：BD
10．AD
【解析】
【分析】
根据正切函数的性质求最小正周期，再应用代入法判断对称中心即可.
【详解】
由正切函数的性质知：，A正确，B错误；
，故不是的对称中心，C错误；
，故是的对称中心，D正确.
故选：AD
11．ABD
【解析】
【分析】
根据重心的概念及性质可判断选项A，B；由余弦定理可判断C，D.
【详解】
对于A，由重心的概念，三角形中线的交点为三角形的重心，故A正确；
对于B，中，已知，E为的中点，可得,
,根据选项A，由重心的性质可知,从而可知，故B正确；
对于C，在中，由余弦定理，
有，故C不正确；
对于D，由选项C，在中，由余弦定理，
.
故选：ABD
12．BD
【解析】
【分析】
利用图像平移求出，由为偶函数，所以.对四个选项一一验证即可.
【详解】




将函数图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
所以.
因为为偶函数，所以.
对于A：当时，由解得：，不合题意，应舍去.故A错误；
对于B：当时，由解得：，符合题意.故B正确；
对于C：当时，由解得：，不合题意，应舍去.故C错误；
对于D：当时，由解得：，符合题意.故D正确.
故选：BD
13．
【解析】
【分析】
由已知条件先出即可得答案.
【详解】
解：因为，所以，
所以与同方向的单位向量是，
故答案为：.
14．##-0.25
【解析】
【分析】
切化弦，再利用二倍角正余弦公式化简计算作答.
【详解】
依题意，，因，则，
则有，解得，
所以.
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
利用向量的数量积公式，再利用判别式公式可得，进而可求解
【详解】
∵，∴，
∴
即，

解得，即的最大值为.
答案：
16．##
【解析】
【分析】
将变形为，则，展开后的看成关于的一元二次方程，根据方程有解，判别式大于或等于零即可求出的最大值.
【详解】
，
，
，
即，
，
解得，即的最大值为.
故答案为：.
17．(1)理由见解析；
(2)理由见解析；
(3)液面四边形平行四边形(包含矩形、菱形)或梯形；
(4)可以是正方形，理由见解析；
(5)理由见解析；
(6)长方体是正方体，且液面过正方体的六条棱(除以正方体的一条体对角线二端点为端点的6条棱外)的中点；
(7)；
(8).
【解析】
【分析】
(1)根据液面多边形的边是液面所在平面与长方体的面的交线，结合长方体面数判断作答.
(2)设出液面三角形为底面的三棱锥侧棱长，借助余弦定理计算作答.
(3)作出图形并说明判断作答.
(4)作出图形并计算说明作答.
(5)利用两个平面平行的性质推理作答.
(6)液面与长方体的6个面都相交，液面要为正六边形，改变长方体形状即可作答.
(7)液面为三角形时，求出最大液面所对锥体体积计算作答.
(8)液面为六边形时，求出最大液面所对锥体体积，经推理计算作答.
(1)
因液面多边形的边是液面所在平面与长方体的某个面的交线，而长方体只有六个面，则液面与长方体面的交线最多六条，
即液面多边形边数最多是六条，所以液面不会是七边形.
(2)
如图，三棱锥中，是液面三角形，必有两两垂直，令，

则有，
中，由余弦定理得：，则是锐角，
同理都是锐角，即是锐角三角形，
所以当液面是三角形时，一定是锐角三角形.
(3)
当液面是四边形时，液面所在平面必与长方体的四个面相交，
①当液面与长方体一对平行平面和两个相交平面的四个平面相交时，液面四边形为矩形或梯形，
当液面与长方体一条棱平行时，液面四边形为矩形，如图，液面四边形，棱平面，

则有，，即四边形为平行四边形，而平面，
即有平面，有，因此，四边形为矩形；
当液面与长方体棱不平行时，液面四边形为梯形，如图，液面四边形，棱与平面不平行，

而平面平面，有，显然，否则是平行四边形，
有，即有平面，矛盾，于是得四边形是梯形，
②当液面与长方体的两对平行平面的四个平面相交时，液面四边形为平行四边形，包含矩形、菱形，
当液面与长方体的两对平行平面相交时，如图，由面面平行的性质知，， 四边形为平行四边形，

