冀教版数学八年级上册第十七章特殊三角形 综合素质评价（含解析） 试卷

这是一份冀教版数学八年级上册第十七章特殊三角形 综合素质评价（含解析），共19页。

第十七章综合素质评价
一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)
1．在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝6，则AC的长为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是边AB上的中线且AB＝10，则CD的长为(　　)
A．10 B．8 C．5 D．6
3．下列各组数据中，不能作为一个直角三角形三边长的是(　　)
A．3，5，7 B．6，8，10 C．5，12，13 D．1，，2
4．【母题：教材P164习题T2】用反证法证明命题“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°.”第一步应先假设(　　)
A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠B＜90° D．AB≠AC
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为(　　)
A．35° B．45° C．55° D．60°
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠C＝48°，AD垂直BC于点D，则∠BAD的度数是(　　)
A．15° B．16° C．18° D．20°

7．如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图②所示的四边形OABC.若OC＝，BC＝1，∠AOB＝30°，则OA的值为(　　)
A. B. C. D．1
8．如图，甲，乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45度方向航行，乙轮船向南偏西45度方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船的距离AB为60海里，则乙轮船的速度是(　　)
A．20海里/时 B．20海里/时
C．10海里/时 D．40海里/时
9．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，则下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是(　　)
A．AB＝DE，AC＝DF B．∠C＝∠E，AC＝DF
C．AB＝DE，BC＝EF D．∠C＝∠F，BC＝EF
10．一个等腰三角形一边长为4，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为(　　)
A．4＋ B．4＋2 C．8＋或4＋2 D．8＋
11．如图，过等边三角形ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是(　　)
A．100° B．80° C．60° D．40°
12．如图，在△ABC中，AB＝BC，以点B为圆心，适当长为半径画弧交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线BD交AC于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝4，则△CEF的周长是(　　)

A．8 B．2＋2 C．2＋6 D．2＋2
13．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为(　　)
A. B. C．4 D．5
14．如图，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6 cm，点P是BC上一点，且PC＝BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬行到点P的最短路程是(　　)
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
15．我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则符合条件的格点C的个数是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6

16．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生”出两个小正方形，如图①，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了图②，如果继续“生长”下去 ，它将变得“枝繁叶茂”，则“生长”了2 024次后形成的图形中所有正方形的面积和是(　　)
A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025
二、填空题(17，18题每题3分，19题4分，共10分)
17．如图，∠MAN＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠FEM＝________．
18．如图，在边长为a、高为b的等边三角形ABC的外侧作等腰直角△ABE，其中∠ABE＝90°，AB＝EB，过点E作EF⊥BC，垂足为F，则△EFB的周长＝________．

19．【规律探究】如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长为1，以它的斜边AC为直角边画第二个等腰直角三角形ACD，再以斜边AD为直角边画第三个等腰直角三角形ADE，…，依此类推，AC的长为，AD的长为2，…，第四个等腰直角三角形斜边AF的长为________，则第n个等腰直角三角形斜边的长为________．
三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题12分，共68分)
20．【母题：教材P166复习题A组T1】如图，点D，E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE.求证：AB＝AC.



21．如图，AE是△ABC外角的平分线，且AE∥BC.求证：△ABC是等腰三角形．

22．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数．




23．如图，对角线AB把四边形ACBE分为△ABC和△ABE两部分，如果△ABC中BC边上的高和△ABE中BE边上的高相等，且AC＝AE.
(1)在原图上画出△ABC中BC边上的高AD与△ABE中BE边上的高AF.
(2)请你猜想BC与BE的数量关系，并证明．






24．如图，在铁路CD同侧有两个村庄A，B，它们到铁路的距离分别是15 km和10 km，作AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且CD＝25 km.已知铁路旁有一个农副产品收购站E，且AE＝BE，求CE的长．





25．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(P与A，C不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B沿CB延长线方向运动(Q与B不重合)，过P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.
(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长．
(2)运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不发生变化，求出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由．



26．如图①，在等腰直角三角形BCD中，∠BDC＝90°， BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，连接AC.
(1)求证：△FBD≌△ACD.
(2)延长BF交AC于点E，且BE⊥AC，求证：CE＝BF.
(3)在(2)的条件下，H是BC边的中点，连接DH，与BE相交于点G，如图②. 试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并证明你的结论．

答案
一、1.D　2.C　3.A　4.A
5．C　【点拨】由等腰三角形“三线合一”性质可知，∠CAD＝ ∠BAD＝35°，∠ADC＝90°，∴∠C＝180°－90°－35°＝55°.
6．D　【点拨】由题意易得∠CAD＝180°－90°－48°＝42°，
∴∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝20°.
7．A　【点拨】∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，∴OB＝＝＝2.
∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB＝OB＝1，∴OA＝＝＝.
8．C　【点拨】由题意得OB＝2×20＝40(海里)，AB＝60海里， ∠AOB＝45°＋45°＝90°，
∴OA＝＝＝20 (海里),
∴乙轮船的速度是20÷2＝10(海里/时)．
9．B　【点拨】A.由SAS能判定△ABC和△DEF全等；B.∠C与∠E不是对应角，不能判定Rt△ABC和Rt△DEF全等；C.由HL能判定Rt△ABC和Rt△DEF全等；D.由AAS能判定△ABC和△DEF全等．
10．D　【点拨】当长为4的边为底边时，则这个三角形的三边长为4，，，∵＋＝2<4，∴不能构成三角形，不符合题意；当长为4的边为腰时，则这个三角形的三边长为4，4，，∵4－<4<4＋，∴能构成三角形，符合题意，∴这个等腰三角形的周长为4＋4＋＝8＋.
11．A　【点拨】对图形进行角标注，如图所示．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°.
∵∠1＝20°，
∴∠2＝∠3＝180°－20°－60°＝100°.
12．D　【点拨】由题意得，BE为∠ABC的平分线，又∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝2.
在Rt△BCE中，由勾股定理得，AB＝BC＝＝2.∵点F为BC的中点，∴EF＝BC＝，CF＝BC＝，∴△CEF的周长为＋＋2＝2＋2.
13．C　【点拨】设BN＝x，由折叠可得DN＝AN＝9－x.因为点D是BC的中点，所以BD＝3.在Rt△BDN中，x2＋32＝(9－x)2，解得x＝4，即BN的长为4.
14．C　【点拨】

