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沪科版数学九年级上册 期末测试数学卷（困难）（含答案）
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这是一份沪科版数学九年级上册 期末测试数学卷（困难）（含答案），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
沪科版初中数学九年级上册期末测试卷
考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1. 如图，已知AB=18，点C在线段AB上，且AC=6，以AC为一边向上作等边△ACD，再以CD为直角边向右作Rt△DCE，使∠DCE=90°，F为斜边DE的中点，连接BF，随着CE边长的变化，BF长也在改变，则BF长的最小值为( )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 6
2. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示，下列结论：
①abc<0；②2a−b<0；③b2>(a+c)2；④点(−3,y1)，(1,y2)都在抛物线上，则有y1>y2．
其中正确的结论有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
3. 某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y(间)与定价x(元/间)之间满足y=14x−42(x≥168).若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为( )
A. 252元/间 B. 256元/间 C. 258元/间 D. 260元/间
4. 如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
5. 如图在平面直角坐标系xOy中，点A、D在第一象限内且点A(a−1,43a−13)，点C(−34,0)，点B(2,0)，∠ACD=45∘，点B到射线CD的最小值是( )
A. 223 B. 15342 C. 57 D. 11240
6. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE//BF交AC于点N.交AB于点E，连接FN，EM.有下列结论：①四边形NEMF为平行四边形；②DN2=MC⋅NC；③△DNF为等边三角形；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的序号是( )
A. ①②④ B. ①②③ C. ①③ D. ②③④
7. 如图，△ABC中，点D在AB上，过点D作DE//BC交AC于点E，过点E作EF//AB交BC于点F，连接CD，交EF于点G，则下列说法不正确的是( )
A. BDFG=BFFC B. DEBC=AEAC
C. ADAB=AEAC D. BFBC=ADAB
8. 以OA为斜边作等腰直角△OAB，再以OB为斜边在△OAB外侧作等腰直角△OBC，如此继续，得到8个等腰直角三角形(如图)，则图中△OAB与△OHI的面积比值是( )
A. 32 B. 64 C. 128 D. 256
9. 我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．根据定义：
①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c=1：3：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A、B重合)，D是半圆 ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE.则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC=120°.其中，说法正确的有( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
10. 四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°、270°角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的T字形和V字形，那么T字形图中高与宽的比值ℎl为( )
A. 2 B. 2+12 C. 4+24 D. 322
11. 在正方形ABCD中，AB=2，点E是BC边的中点，连接DE，延长EC至点F，使得EF=DE，过点F作FG⊥DE，分别交CD、AB于N、G两点，连接CM、EG、EN，下列正确的是( )
①tan∠GFB=12；
②MN=NC；
③CMEG=12；
④S四边形GBEM=5+12．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
12. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y=−1x(x<0)，y=4x(x>0)的图象上，则sin∠ABO的值为( )
A. 13 B. 33 C. 54 D. 55
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图，已知抛物线y=a(x+3)(x−2)过点A(−1,6)和点B(−2,m)，与x轴的正半轴交于点C，点M是抛物线上一点且A，B两点到直线MC的距离相等，点M的横坐标为______．
14. 如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E.若AB=6，AD=2CD，BE=_____．
15. 如图，点D在△ABC的边AC上，若要使△ABD与△ACB相似，可添加的一个条件是______(只需写出一个)．
16. 如图，在菱形ABCD中，tanA=43，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，BNCN的值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17. 某商场将进货单价为100元的某种商品按零售价130元一个售出时，每星期能卖出80个，商家决定降价促销，根据市场调查，每件商品每降低0.5元，每星期可多卖2件．
(1)求商家降价前每星期的利润是多少？
(2)降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为每件多少元？每星期的最大销售利润是多少？
18. 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如表．
x
……
−1
0
2
3
……
y
……
0
−3
−3
0
……
(1) 求二次函数解析式；
(2)若此抛物线与y轴交于点P，点Q(m,n)为抛物线上一个动点，当此抛物线在点P与点Q之间部分(含点P和点Q)最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值．
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若此抛物线与x轴交于点A、B(A在B的左边)，经过点A的直线y=kx+b与抛物线位于第四象限的图象交于点M，若线段AB、AM、BM围成的区域(不含边界)内有3个整点，直接写出k的取值范围．
19. 定义：(i)如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1=y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；(ii)如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．
(1)判断函数y=x+m与y=3x是否为“合作函数”，如果是，请求出m=2时它们的合作点；如果不是，请说明理由；
(2)判断函数y=x+m与y=3x−1(|x|≤2)是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；
(3)已知函数y=x+m与y=x2−(2m+1)x+(m2+3m−3)(0≤x≤5)是“合作函数”，且有唯一合作点．
①求出m的取值范围；②若它们的“共赢值”为18，试求出m的值．
20. (1)已知正方形ABCD的边CD、AD、BC上分别有点E、F、G，且AE⊥FG，求证：AE=FG；
(2)已知矩形ADNM中，AD=2AM=12，点E在边DN上，DE=5.动点F、K分别在边AD、MN上，且FK⊥AE，求S△DEF+S△ENK+S△AMK的值；
(3)已知：矩形ADNM中，点E、F、G、K分别在边DN、AD，AM、MN上．AD=2AM=2，四边形GFEK的面积为S，直接写出S的范围______．
21. 如图，在▱ABCD中，E，F分别为BC，AB的中点，连接FC，AE，且AE与FC交于点G，AE的延长线与DC的延长线交于点N.若AB=3n，FB=32GE，试用含n的式子表示线段AN的长．
22. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点(不与点B重合)，EP与BD相交于点O．
(1)当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；
(2)设(1)中的相似比为k，若AD：BC=2：3.请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当k=1时，是______；②当k=2时，是______；③当k=3时，是______.并证明k=2时的结论．
23. 日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：(H−H1)，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．
如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
(1)求山坡EF的水平宽度FH；
(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
24. 冬天的阳光在这样寒冷的季节深受人们的喜爱，繁华的城市里高楼林立，小丽家住在一楼太阳很少能光顾她家．如图所示，小明家住在高为32米A楼里，小丽家住在B楼，B楼坐落在A楼的正北面，当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°．
(1)如果A，B两楼相距203m，冬至中午12时住在B楼的人多少米以上才能晒到太阳？
(2)为了打造更舒适的小区环境，让住在一楼的小丽在冬至中午12时也正好能晒到太阳，两楼的距离至少应是多少米？(结果保留根号)
25. 在梯形ABCD中，已知DC//AB，∠DAB=90∘，DC=3，DA=6，AB=9，点E在射线AB上，过点E作EF//AD，交射线DC于点F，设AE=x．
(1)当x=1时，直线EF与AC交于点G如图1，求GE的长;
(2)当x>3时，直线EF与射线CB交于点H．
①当3