如：平行四边形的边与长方体的某条棱平行，四边形为矩形，如图，

如：平行四边形的顶点A，C是长方体的一条体对角线的端点，B，D是另一组相对侧棱的中点，四边形为菱形，如图，

综上得，液面四边形是平行四边形(包含矩形、菱形)或梯形.
(4)
液面可以是正方形，如图，长方体的底面矩形边，其高为c，在侧棱上取点，使，

过点A，D，B的平面截长方体可得截面，，是平行四边形，又平面，
，而，即平行四边形是正方形，四边形若是液面四边形，则液面是正方形.
(5)
当液面是五边形时，液面只与长方体的五个面有交线，而一个平面与长方体的五个面相交，必有两组相对面，
又长方体的每一组相对面平行，由两个平面平行的性质知，截面五边形必有两组平行的边，
因正五边形的任意两条边都不平行，则一平面截长方体所得五边形截面不可能是正五边形，
所以液面五边形不是正五边形.
(6)
液面呈正六边形，液面与长方体的六个面都相交，作长方体共顶点的三个面的面对角线围成三角形，如图，

在长方体棱PM上任取一点A(除端点P，M外)，过点A作出平面平行的平面截长方体可得六边形，
六边形可视为平面由点P向点M方向移动点A到某一位置的平面截长方体所得截面，
而，要为正六边形，必有，由，
得，，而，于是得：，又点A，D平移的速度相等，
即，则，因此，，点D是棱RG的中点，
同理，点A，B，C， E，F都是它们所在棱的中点，由可得，
长方体的长、宽、高分别为PM、PN、NR，因此有，
于是得，此时长方体的共点三条棱长相等，即为正方体，
所以长方体是正方体，且液面过正方体的六条棱(以正方体的一条体对角线二端点为端点的6条棱除外)的中点时，液面呈正六边形.
(7)
当液面是三角形时，液面只与长方体的三个面相交，最大液面是长方体共顶点的三个面的面对角线围成三角形，如图，

液面三角形顶点F，D，E在棱PA，PB，PC上任意移动(除点P外)，长方体体积，
，
则当三棱锥盛满液体时，液体体积与长方体体积之比，
当长方体去掉三棱锥余下部分盛满液体时，所求体积比为，
所以液体体积与长方体体积之比的范围是.
(8)
作长方体共顶点的三个面的面对角线围成的三角形，如图中和，并且平面平面，

在长方体棱PM上任取一点A(除端点P，M外)，过点A作出平面平行的平面截长方体可得六边形ABCDEF，
长方体体积，三棱锥体积，令三棱锥部分有液体，
当液面是六边形时，则液面六边形必漫过，液体体积有，液面六边形将无限接近，有，
当液面六边形在两个平行平面与平面之间任意变换，即液面六边形所在平面可与平面平行，相交均满足，
所以液体体积与长方体体积之比的范围是.
【点睛】
方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；
平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；
延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）结合同角三角函数的基本关系式求得.
（2）结合同角三角函数的基本关系式求得、，从而求得.
(1)
，且为第二象限角，
，
.
(2)
，
，
又，
，
.
19．正确，理由见解析
【解析】
【分析】
设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，分别求出球与圆柱的体积与表面积，作比即可得出结论．
【详解】
解：设球的半径为，
则圆柱的底面半径为，高为，
，，
，
，，
．
所以他的发现正确.
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得到底面的距离为，直接利用椎体体积公式进行求解即可；
（2）利用转体积法，进行计算即可得解.
(1)
由平面ABCD，所以到底面的距离为，
由E为PC中点，所以到底面的距离为，
所以，
(2)
由平面ABCD，所以，
又底面为正方形，所以，和相交，
所以平面，
所以到平面的距离为，
所以.
21．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件证明，再结合线面垂直的判断即可推理作答.
(2)连接，证明四边形是平行四边形即可推理作答.
(1)
因F，G分别是EB和AB的中点，则，，而平面，
平面ABC，则，即，又，

所以平面.
(2)
连接，如图，

由(1)知平面，而平面，则，而，
因此，四边形是平行四边形，则，而平面，平面，
所以平面.
22．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知平面平面SBC利用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理可以推出，利用M是BC的中点，，，使用勾股定理可以推出，再使用线面垂直的判定定理可以推出，最后使用线面垂直的性质定理可以推出结论；
（2）由已知利用M是BC的中点，，平面平面SBC利用面面垂直的性质定理可以推出，即可确定即为四棱锥的高，然后利用体积公式即可完成求解.
(1)
因为平面平面SBC，，，
M是BC的中点，所以，所以，
而，所以，
在矩形ABCD中，M是BC的中点，，，所以，
所以，而，，
所以，
而，
所以；
(2)
因为平面平面SBC，，，
M是BC的中点，所以，所以，
即为四棱锥的高，因为，
，所以，
所以四棱锥的体积为
.
故四棱锥的体积为.