将圆柱侧面沿着AD剪开，并展开，如图，点A到点P的最短路程即为线段AP的长．PC＝BC＝6×＝4(cm)，AC＝×6＝3(cm)．在Rt△ACP中，AP＝＝＝5(cm)．

15．C　【点拨】如图，分情况讨论：①AB为等腰直角三角形ABC的底边时，符合条件的格点C有2个；②AB为等腰直角三角形ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个．故共有5个符合条件的格点C.
16．D　【点拨】根据勾股定理和正方形的面积公式，可知以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积，据此即可得出答案．
二、17.75°　【点拨】∠FEM＝∠EFA＋∠A＝∠EDF＋∠A＝∠DEA＋2∠A＝∠DCE＋2∠A＝∠CDA＋3∠A＝∠CBD＋3∠A＝5∠A＝75°.
18.a＋b　【点拨】如图，过点A作AD⊥BC于点D.

∵等边三角形ABC的边长为a、高为b，∴AB＝BC＝a，AD＝b，∴BD＝BC＝a.
∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADB＝∠BFE＝90°.
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.
∵∠ABE＝90°，∴∠EBF＝30°，
∴∠BEF＝60°＝∠ABD，
在△BEF和△ABD中，
∴△BEF≌△ABD(AAS)，
∴△EFB的周长＝△ABD的周长＝a＋a＋b＝a＋b.
19．4；()n　【点拨】在直角三角形中由勾股定理可以得出：第一个等腰直角三角形斜边长为AC＝，第二个等腰直角三角形斜边长为AD＝2＝()2，第三个等腰直角三角形斜边长为AE＝2＝()3，第四个等腰直角三角形斜边长为AF＝()4，……
依此类推，第n个等腰直角三角形斜边长为()n.
三、20.证明：∵AD＝AE，∴∠ADC ＝∠AEB，
∴∠ADB ＝∠AEC.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AB＝AC.
21．证明：∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C.
∵AE是△ABC外角的平分线，
∴∠DAE＝∠EAC，∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形．
22．解：在△ABC中，CE，BF是两条高，
∴∠AEC＝∠AFB＝90°.
∵∠A＝70°，∴∠EBF＝20°，∠ECA＝20°.
又∵∠BCE＝30°，∴∠ACB＝30°＋20°＝50°，
∴∠FBC＝90°－50°＝40°.
23．解：(1)画出高AD，AF，如图所示．

(2)猜想：BC＝BE.证明如下：
∵AD⊥BC，AF⊥BE，
∴△ACD，△AEF，△ABD，△ABF都是直角三角形．
在Rt△ACD和Rt△AEF中，

∴Rt△ACD≌Rt△AEF(HL)．
∴CD＝EF.
在Rt△ABD和Rt△ABF中，

∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.
24．解：在Rt△ACE中，根据勾股定理，得AC2＋CE2＝AE2.在Rt△BDE中，根据勾股定理，得BD2＋DE2＝BE2.∵AE＝BE，∴AE2＝BE2，即AC2＋CE2＝BD2＋DE2.设CE＝x km，则152＋x2＝102＋(25－x)2，解得x＝10.∴CE＝10 km.
25．解：(1)如图，过点P作PF∥QC交AB于点F，则△AFP是等边三角形，∠DQB＝∠DPF，

∴AP＝FP＝AF.
∵P，Q同时出发，速度相同，
∴BQ＝AP.∴BQ＝FP.
又∵∠BDQ＝∠FDP，
∴△DBQ≌△DFP(AAS)，∴BD＝FD.
易知∠BDQ＝∠FDP＝∠FPD＝∠BQD＝30°，
∴DF＝FP＝AF.∴BD＝DF＝FA＝AB＝×6＝2.
∴AP＝2.
(2)运动过程中线段ED的长不发生变化．
由(1)知BD＝DF，△APF是等边三角形，PE⊥AF，
∴AE＝EF.
又∵DE＋(BD＋AE)＝AB＝6，
∴DE＋(DF＋EF)＝6，
即DE＋DE＝6，∴DE＝3.
故运动过程中线段ED的长不发生变化．
26．(1)证明：∵△BCD是等腰直角三角形，且∠BDC＝90°，∴BD＝CD，∠BDC＝∠CDA＝90°.
在△FBD和△ACD中，
∴△FBD≌△ACD(SAS)．
(2)证明：∵BE⊥AC，∴∠BEA＝∠BEC＝90°.
∵BF平分∠DBC，∴∠ABE＝∠CBE.
又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(ASA)，
∴AE＝CE.∴CE＝AC.
由(1)知△FBD≌△ACD，
∴BF＝CA，∴CE＝BF.
(3)解：BG2＝GE2＋CE2.证明如下：连接CG，
∵H是BC边的中点，BD＝CD，
∴HD垂直平分BC，∴BG＝CG.
∵BE⊥AC，
∴在Rt△CEG中，CG2＝GE2＋CE2，∴BG2＝GE2＋CE2.
【点拨】本题综合考查全等三角形的判定与性质及通过添加辅助线利用勾股定理解决问题．