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：如图，
∵∠DCE=90°，F为斜边DE的中点，AC=6，
∴FH=12AC=3，
设CE=x，则FH=HC=x2，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠MCH=30°，
∴MH=36x，CM=33x，
∴FM=FH+HM=2+36，MN=12FM=1+312，
∴FN=3MN=3+14x，CN=CM−MN=34x−1，
即BN=BC−CN=9−34x，
∴BF2=FN2+BN2=(3+14x)2+(9−34x)2=14x2−43x+84，
对称轴x=−b2a=−432×14=83，
当x=83时，BF2有最小值为14×(83)2−43×83+84=36，
∴BF=6．
故选：D．
过点F作FM⊥CE，垂足为H，交AB于点M，作FN⊥AB，垂足为N，根据三角形的中位线定理可得FH=12DC=3，设CE=x，则EH=HC=12x，再根据题意可得∠MCH=30°，进而得出MH=36x，CM=33x，根据线段的和差关系可得FM=2+36，MN=12FM=1+312，可得FN=3MN=3+14x，CN=CM−MN=34x−1，BN=BC−CN=9−34x，再根据勾股定理和二次函数的性质解答即可．
本题考查了直角三角形，中位线定理，等边三角形的性质以及二次函数的应用，正确作出辅助线，表示出相关的线段的长度是解答本题的关键．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)．
观察图象判断出a、b、c的符号，即可得出结论①正确，利用对称轴位置得到−b2a>−1，可得结论②错误；利用平方差公式，可得结论③正确，利用图象法可以判断出④正确；
【解答】
解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵−b2a<0，
∴b>0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c<0，
∴abc<0，故①正确，
∵−b2a>−1，a>0，
∴b<2a，
∴2a−b>0，故②错误，
∵x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，
∵x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
∴(a+c)2−b2=(a+b+c)(a−b+c)<0，
∴b2>(a+c)2，故③正确，
∵点(−3,y1)，(1,y2)都在抛物线上，
观察图象可知y1>y2，故④正确．
故选B．
3.【答案】B
【解析】[分析]
根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量−每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．
本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．
[详解]
解：设每天的利润为W元，根据题意，得：
W=(x−28)(80−y)−5000
=(x−28)[80−(14x−42)]−5000
=−14x2+129x−8416
=−14(x−258)2+8225，
∵当x=258时，y=14×258−42=22.5，不是整数，
∴x=258舍去，
∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
又∵想让客人得到实惠，
∴x=260(舍去)
∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．
故选B．
4.【答案】A
【解析】解：如图1所示：当0
∵△ABC和△DEF均为等边三角形，
∴△GEJ为等边三角形．
∴GH=32EJ=32x，
∴y=12EJ⋅GH=34x2．
当x=2时，y=3，且抛物线的开口向上．
如图2所示：2
同理，△FGJ为等边三角形．
而FJ=4−x，
∴y=12FJ⋅GH=34(4−x)2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：A．
分为0
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是掌握利用相似三角形的性质求线段长的思路与方法；首先根据点A的坐标确定点A所在直线的解析式，把点C的坐标代入到点A所在直线的解析式中，得出点C在点A所在的直线上，设直线CA交y轴于E，射线CD交y轴于F，过点F作FG⊥CE于G，过点B作BH⊥CD于H，设FG=m，用含m的代数式表示出CG、GE的长，根据CG+EG=CE得到关于m的方程，解这个方程求出m的值，得出CF的长，再证明△COF∽△CHB，根据相似三角形的性质求出BH的长，即可求解．
【解答】
解：∵点A(a−1,43a−13)的横坐标为x=a−1，y=43a−13，
∴a=x+1，y=43a−13=43x+1−13=43x+1，
∴点A是直线y=43x+1上的一点，
把点C−34,0的坐标代入到y=43x+1中，左边=0，右边=43×−34+1=0，左边=右边，所以点C在直线y=43x+1上，即直线CA的解析式为y=43x+1，令x=0，得y=1，
∴直线y=43x+1与y轴的交点坐标为(0,1)，
设直线CA交y轴于E，射线CD交y轴于F，过点F作FG⊥CE于G，过点B作BH⊥CD于H，如图：
则E(0,1)，
∴OE=1，
∵C−34,0，
∴OC=34，
在Rt△OCE中，∠COE=90°，
∴CE=OC2+OE2=342+12=54，
设FG=m，
在Rt△CFG中，∠CGF=90°，∠GCF=45°，
∴∠CFG=90°−∠GCF=90°−45°=45°=∠GCF，
∴CG=FG=m，
∴CF=CG2+FG2=m2+m2=2m，
∵∠EGF=∠EOC=90°，∠GEF=∠OEC，
∴△EGF∽△EOC，
∴EGEO=FGCO，即EG1=m34，
∴EG=43m，
∵CG+EG=CE，
∴m+43m=54，解得m=1528，
∴CF=15282，
在Rt△COF中，∠COF=90°，
∴OF=CF2−CO2=152822−342=328，
∵B(2,0)，
∴OB=2，
∴CB=OC+B=34+2=114，
∵∠COF=∠CHB=90°，∠OCF=∠HCB，
∴△COF∽△CHB，
∴OFHB=CFCB，即328HB=15282114，
∴BH=11402，
∴点B到射线CD的最小值是11402．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，CD//AB，
∴∠DAN=∠BCM，
∵BF⊥AC，DE//BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA=∠BMC=90°，
在△ADN和△CBM中，
∠DNA=∠BMC∠DAN=∠BCMAD=CB，
∴△ADN≌△CBM(AAS)，
∴DN=BM，
∵DF//BE，DE//BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE=BF，
∴EN=FM，
∵NE//FM，
∴四边形NEMF是平行四边形，故①正确，
∵△ADN≌△CBM，
∴AN=CM，
∴CN=AM，
∵∠AMB=∠BMC=∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠CBM=90°，∠CBM+∠BCM=90°，
∴∠ABM=∠BCM，
∴△AMB∽△BMC，
∴AMBM=BMCN，
∵DN=BM，AM=CN，
∴DN2=CM⋅CN，故②正确，
若△DNF是等边三角形，则∠CDN=60°，∠ACD=30°，
这个与题目条件不符合，故③错误，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∵AO=AD，
∴AO=AD=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO=∠DAN=60°，
∴∠ABD=90°−∠ADO=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN=∠ODN=30°，
∴∠ODN=∠ABD，
∴DE=BE，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确．
故选：A．
①正确．想办法证明EN=FM，EN//FM，可得结论．
②正确．证明△AMB∽△BMC，推出AMBM=BMCM，再证明DN=BM，AM=CN，可得结论．
③错误．用反证法证明即可．
④正确．证明DE=BE，可得结论．
本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：A、∵EF//AB，
∴△CGF∽△CDB，
∴BDFG=BCFC≠BFFC，错误，故本选项符合题意；
B、∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC，正确，故本选项不符合题意；
C、∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，正确，故本选项不符合题意；
D、∵EF//AB，
∴BFBC=AEAC，
∵DE//BC，
∴AEAC=ADAB，
∴BFBC=ADAB，正确，故本选项不符合题意；
故选：A．
先根据相似三角形的判定得出相似三角形，再根据相似三角形的性质得出比例式即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线分线段成比例定理，能根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
△OAB与△OHI都是等腰直角三角形，因而这两个三角形一定相似，面积的比等于相似比的平方，设△OHI的面积是1，则△OHG的面积是2，△OGF的面积是22=4，以此类推则△OAB的面积是27=128.本题主要考查了相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
【解答】
解：由题可知所有的三角形相似，且相邻的两个三角形的相似比为1：2，
所以相邻两个三角形的面积比为1：2，
△OAB与△OHI的面积比值是27，即128．
故选：C．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．
根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，即可判断①；根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a2+b2=c2与a2+c2=2b2，用a表示出b与c，即可判断②；由AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质，即可判断③；分别从AC：AE：CE=1：2：3与AC：AE：CE=3：2：1去分析，即可判断④．
【解答】
解：设等边三角形的一边为a，则a2+a2=2a2，
∴符合奇异三角形”的定义．
∴①正确；
如图，
∵∠C=90°，
则a2+b2=c2①，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b>a，
∴a2+c2=2b2②，
由①②得：b=2a，c=3a，
∴a：b：c=1：2：3；则②错误;
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，
在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，
∵点D是半圆ADB的中点，
∴AD=BD，
∴AD=BD，
∴AB2=AD2+BD2=2AD2，
∴AC2+CB2=2AD2，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC2+CE2=2AE2，
∴△ACE是奇异三角形；则③正确;
②由①可得△ACE是奇异三角形，
∴AC2+CE2=2AE2，
当△ACE是直角三角形时，
由(2)得：AC：AE：CE=1：2：3或AC：AE：CE=3：2：1，
当AC：AE：CE=1：2：3时，AC：CE=1：3，即AC：CB=1：3，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°
当AC：AE：CE=3：2：1时，AC：CE=3：1，即AC：CB=3：1，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=120°，
综上可知：∠AOC=60°或120°.则④错误．
10.【答案】C
【解析】解：如图1中，设AB=a，则AC=DE=2a，CE=22a，
∴ℎ=a+22a，l=22a，
∴ℎl=a+22a22a=4+24，
故选：C．
如图1中，设AB=a，则AC=DE=2a，CE=22a，求出ℎ，l，可得结论．
本题考查解直角三角形，七巧板，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会利用参数解决问题．
11.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵AB=2，点E是BC边的中点，
∴CE=1，
∠DNM=∠FCN，
∵FG⊥DE，
∴∠DMN=90°，
∴∠DMN=∠NCF=90°，∠GFB=∠EDC，
tan∠GFB=tan∠EDC=ECED=12，①正确；
②∵∠DMN=∠NCF=90°，∠MND=∠CNF，
∴∠MDN=∠CFN
∵∠ECD=∠EMF，EF=ED，∠MDN=∠CFN
∴△DEC≌△FEM(SAS)
∴EM=EC，
∴DM=FC，
∠MDN=∠CFN，∠MND=∠CNF，DM=FC，
∴△DMN≌△FCN(AAS)，
∴MN=NC，故②正确；
③∵BE=EC，ME=EC，
∴BE=ME，
在Rt△GBE和Rt△GME中，BE=ME，GE=GE，
∴Rt△GBE≌Rt△GME(HL)，
∴∠BEG=∠MEG，
∵ME=EC，∠EMC=∠ECM，
∵∠EMC+∠ECM=∠BEG+∠MEG，
∴∠GEB=∠MCE，
∴MC//GE，
∴CMEG=CFEF，
∵EF=DE=EC2+CD2=5，
CF=EF−EC=5−1，
∴CMEG=CFEF=5−15=5−55，故③错误；
④由上述可知：BE=EC=1，CF=5−1，
∴BF=5+1，
∵tanF=tan∠EDC=GBBF=12，
∴GB=12BF=5+12，故④正确，
故选：B．
利用三角函数求得①正确；证明△DEC≌△FEM(SAS)得DM=FC，再证△DMN≌△FCN，得②正确；由三角形全等，勾股定理得③错误；BE=EC=1，CF=5−1，由三角函数，得④正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形，掌握全等三角形的判定AAS、SAS、SSS的判定定理是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin∠ABO的值．
过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，点A，B落在函数y=−1x(x<0)，y=4x(x>0)的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．
【解答】
解：过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵点A在反比例函数y=−1x(x<0)上，点B在y=4x(x>0)上，
∴S△AOD=12，S△BOE=2，
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠AOD=∠OBE，
∵∠ADO=∠BEO=90°，
∴△AOD∽△OBE，
∴(AOOB)2=S△AODS△OBE=14，
∴AOOB=12
设OA=m，则OB=2m，AB=m2+(2m)2=5m，
在Rt△AOB中，sin∠ABO=OAAB=m5m=55
故选：D．
13.【答案】−117或−5
【解析】解：∵抛物线y=a(x+3)(x−2)过点A(−1,6)，
∴6=−6a，
∴a=−1，
∴抛物线的解析式为y=−(x+3)(x−2)，
令y=0，则−(x+3)(x−2)=0，解得x=−3或2，
∴C(2,0)，
把B(−2,m)代入y=−(x+3)(x−2)，得m=−(−2+3)(−2−2)=4，
∴B(−2,4)，
连接AB，设AB的中点为T，
①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件．
∵A(−1,6)，B(−2,4)，TA=TB，
∴T(−1.5,5)，
∵C(2,0)，
∴直线CT的解析式为y=−107x+207，
由y=−107x+207y=−(x+3)(x−2)得x=2y=0或x=−117y=25049
∴M(−117,25049)；
②CM′//AB时，满足条件，
∵直线AB的解析式为y=2x+8，
∴直线CM′的解析式为y=2x−4，
由y=2x−4y=−(x+3)(x−2)得x=2y=0或x=−5y=−14，
∴M′(−5,−14)，
综上所述，满足条件的点M的横坐标为−117或−5．
利用待定系数法求解二次函数的解析式，进而得B、C点坐标，连接AB，设AB的中点为T.分两种情形：①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件．②CM′//AB时，满足条件．根据方程组求出点M的坐标即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是分情况讨论．
14.【答案】3
【解析】解：如图，过点E 作EG⊥CF 于点G；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AB=BC=6；
∴∠ACF=120°，而CE 是外角平分线，
∴∠ACE=∠ECG=60°，∠A=∠ACE，
∴AB//CF，
∴△ABD∽△CED，
∴，而AD=2CD，AB=6，
∴CE=3；
而∠ECG=60°，
∴∠CEG=30°，CG=CE=1.5，EG=，
∴BG=7.5；
由勾股定理得：BE2=BG2+EG2，
∴BE=3．
15.【答案】∠ABD=∠C
【解析】解：要使△ABC与△ABD相似，还需具备的一个条件是∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC等，
故答案为：∠ABD=∠C．
两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角即可
此题考查了相似三角形的判定．注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
16.【答案】27
【解析】解：
延长NF与DC交于点H，
∵∠ADF=90°，
∴∠A+∠FDH=∠A+∠ADC−∠ADF=90°，
∵∠DFN+∠DFH=180°，∠A+∠B=180°，∠B=∠DFN，
∴∠A=∠DFH，
∴∠FDH+∠DFH=90°，
∴NH⊥DC，
设DM=4k，DE=3k，EM=5k，
∴AD=9k=DC，DF=6k，
∵tanA=tan∠DFH=43，
则sin∠DFH=45，
∴DH=45DF=245k，
∴CH=9k−245k=215k，
∵cosC=cosA=CHNC=35，
∴CN=53CH=7k，
∴BN=2k，
∴BNCN=27．
首先延长NF与DC交于点H，进而利用翻折变换的性质得出NH⊥DC，再利用边角关系得出BN，CN的长进而得出答案．
此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形，正确表示出CN的长是解题关键．
17.【答案】解：(1)商家降价前每星期的利润是：(130−100)×80=2400元；
(2)根据题意知，y=(130−x−100)(80+4x)=−4x2+40x+2400；
∵y=−4x2+40x+2400=−4(x−5)2+2500，
∴当x=5时，即售价为130−x=125元时，y取得最大值2500，
答：将售价定为每件125元，每星期的最大销售利润是2500．
【解析】(1)根据总利润=每个商品利润×销售量即可得；
(2)根据(1)中相等关系即可得y=(130−x−100)(80+4x)=−4x2+40x+2400，将函数解析式配方成顶点式即可解决问题；
本题主要考查二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系列出函数解析式并配方是解题的关键．
18.【答案】解：(1)由题意得：
a−b+c=0c=−34a+2b+c=−3，
解得：a=1b=−2c=−3．
∴二次函数解析式为y=x2−2x−3．
(2)令x=0，则y=−3，
∴P(0,−3)．
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,−4)．
当点Q在对称轴的左侧时，
∵此抛物线在点P与点Q之间部分(含点P和点Q)最高点与最低点的纵坐标之差为2，
此时点P是最低点，点Q是最高点，
∴点Q的纵坐标为−1，
令y=−1，则x2−2x−3=−1．
解得：x=1±3(正数不合题意舍去)．
∴Q(1−3,−1)．
∴m=1−3．
当点Q在对称轴的右侧时，
∵此抛物线在点P与点Q之间部分(含点P和点Q)最高点与最低点的纵坐标之差为2，
此时顶点(1,−4)是最低点，点Q是最高点，
∴点Q的纵坐标为−2，
令y=−2，则x2−2x−3=−2．
解得：x=1±2(负数不合题意舍去)．
∴Q(1+2,−1)．
∴m=1+2．
综上，当此抛物线在点P与点Q之间部分(含点P和点Q)最高点与最低点的纵坐标之差为2时，m的值为1+2或1−3．
(3)由题意得：线段AB、AM、BM围成的区域(不含边界)内有3个整点，
则这3个整点为(1,−1)，(2,−1)，(2,−2)，
∴直线AM必经过点(1,−2)或经过(1,−2)与(2,−2)之间的点，不包括(2,−2)，
∴直线AM必经过点(1,−2)时，
−k+b=0k+b=−2，
解得：k=−1b=−1．
∴k≥−1．
直线AM必经过点(2,−2)时，
−k+b=02k+b=−2，
解得：k=−23b=−23．
∴k<−23．
综上，k的取值范围为−1≤k<−23．
【解析】(1)利用待定系数法解得即可；
(2)利用分类讨论的方法分两种情况解答：当点Q在对称轴的左侧时，和当点Q在对称轴的右侧时，利用已知条件求得点Q的纵坐标，代入抛物线解析式即可求得横坐标m的值；
(3)通过分析找出3个整点，并确定直线AM经过点的临界点，利用待定系数法求得对应的k值，结合图形即可求得k的取值范围．
本题主要考查了待定系数法求得函数的解析式，二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，配方法求抛物线的顶点坐标，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)若y1=y2时，则x+m=3x，
∴x2+mx−3=0．
此时△=m2+12>0，
∴方程总有两个不等实根，
∴函数y=x+m和y=3x是“合作函数”．
当m=2时，由x+2=3x，则x2+2x−3=0
解得：x1=−3，x2=1
所以，当m=2时它们的合作点为−3和1；
(2)若y1=y2时，则x+m=3x−1，
解得，x=m+12．
∵|x|≤2，
∴|m+12|≤2．
解得，−5≤m≤3．
所以当−5≤m≤3时，函数y=x+m和y=3x−1是“合作函数”，合作点为x=m+12．
当m<−5或m>3时，函数y=x+m和y=3x−1不是“合作函数”．
(3)①由y1=y2得，x+m=x2−(2m+1)x+(m2+3m−3)
即x2−(2m+2)x+(m2+2m−3)=0，
∴x1=m−1，x2=m+3．
又∵0≤x≤5且有唯一合作点，
∴0≤m−1≤5m+3>5或0≤m+3≤5m−1<0
解得，2
=x2−2mx+m2+4m−3
当x=0取最大值时，y1+y2=m2+4m−3=18
解得，m1=−7(舍去)，m2=3．
当x=5取最大值时，y1+y2=25−10m+m2+4m−3=18，
解得，m1=3−5(舍去)，m2=3+5．
综上，m的值为3或3+5．
【解析】(1)联立解析式消去y，得到关于x的方程，若方程有实根则这两个函数为“合作函数”；把m=2代入函数，联立解析式求出x的值即为合作点；
(2)联立解析式求出x的值即为合作点，x的值还需要满足条件|x|≤2，从而得到关于m的不等式，求出答案即可；
(3)①联立解析式求出x的值，根据条件“0≤x≤5”和有唯一合作点列出关于m的不等式求解即可；
②共赢点即为y1+y2的最大值，而y1+y2是二次函数且开口向上，所以最大值在端点求得，分别将x=0或5代入解析式求出最大值等于10，得到关于m的方程求解即可．
本题考查了二次函数性质和一元二次方程根的情况，联立解析式组成方程组，将合作点问题转化为方程是否有解得问题是解决此题的关键．
20.【答案】1≤S≤2
【解析】(1)证明：如图②，过H作HG⊥AD于G，
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=AD，∠ADE=∠HGF=90°，
∴HG=CD=AD，
∵AE⊥FH，
∴∠EAF+∠AFH=90°，
又∵∠D=90°，
∴∠EAF+∠AED=90°，
∴∠AFH=∠AED，
在△ADE和△HGF中，
∠ADE=∠HGF∠AED=∠HFGAD=HG，
∴△ADE=△HGF(AAS)，
∴AE=FH；
(2)解：如图，作FP⊥MN于点P，AE与FK交于点Q，
，
∵四边形AMND为矩形，
∴AM=DN，AD=MN，∠DAM=∠M=∠N=∠D=∠FPM=90°，
∴四边形AMPF为矩形，
∴AM=FP=DN，∠AFP=90°，
∵AE⊥FK，
∴∠FAQ+∠QFA=90°，
∵∠QFA+∠KFP=90°，
∴∠FAQ=∠KFP，
∴△ADE∽△FPK，
∴ADFP=AEKF，
∵AD=2AM=2FP，
∴AEKF=2FPFP=2，
∴AE=2FK，
∵AD=2AM=12，
∴AM=DN=6，
∴S矩AMND=AD⋅AM=12×6=72，
∵DE=5，
∴AE=AD2+DE2=122+52=13，
∴FK=132，
∴S四AKEF=S△AEK+S△AEF=12AE⋅KQ+12AE⋅QF=12AE⋅KF，
∴S四AKEF=12×13×132=1694，
∴S△DEF+S△ENK+S△AMK
=S矩AMND−S四AKEF
=72−1694
=1194；
(3)如图，作GH//AD交DN于H，交KF于O，FP//AM交MN于点P，设KF交GE于点Q，
∵四边形AMND为矩形，
∴AD//MN，AM//DN，
∵∠M=∠D=90°，
∴四边形AMPF和AGHD为矩形，
∴AM=FP=DN，AD=GH=MN，∠AFP=∠FPK=∠GHE=90°，
设△GEK中GE边上的高为ℎ1，
∵S四GFEK=S△GEK+S△GEF=12⋅GE⋅ℎ1+12⋅GE⋅ℎ2=12GE(ℎ1+ℎ2)，
由垂线段最短可知，ℎ1≤KQ，ℎ2≤FQ，
∴ℎ1+ℎ2≤KF，
所以KF⊥GE时，ℎ1+ℎ2最小，即S四GFEK=12⋅GE⋅FK，
∵∠GOQ+∠QGO=∠QGO+∠GEH=90°，
∴∠GOQ=∠GEH，
∵AD//GH//MN，
∴∠GOQ=∠FKP=∠GEH，
∵∠FPK=∠GHE=90°，
∴△FKP∽△GEH，
∴FKGE=FPGH，
∵AD=2AM，
∴GH=2FP，
∴FKGE=12，
∴GE=2FK，
∴S四FGKE=12⋅GE⋅FK=12⋅2FK⋅FK=FK2，
由垂线段最短及平行线间的距离相等可知，
FK⊥MN时，FK最短，且FK=AM，
∵AD=2AM=2，
∴FK=AM=1，
∴S矩形AMND=AD⋅AM=2×1=2，S四FGKE=FK2=12=1，即四边形GFEK的最小面积为1，
当E、F、G、H与矩形ADNM的四个顶点重合时，四边形GFEK的面积最大，等于矩形ADNM的面积，即：四边形GFEK的最大面积为2，
所以，四边形GFEK的面积S的范围为1≤S≤2．
故答案为：1≤S≤2．
(1)过H作HG⊥AD于G，则可得到△ADE≌△HGF，从而得到AE=FH；
(2)作FP⊥MN于点P，AE与FK交于点Q，证明△ADE∽△FPK，所以ADFP=AEKF，由AD=2AM=2FP，得到AEKF=2FPFP=2，所以AE=2FK，因为AD=2AM=12，得到AM=DN=6，再计算矩形AMND面积，勾股定理求出AE、FK，即可求解；
(3)作GH//AD交DN于H，交KF于O，FP//AM交MN于点P，设KF交GE于点Q，设△GEK中GE边上的高为ℎ1，因为S四GFEK=S△GEK+S△GEF=12⋅GE⋅ℎ1+12⋅GE⋅ℎ2=12GE(ℎ1+ℎ2)，由垂线段最短可知，ℎ1≤KQ，ℎ2≤FQ，所以ℎ1+ℎ2≤KF，KF⊥GE时，ℎ1+ℎ2最小，即S四GFEK=12⋅GE⋅FK，易证△FKP∽△GEH，GE=2FK，所以S四FGKE=12⋅GE⋅FK=12⋅2FK⋅FK=FK2，再由垂线段最短及平行线间的距离相等可知，FK⊥MN时，FK最短，且FK=AM，AD=2AM=2，所以FK=AM=1，计算得到S矩形AMND=2，S四FGKE=1，即四边形GFEK的最小面积为1，当E、F、G、H与矩形ADNM的四个顶点重合时，四边形GFEK的面积最大，等于矩形ADNM的面积，从而得解．
本题是四边形综合题，考查的是全等三角形和相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，掌握全等三角形和相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．主要考查学生的推理能力，难度较大，属于中考常考题型．
21.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CN，
∴∠B=∠ECN，
∵E是BC中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△NCE中，
，
∴△ABE≌△NCE(ASA)，
∴AB=CN，AE=EN．
∵AB//CN，
∴△AFG∽△NCG，
∴AFCN=AGGN，
又∵AB=CN，
∴AFAB=AGGN，
∵AB=3n，F为AB 中点，FB=GE，
∴GE=n，
∴32n3n=AE−nAE+n，解得AE=3n，
∴AN=2AE=6n．
【解析】见答案
22.【答案】平行四边形 直角梯形 等腰梯形
【解析】(1)证明：
∵AD//BC
∴∠OBP=∠ODE．
又∠BOP=∠DOE，
∴△BOP∽△DOE；(有两个角对应相等的两三角形相似)；
(2)解：①平行四边形；
②直角梯形；
③等腰梯形；
证明：②当k=2时，BPDE=2，
∴BP=2DE=AD
又∵AD：BC=2：3，即BC=32AD，
∴PC=BC−BP=32AD−AD=12AD=ED，
又ED//PC，
∴四边形PCDE是平行四边形，
∵∠DCB=90°
∴四边形PCDE是矩形
∴∠EPB=90°
又∵在直角梯形ABCD中
AD//BC，AB与DC不平行
∴AE//BP，AB与EP不平行
四边形ABPE是直角梯形．
(1)△BOP和△DOE中，已知的条件有：对顶角∠EOD=∠POB；根据AD//BC，可得出内错角∠OED=∠OPB，由此可判定两个三角形相似；
(2)由于E是AD中点，且AD：BC=2：3，得BC=3DE=3AE；
①当k=1时，△ODE和△OBP全等，则DE=BP=AE，又由AE//BP，则四边形AEPB的对边平行且相等，由此得出四边形AEPB是平行四边形；
②当k=2时，BP=2DE，此时PC=BC−BP=DE，易证得四边形DEPC是矩形，则四边形AEPB是直角梯形；
③当k=3时，BP=3DE，此时P、C重合，可过A、E分别作BC的垂线，设垂足为M、N；根据①②的解题过程易知BM=MN=CN=DE，可证△AMB≌△ENC，得出AB=EC(即EP)，由此可证得四边形ABCD是等腰梯形．
此题主要考查了梯形的性质及相似三角形的判定和性质．在证明四边形是梯形的过程中，不要遗漏证明另一组对边不平行的步骤．
23.【答案】解：(1)在Rt△EFH中，∵∠H=90°，
∴tan∠EFH=i=1：0.75=43=EHFH，
设EH=4x，则FH=3x，
∴EF=EH2+FH2=5x，
∵EF=15，
∴5x=15，x=3，
∴FH=3x=9．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；
(2)∵L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13，
H=AB+EH=22.5+3×4=34.5，H1=0.9，
∴日照间距系数=L：(H−H1)=CF+1334.5−0.9=CF+1333.6，
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴CF+1333.6≥1.25，
∴CF≥29．
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，勾股定理，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
(1)在Rt△EFH中，根据坡度的定义得出tan∠EFH=i=1：0.75=43=EHFH，设EH=4x，则FH=3x，由勾股定理求出EF=EH2+FH2=5x，那么5x=15，求出x=3，即可得到山坡EF的水平宽度FH为9m；
(2)根据该楼的日照间距系数不低于1.25，列出不等式CF+1333.6≥1.25，解不等式即可．
24.【答案】解：(1)如图，过D作DE⊥CG于E，
∵ED=203，∠CDE=30°，
∴CE=DE⋅tan30°=203×33=20m．
故DF=EG=CG−CE=32−20=12m．
(2)A楼的影子刚好不落在B楼上，
GH=CGtan30∘=3233=323m.
【解析】此题可根据A楼，地面和光线正好构成直角三角形，利用勾股定理求解．
本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
25.【答案】解：(1)∵DC//AB，
∴FCAE=FGGE，
∵EF//AD，AB//CD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴DF=AE，AD=EF，
∵AE=x=1，
∴DF=1，
∵CD=3，
∴CF=2，
又AD=6，
∴EF=6，
∴FG=6−GE，
∴21=6−GEGE，
∴GE=2；
(2)①CH:HN的值没有变化，理由如下：
过点C作CG⊥AB，垂足为G，
由题意可知CG=AD=6，DC=AG=3，
∵AB=9，
∴GB=6，
∴△CGB是等腰直角三角形，
∴CB2=CG2+GB2
∴CB=62，
∴∠B=45∘，∠HEB=90∘，
∴∠EHB=45∘，
∴∠B=∠EHB，
∴HE=BE，
∵AM=BE，
∴AM=HE，
又AM//HE，
∴四边形AMHE是平行四边形，
∴MH//AB，
∴△CNH∽△CAB，
∴CHHN=CBAB，
∵AB=9，
∴CHHN=629=223；
②当3< x< 9时，由①得HE=BE，
∴HE=9−x，
在Rt△CDA中，tan∠CAD=CDAD=36=12，
在Rt△AEH中，tan∠HAE=HEAE=9−xx，
∵∠CAD=∠HAE，
∴12=9−xx，
∴x=6；
当x> 9时，
∠EBH=∠ABC=45°，
∴BE=EH，
∴EH=x−9=BE，
在Rt△CDA中，tan∠CAD=CDAD=36=12，
在Rt△AEH中，tan∠HAE=HEAE=x−9x，
∵∠CAD=∠HAE，
∴x−9x=12，
∴x=18，
综上所述：x的值是6或18．
【解析】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识．
(1)由AB//CD可得FCAE=FGGE，说明四边形AEFD是平行四边形，进而可得CF=2，即可求解；
(2)①过点C作CG⊥AB，垂足为G，可得△CGB是等腰直角三角形，进而可得CB=62，说明四边形AMHE是平行四边形，可得MH//AB，于是△CNH∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解；
②分当3< x< 9时， 当x> 9时，两种情况讨论，根据∠CAD和∠HAE的正切求解即可．
沪科版初中数学九年级上册期末测试卷
考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1. 如图，已知AB=18，点C在线段AB上，且AC=6，以AC为一边向上作等边△ACD，再以CD为直角边向右作Rt△DCE，使∠DCE=90°，F为斜边DE的中点，连接BF，随着CE边长的变化，BF长也在改变，则BF长的最小值为( )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 6
2. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示，下列结论：
①abc<0；②2a−b<0；③b2>(a+c)2；④点(−3,y1)，(1,y2)都在抛物线上，则有y1>y2．
其中正确的结论有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
3. 某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y(间)与定价x(元/间)之间满足y=14x−42(x≥168).若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为( )
A. 252元/间 B. 256元/间 C. 258元/间 D. 260元/间
4. 如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
5. 如图在平面直角坐标系xOy中，点A、D在第一象限内且点A(a−1,43a−13)，点C(−34,0)，点B(2,0)，∠ACD=45∘，点B到射线CD的最小值是( )
A. 223 B. 15342 C. 57 D. 11240
6. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE//BF交AC于点N.交AB于点E，连接FN，EM.有下列结论：①四边形NEMF为平行四边形；②DN2=MC⋅NC；③△DNF为等边三角形；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的序号是( )
A. ①②④ B. ①②③ C. ①③ D. ②③④
7. 如图，△ABC中，点D在AB上，过点D作DE//BC交AC于点E，过点E作EF//AB交BC于点F，连接CD，交EF于点G，则下列说法不正确的是( )
A. BDFG=BFFC B. DEBC=AEAC
C. ADAB=AEAC D. BFBC=ADAB
8. 以OA为斜边作等腰直角△OAB，再以OB为斜边在△OAB外侧作等腰直角△OBC，如此继续，得到8个等腰直角三角形(如图)，则图中△OAB与△OHI的面积比值是( )
A. 32 B. 64 C. 128 D. 256
9. 我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．根据定义：
①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c=1：3：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A、B重合)，D是半圆 ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE.则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC=120°.其中，说法正确的有( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
10. 四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°、270°角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的T字形和V字形，那么T字形图中高与宽的比值ℎl为( )
A. 2 B. 2+12 C. 4+24 D. 322
11. 在正方形ABCD中，AB=2，点E是BC边的中点，连接DE，延长EC至点F，使得EF=DE，过点F作FG⊥DE，分别交CD、AB于N、G两点，连接CM、EG、EN，下列正确的是( )
①tan∠GFB=12；
②MN=NC；
③CMEG=12；
④S四边形GBEM=5+12．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
12. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y=−1x(x<0)，y=4x(x>0)的图象上，则sin∠ABO的值为( )
A. 13 B. 33 C. 54 D. 55
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图，已知抛物线y=a(x+3)(x−2)过点A(−1,6)和点B(−2,m)，与x轴的正半轴交于点C，点M是抛物线上一点且A，B两点到直线MC的距离相等，点M的横坐标为______．
14. 如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E.若AB=6，AD=2CD，BE=_____．
15. 如图，点D在△ABC的边AC上，若要使△ABD与△ACB相似，可添加的一个条件是______(只需写出一个)．
16. 如图，在菱形ABCD中，tanA=43，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，BNCN的值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17. 某商场将进货单价为100元的某种商品按零售价130元一个售出时，每星期能卖出80个，商家决定降价促销，根据市场调查，每件商品每降低0.5元，每星期可多卖2件．
(1)求商家降价前每星期的利润是多少？
(2)降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为每件多少元？每星期的最大销售利润是多少？
18. 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如表．
x
……
−1
0
2
3
……
y
……
0
−3
−3
0
……
(1) 求二次函数解析式；
(2)若此抛物线与y轴交于点P，点Q(m,n)为抛物线上一个动点，当此抛物线在点P与点Q之间部分(含点P和点Q)最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值．
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若此抛物线与x轴交于点A、B(A在B的左边)，经过点A的直线y=kx+b与抛物线位于第四象限的图象交于点M，若线段AB、AM、BM围成的区域(不含边界)内有3个整点，直接写出k的取值范围．
19. 定义：(i)如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1=y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；(ii)如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．
(1)判断函数y=x+m与y=3x是否为“合作函数”，如果是，请求出m=2时它们的合作点；如果不是，请说明理由；
(2)判断函数y=x+m与y=3x−1(|x|≤2)是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；
(3)已知函数y=x+m与y=x2−(2m+1)x+(m2+3m−3)(0≤x≤5)是“合作函数”，且有唯一合作点．
①求出m的取值范围；②若它们的“共赢值”为18，试求出m的值．
20. (1)已知正方形ABCD的边CD、AD、BC上分别有点E、F、G，且AE⊥FG，求证：AE=FG；
(2)已知矩形ADNM中，AD=2AM=12，点E在边DN上，DE=5.动点F、K分别在边AD、MN上，且FK⊥AE，求S△DEF+S△ENK+S△AMK的值；
(3)已知：矩形ADNM中，点E、F、G、K分别在边DN、AD，AM、MN上．AD=2AM=2，四边形GFEK的面积为S，直接写出S的范围______．
21. 如图，在▱ABCD中，E，F分别为BC，AB的中点，连接FC，AE，且AE与FC交于点G，AE的延长线与DC的延长线交于点N.若AB=3n，FB=32GE，试用含n的式子表示线段AN的长．
22. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点(不与点B重合)，EP与BD相交于点O．
(1)当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；
(2)设(1)中的相似比为k，若AD：BC=2：3.请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当k=1时，是______；②当k=2时，是______；③当k=3时，是______.并证明k=2时的结论．
23. 日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：(H−H1)，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．
如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
(1)求山坡EF的水平宽度FH；
(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
24. 冬天的阳光在这样寒冷的季节深受人们的喜爱，繁华的城市里高楼林立，小丽家住在一楼太阳很少能光顾她家．如图所示，小明家住在高为32米A楼里，小丽家住在B楼，B楼坐落在A楼的正北面，当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°．
(1)如果A，B两楼相距203m，冬至中午12时住在B楼的人多少米以上才能晒到太阳？
(2)为了打造更舒适的小区环境，让住在一楼的小丽在冬至中午12时也正好能晒到太阳，两楼的距离至少应是多少米？(结果保留根号)
25. 在梯形ABCD中，已知DC//AB，∠DAB=90∘，DC=3，DA=6，AB=9，点E在射线AB上，过点E作EF//AD，交射线DC于点F，设AE=x．
(1)当x=1时，直线EF与AC交于点G如图1，求GE的长;
(2)当x>3时，直线EF与射线CB交于点H．
①当3
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：如图，
∵∠DCE=90°，F为斜边DE的中点，AC=6，
∴FH=12AC=3，
设CE=x，则FH=HC=x2，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠MCH=30°，
∴MH=36x，CM=33x，
∴FM=FH+HM=2+36，MN=12FM=1+312，
∴FN=3MN=3+14x，CN=CM−MN=34x−1，
即BN=BC−CN=9−34x，
∴BF2=FN2+BN2=(3+14x)2+(9−34x)2=14x2−43x+84，
对称轴x=−b2a=−432×14=83，
当x=83时，BF2有最小值为14×(83)2−43×83+84=36，
∴BF=6．
故选：D．
过点F作FM⊥CE，垂足为H，交AB于点M，作FN⊥AB，垂足为N，根据三角形的中位线定理可得FH=12DC=3，设CE=x，则EH=HC=12x，再根据题意可得∠MCH=30°，进而得出MH=36x，CM=33x，根据线段的和差关系可得FM=2+36，MN=12FM=1+312，可得FN=3MN=3+14x，CN=CM−MN=34x−1，BN=BC−CN=9−34x，再根据勾股定理和二次函数的性质解答即可．
本题考查了直角三角形，中位线定理，等边三角形的性质以及二次函数的应用，正确作出辅助线，表示出相关的线段的长度是解答本题的关键．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)．
观察图象判断出a、b、c的符号，即可得出结论①正确，利用对称轴位置得到−b2a>−1，可得结论②错误；利用平方差公式，可得结论③正确，利用图象法可以判断出④正确；
【解答】
解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵−b2a<0，
∴b>0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c<0，
∴abc<0，故①正确，
∵−b2a>−1，a>0，
∴b<2a，
∴2a−b>0，故②错误，
∵x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，
∵x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
∴(a+c)2−b2=(a+b+c)(a−b+c)<0，
∴b2>(a+c)2，故③正确，
∵点(−3,y1)，(1,y2)都在抛物线上，
观察图象可知y1>y2，故④正确．
故选B．
3.【答案】B
【解析】[分析]
根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量−每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．
本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．
[详解]
解：设每天的利润为W元，根据题意，得：
W=(x−28)(80−y)−5000
=(x−28)[80−(14x−42)]−5000
=−14x2+129x−8416
=−14(x−258)2+8225，
∵当x=258时，y=14×258−42=22.5，不是整数，
∴x=258舍去，
∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
又∵想让客人得到实惠，
∴x=260(舍去)
∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．
故选B．
4.【答案】A
【解析】解：如图1所示：当0
∵△ABC和△DEF均为等边三角形，
∴△GEJ为等边三角形．
∴GH=32EJ=32x，
∴y=12EJ⋅GH=34x2．
当x=2时，y=3，且抛物线的开口向上．
如图2所示：2
同理，△FGJ为等边三角形．
而FJ=4−x，
∴y=12FJ⋅GH=34(4−x)2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：A．
分为0
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是掌握利用相似三角形的性质求线段长的思路与方法；首先根据点A的坐标确定点A所在直线的解析式，把点C的坐标代入到点A所在直线的解析式中，得出点C在点A所在的直线上，设直线CA交y轴于E，射线CD交y轴于F，过点F作FG⊥CE于G，过点B作BH⊥CD于H，设FG=m，用含m的代数式表示出CG、GE的长，根据CG+EG=CE得到关于m的方程，解这个方程求出m的值，得出CF的长，再证明△COF∽△CHB，根据相似三角形的性质求出BH的长，即可求解．
【解答】
解：∵点A(a−1,43a−13)的横坐标为x=a−1，y=43a−13，
∴a=x+1，y=43a−13=43x+1−13=43x+1，
∴点A是直线y=43x+1上的一点，
把点C−34,0的坐标代入到y=43x+1中，左边=0，右边=43×−34+1=0，左边=右边，所以点C在直线y=43x+1上，即直线CA的解析式为y=43x+1，令x=0，得y=1，
∴直线y=43x+1与y轴的交点坐标为(0,1)，
设直线CA交y轴于E，射线CD交y轴于F，过点F作FG⊥CE于G，过点B作BH⊥CD于H，如图：
则E(0,1)，
∴OE=1，
∵C−34,0，
∴OC=34，
在Rt△OCE中，∠COE=90°，
∴CE=OC2+OE2=342+12=54，
设FG=m，
在Rt△CFG中，∠CGF=90°，∠GCF=45°，
∴∠CFG=90°−∠GCF=90°−45°=45°=∠GCF，
∴CG=FG=m，
∴CF=CG2+FG2=m2+m2=2m，
∵∠EGF=∠EOC=90°，∠GEF=∠OEC，
∴△EGF∽△EOC，
∴EGEO=FGCO，即EG1=m34，
∴EG=43m，
∵CG+EG=CE，
∴m+43m=54，解得m=1528，
∴CF=15282，
在Rt△COF中，∠COF=90°，
∴OF=CF2−CO2=152822−342=328，
∵B(2,0)，
∴OB=2，
∴CB=OC+B=34+2=114，
∵∠COF=∠CHB=90°，∠OCF=∠HCB，
∴△COF∽△CHB，
∴OFHB=CFCB，即328HB=15282114，
∴BH=11402，
∴点B到射线CD的最小值是11402．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，CD//AB，
∴∠DAN=∠BCM，
∵BF⊥AC，DE//BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA=∠BMC=90°，
在△ADN和△CBM中，
∠DNA=∠BMC∠DAN=∠BCMAD=CB，
∴△ADN≌△CBM(AAS)，
∴DN=BM，
∵DF//BE，DE//BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE=BF，
∴EN=FM，
∵NE//FM，
∴四边形NEMF是平行四边形，故①正确，
∵△ADN≌△CBM，
∴AN=CM，
∴CN=AM，
∵∠AMB=∠BMC=∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠CBM=90°，∠CBM+∠BCM=90°，
∴∠ABM=∠BCM，
∴△AMB∽△BMC，
∴AMBM=BMCN，
∵DN=BM，AM=CN，
∴DN2=CM⋅CN，故②正确，
若△DNF是等边三角形，则∠CDN=60°，∠ACD=30°，
这个与题目条件不符合，故③错误，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∵AO=AD，
∴AO=AD=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO=∠DAN=60°，
∴∠ABD=90°−∠ADO=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN=∠ODN=30°，
∴∠ODN=∠ABD，
∴DE=BE，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确．
故选：A．
①正确．想办法证明EN=FM，EN//FM，可得结论．
②正确．证明△AMB∽△BMC，推出AMBM=BMCM，再证明DN=BM，AM=CN，可得结论．
③错误．用反证法证明即可．
④正确．证明DE=BE，可得结论．
本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：A、∵EF//AB，
∴△CGF∽△CDB，
∴BDFG=BCFC≠BFFC，错误，故本选项符合题意；
B、∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC，正确，故本选项不符合题意；
C、∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，正确，故本选项不符合题意；
D、∵EF//AB，
∴BFBC=AEAC，
∵DE//BC，
∴AEAC=ADAB，
∴BFBC=ADAB，正确，故本选项不符合题意；
故选：A．
先根据相似三角形的判定得出相似三角形，再根据相似三角形的性质得出比例式即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线分线段成比例定理，能根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
△OAB与△OHI都是等腰直角三角形，因而这两个三角形一定相似，面积的比等于相似比的平方，设△OHI的面积是1，则△OHG的面积是2，△OGF的面积是22=4，以此类推则△OAB的面积是27=128.本题主要考查了相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
【解答】
解：由题可知所有的三角形相似，且相邻的两个三角形的相似比为1：2，
所以相邻两个三角形的面积比为1：2，
△OAB与△OHI的面积比值是27，即128．
故选：C．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了新定义的知识，勾股定理以及圆的性质，三角函数等知识．解题的关键是理解题意，抓住数形结合思想的应用．
根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，即可判断①；根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a2+b2=c2与a2+c2=2b2，用a表示出b与c，即可判断②；由AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质，即可判断③；分别从AC：AE：CE=1：2：3与AC：AE：CE=3：2：1去分析，即可判断④．
【解答】
解：设等边三角形的一边为a，则a2+a2=2a2，
∴符合奇异三角形”的定义．
∴①正确；
如图，
∵∠C=90°，
则a2+b2=c2①，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b>a，
∴a2+c2=2b2②，
由①②得：b=2a，c=3a，
∴a：b：c=1：2：3；则②错误;
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，
在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，
∵点D是半圆ADB的中点，
∴AD=BD，
∴AD=BD，
∴AB2=AD2+BD2=2AD2，
∴AC2+CB2=2AD2，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC2+CE2=2AE2，
∴△ACE是奇异三角形；则③正确;
②由①可得△ACE是奇异三角形，
∴AC2+CE2=2AE2，
当△ACE是直角三角形时，
由(2)得：AC：AE：CE=1：2：3或AC：AE：CE=3：2：1，
当AC：AE：CE=1：2：3时，AC：CE=1：3，即AC：CB=1：3，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°
当AC：AE：CE=3：2：1时，AC：CE=3：1，即AC：CB=3：1，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=120°，
综上可知：∠AOC=60°或120°.则④错误．
10.【答案】C
【解析】解：如图1中，设AB=a，则AC=DE=2a，CE=22a，
∴ℎ=a+22a，l=22a，
∴ℎl=a+22a22a=4+24，
故选：C．
如图1中，设AB=a，则AC=DE=2a，CE=22a，求出ℎ，l，可得结论．
本题考查解直角三角形，七巧板，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会利用参数解决问题．
11.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵AB=2，点E是BC边的中点，
∴CE=1，
∠DNM=∠FCN，
∵FG⊥DE，
∴∠DMN=90°，
∴∠DMN=∠NCF=90°，∠GFB=∠EDC，
tan∠GFB=tan∠EDC=ECED=12，①正确；
②∵∠DMN=∠NCF=90°，∠MND=∠CNF，
∴∠MDN=∠CFN
∵∠ECD=∠EMF，EF=ED，∠MDN=∠CFN
∴△DEC≌△FEM(SAS)
∴EM=EC，
∴DM=FC，
∠MDN=∠CFN，∠MND=∠CNF，DM=FC，
∴△DMN≌△FCN(AAS)，
∴MN=NC，故②正确；
③∵BE=EC，ME=EC，
∴BE=ME，
在Rt△GBE和Rt△GME中，BE=ME，GE=GE，
∴Rt△GBE≌Rt△GME(HL)，
∴∠BEG=∠MEG，
∵ME=EC，∠EMC=∠ECM，
∵∠EMC+∠ECM=∠BEG+∠MEG，
∴∠GEB=∠MCE，
∴MC//GE，
∴CMEG=CFEF，
∵EF=DE=EC2+CD2=5，
CF=EF−EC=5−1，
∴CMEG=CFEF=5−15=5−55，故③错误；
④由上述可知：BE=EC=1，CF=5−1，
∴BF=5+1，
∵tanF=tan∠EDC=GBBF=12，
∴GB=12BF=5+12，故④正确，
故选：B．
利用三角函数求得①正确；证明△DEC≌△FEM(SAS)得DM=FC，再证△DMN≌△FCN，得②正确；由三角形全等，勾股定理得③错误；BE=EC=1，CF=5−1，由三角函数，得④正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形，掌握全等三角形的判定AAS、SAS、SSS的判定定理是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin∠ABO的值．
过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，点A，B落在函数y=−1x(x<0)，y=4x(x>0)的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．
【解答】
解：过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵点A在反比例函数y=−1x(x<0)上，点B在y=4x(x>0)上，
∴S△AOD=12，S△BOE=2，
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠AOD=∠OBE，
∵∠ADO=∠BEO=90°，
∴△AOD∽△OBE，
∴(AOOB)2=S△AODS△OBE=14，
∴AOOB=12
设OA=m，则OB=2m，AB=m2+(2m)2=5m，
在Rt△AOB中，sin∠ABO=OAAB=m5m=55
故选：D．
13.【答案】−117或−5
【解析】解：∵抛物线y=a(x+3)(x−2)过点A(−1,6)，
∴6=−6a，
∴a=−1，
∴抛物线的解析式为y=−(x+3)(x−2)，
令y=0，则−(x+3)(x−2)=0，解得x=−3或2，
∴C(2,0)，
把B(−2,m)代入y=−(x+3)(x−2)，得m=−(−2+3)(−2−2)=4，
∴B(−2,4)，
连接AB，设AB的中点为T，
①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件．
∵A(−1,6)，B(−2,4)，TA=TB，
∴T(−1.5,5)，
∵C(2,0)，
∴直线CT的解析式为y=−107x+207，
由y=−107x+207y=−(x+3)(x−2)得x=2y=0或x=−117y=25049
∴M(−117,25049)；
②CM′//AB时，满足条件，
∵直线AB的解析式为y=2x+8，
∴直线CM′的解析式为y=2x−4，
由y=2x−4y=−(x+3)(x−2)得x=2y=0或x=−5y=−14，
∴M′(−5,−14)，
综上所述，满足条件的点M的横坐标为−117或−5．
利用待定系数法求解二次函数的解析式，进而得B、C点坐标，连接AB，设AB的中点为T.分两种情形：①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件．②CM′//AB时，满足条件．根据方程组求出点M的坐标即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是分情况讨论．
14.【答案】3
【解析】解：如图，过点E 作EG⊥CF 于点G；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AB=BC=6；
∴∠ACF=120°，而CE 是外角平分线，
∴∠ACE=∠ECG=60°，∠A=∠ACE，
∴AB//CF，
∴△ABD∽△CED，
∴，而AD=2CD，AB=6，
∴CE=3；
而∠ECG=60°，
∴∠CEG=30°，CG=CE=1.5，EG=，
∴BG=7.5；
由勾股定理得：BE2=BG2+EG2，
∴BE=3．
15.【答案】∠ABD=∠C
【解析】解：要使△ABC与△ABD相似，还需具备的一个条件是∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC等，
故答案为：∠ABD=∠C．
两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角即可
此题考查了相似三角形的判定．注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
16.【答案】27
【解析】解：
延长NF与DC交于点H，
∵∠ADF=90°，
∴∠A+∠FDH=∠A+∠ADC−∠ADF=90°，
∵∠DFN+∠DFH=180°，∠A+∠B=180°，∠B=∠DFN，
∴∠A=∠DFH，
∴∠FDH+∠DFH=90°，
∴NH⊥DC，
设DM=4k，DE=3k，EM=5k，
∴AD=9k=DC，DF=6k，
∵tanA=tan∠DFH=43，
则sin∠DFH=45，
∴DH=45DF=245k，
∴CH=9k−245k=215k，
∵cosC=cosA=CHNC=35，
∴CN=53CH=7k，
∴BN=2k，
∴BNCN=27．
首先延长NF与DC交于点H，进而利用翻折变换的性质得出NH⊥DC，再利用边角关系得出BN，CN的长进而得出答案．
此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形，正确表示出CN的长是解题关键．
17.【答案】解：(1)商家降价前每星期的利润是：(130−100)×80=2400元；
(2)根据题意知，y=(130−x−100)(80+4x)=−4x2+40x+2400；
∵y=−4x2+40x+2400=−4(x−5)2+2500，
∴当x=5时，即售价为130−x=125元时，y取得最大值2500，
答：将售价定为每件125元，每星期的最大销售利润是2500．
【解析】(1)根据总利润=每个商品利润×销售量即可得；
(2)根据(1)中相等关系即可得y=(130−x−100)(80+4x)=−4x2+40x+2400，将函数解析式配方成顶点式即可解决问题；
本题主要考查二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系列出函数解析式并配方是解题的关键．
18.【答案】解：(1)由题意得：
a−b+c=0c=−34a+2b+c=−3，
解得：a=1b=−2c=−3．
∴二次函数解析式为y=x2−2x−3．
(2)令x=0，则y=−3，
∴P(0,−3)．
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,−4)．
当点Q在对称轴的左侧时，
∵此抛物线在点P与点Q之间部分(含点P和点Q)最高点与最低点的纵坐标之差为2，
此时点P是最低点，点Q是最高点，
∴点Q的纵坐标为−1，
令y=−1，则x2−2x−3=−1．
解得：x=1±3(正数不合题意舍去)．
∴Q(1−3,−1)．
∴m=1−3．
当点Q在对称轴的右侧时，
∵此抛物线在点P与点Q之间部分(含点P和点Q)最高点与最低点的纵坐标之差为2，
此时顶点(1,−4)是最低点，点Q是最高点，
∴点Q的纵坐标为−2，
令y=−2，则x2−2x−3=−2．
解得：x=1±2(负数不合题意舍去)．
∴Q(1+2,−1)．
∴m=1+2．
综上，当此抛物线在点P与点Q之间部分(含点P和点Q)最高点与最低点的纵坐标之差为2时，m的值为1+2或1−3．
(3)由题意得：线段AB、AM、BM围成的区域(不含边界)内有3个整点，
则这3个整点为(1,−1)，(2,−1)，(2,−2)，
∴直线AM必经过点(1,−2)或经过(1,−2)与(2,−2)之间的点，不包括(2,−2)，
∴直线AM必经过点(1,−2)时，
−k+b=0k+b=−2，
解得：k=−1b=−1．
∴k≥−1．
直线AM必经过点(2,−2)时，
−k+b=02k+b=−2，
解得：k=−23b=−23．
∴k<−23．
综上，k的取值范围为−1≤k<−23．
【解析】(1)利用待定系数法解得即可；
(2)利用分类讨论的方法分两种情况解答：当点Q在对称轴的左侧时，和当点Q在对称轴的右侧时，利用已知条件求得点Q的纵坐标，代入抛物线解析式即可求得横坐标m的值；
(3)通过分析找出3个整点，并确定直线AM经过点的临界点，利用待定系数法求得对应的k值，结合图形即可求得k的取值范围．
本题主要考查了待定系数法求得函数的解析式，二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，配方法求抛物线的顶点坐标，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)若y1=y2时，则x+m=3x，
∴x2+mx−3=0．
此时△=m2+12>0，
∴方程总有两个不等实根，
∴函数y=x+m和y=3x是“合作函数”．
当m=2时，由x+2=3x，则x2+2x−3=0
解得：x1=−3，x2=1
所以，当m=2时它们的合作点为−3和1；
(2)若y1=y2时，则x+m=3x−1，
解得，x=m+12．
∵|x|≤2，
∴|m+12|≤2．
解得，−5≤m≤3．
所以当−5≤m≤3时，函数y=x+m和y=3x−1是“合作函数”，合作点为x=m+12．
当m<−5或m>3时，函数y=x+m和y=3x−1不是“合作函数”．
(3)①由y1=y2得，x+m=x2−(2m+1)x+(m2+3m−3)
即x2−(2m+2)x+(m2+2m−3)=0，
∴x1=m−1，x2=m+3．
又∵0≤x≤5且有唯一合作点，
∴0≤m−1≤5m+3>5或0≤m+3≤5m−1<0
解得，2
=x2−2mx+m2+4m−3
当x=0取最大值时，y1+y2=m2+4m−3=18
解得，m1=−7(舍去)，m2=3．
当x=5取最大值时，y1+y2=25−10m+m2+4m−3=18，
解得，m1=3−5(舍去)，m2=3+5．
综上，m的值为3或3+5．
【解析】(1)联立解析式消去y，得到关于x的方程，若方程有实根则这两个函数为“合作函数”；把m=2代入函数，联立解析式求出x的值即为合作点；
(2)联立解析式求出x的值即为合作点，x的值还需要满足条件|x|≤2，从而得到关于m的不等式，求出答案即可；
(3)①联立解析式求出x的值，根据条件“0≤x≤5”和有唯一合作点列出关于m的不等式求解即可；
②共赢点即为y1+y2的最大值，而y1+y2是二次函数且开口向上，所以最大值在端点求得，分别将x=0或5代入解析式求出最大值等于10，得到关于m的方程求解即可．
本题考查了二次函数性质和一元二次方程根的情况，联立解析式组成方程组，将合作点问题转化为方程是否有解得问题是解决此题的关键．
20.【答案】1≤S≤2
【解析】(1)证明：如图②，过H作HG⊥AD于G，
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=AD，∠ADE=∠HGF=90°，
∴HG=CD=AD，
∵AE⊥FH，
∴∠EAF+∠AFH=90°，
又∵∠D=90°，
∴∠EAF+∠AED=90°，
∴∠AFH=∠AED，
在△ADE和△HGF中，
∠ADE=∠HGF∠AED=∠HFGAD=HG，
∴△ADE=△HGF(AAS)，
∴AE=FH；
(2)解：如图，作FP⊥MN于点P，AE与FK交于点Q，
，
∵四边形AMND为矩形，
∴AM=DN，AD=MN，∠DAM=∠M=∠N=∠D=∠FPM=90°，
∴四边形AMPF为矩形，
∴AM=FP=DN，∠AFP=90°，
∵AE⊥FK，
∴∠FAQ+∠QFA=90°，
∵∠QFA+∠KFP=90°，
∴∠FAQ=∠KFP，
∴△ADE∽△FPK，
∴ADFP=AEKF，
∵AD=2AM=2FP，
∴AEKF=2FPFP=2，
∴AE=2FK，
∵AD=2AM=12，
∴AM=DN=6，
∴S矩AMND=AD⋅AM=12×6=72，
∵DE=5，
∴AE=AD2+DE2=122+52=13，
∴FK=132，
∴S四AKEF=S△AEK+S△AEF=12AE⋅KQ+12AE⋅QF=12AE⋅KF，
∴S四AKEF=12×13×132=1694，
∴S△DEF+S△ENK+S△AMK
=S矩AMND−S四AKEF
=72−1694
=1194；
(3)如图，作GH//AD交DN于H，交KF于O，FP//AM交MN于点P，设KF交GE于点Q，
∵四边形AMND为矩形，
∴AD//MN，AM//DN，
∵∠M=∠D=90°，
∴四边形AMPF和AGHD为矩形，
∴AM=FP=DN，AD=GH=MN，∠AFP=∠FPK=∠GHE=90°，
设△GEK中GE边上的高为ℎ1，
∵S四GFEK=S△GEK+S△GEF=12⋅GE⋅ℎ1+12⋅GE⋅ℎ2=12GE(ℎ1+ℎ2)，
由垂线段最短可知，ℎ1≤KQ，ℎ2≤FQ，
∴ℎ1+ℎ2≤KF，
所以KF⊥GE时，ℎ1+ℎ2最小，即S四GFEK=12⋅GE⋅FK，
∵∠GOQ+∠QGO=∠QGO+∠GEH=90°，
∴∠GOQ=∠GEH，
∵AD//GH//MN，
∴∠GOQ=∠FKP=∠GEH，
∵∠FPK=∠GHE=90°，
∴△FKP∽△GEH，
∴FKGE=FPGH，
∵AD=2AM，
∴GH=2FP，
∴FKGE=12，
∴GE=2FK，
∴S四FGKE=12⋅GE⋅FK=12⋅2FK⋅FK=FK2，
由垂线段最短及平行线间的距离相等可知，
FK⊥MN时，FK最短，且FK=AM，
∵AD=2AM=2，
∴FK=AM=1，
∴S矩形AMND=AD⋅AM=2×1=2，S四FGKE=FK2=12=1，即四边形GFEK的最小面积为1，
当E、F、G、H与矩形ADNM的四个顶点重合时，四边形GFEK的面积最大，等于矩形ADNM的面积，即：四边形GFEK的最大面积为2，
所以，四边形GFEK的面积S的范围为1≤S≤2．
故答案为：1≤S≤2．
(1)过H作HG⊥AD于G，则可得到△ADE≌△HGF，从而得到AE=FH；
(2)作FP⊥MN于点P，AE与FK交于点Q，证明△ADE∽△FPK，所以ADFP=AEKF，由AD=2AM=2FP，得到AEKF=2FPFP=2，所以AE=2FK，因为AD=2AM=12，得到AM=DN=6，再计算矩形AMND面积，勾股定理求出AE、FK，即可求解；
(3)作GH//AD交DN于H，交KF于O，FP//AM交MN于点P，设KF交GE于点Q，设△GEK中GE边上的高为ℎ1，因为S四GFEK=S△GEK+S△GEF=12⋅GE⋅ℎ1+12⋅GE⋅ℎ2=12GE(ℎ1+ℎ2)，由垂线段最短可知，ℎ1≤KQ，ℎ2≤FQ，所以ℎ1+ℎ2≤KF，KF⊥GE时，ℎ1+ℎ2最小，即S四GFEK=12⋅GE⋅FK，易证△FKP∽△GEH，GE=2FK，所以S四FGKE=12⋅GE⋅FK=12⋅2FK⋅FK=FK2，再由垂线段最短及平行线间的距离相等可知，FK⊥MN时，FK最短，且FK=AM，AD=2AM=2，所以FK=AM=1，计算得到S矩形AMND=2，S四FGKE=1，即四边形GFEK的最小面积为1，当E、F、G、H与矩形ADNM的四个顶点重合时，四边形GFEK的面积最大，等于矩形ADNM的面积，从而得解．
本题是四边形综合题，考查的是全等三角形和相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，掌握全等三角形和相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．主要考查学生的推理能力，难度较大，属于中考常考题型．
21.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CN，
∴∠B=∠ECN，
∵E是BC中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△NCE中，
，
∴△ABE≌△NCE(ASA)，
∴AB=CN，AE=EN．
∵AB//CN，
∴△AFG∽△NCG，
∴AFCN=AGGN，
又∵AB=CN，
∴AFAB=AGGN，
∵AB=3n，F为AB 中点，FB=GE，
∴GE=n，
∴32n3n=AE−nAE+n，解得AE=3n，
∴AN=2AE=6n．
【解析】见答案
22.【答案】平行四边形 直角梯形 等腰梯形
【解析】(1)证明：
∵AD//BC
∴∠OBP=∠ODE．
又∠BOP=∠DOE，
∴△BOP∽△DOE；(有两个角对应相等的两三角形相似)；
(2)解：①平行四边形；
②直角梯形；
③等腰梯形；
证明：②当k=2时，BPDE=2，
∴BP=2DE=AD
又∵AD：BC=2：3，即BC=32AD，
∴PC=BC−BP=32AD−AD=12AD=ED，
又ED//PC，
∴四边形PCDE是平行四边形，
∵∠DCB=90°
∴四边形PCDE是矩形
∴∠EPB=90°
又∵在直角梯形ABCD中
AD//BC，AB与DC不平行
∴AE//BP，AB与EP不平行
四边形ABPE是直角梯形．
(1)△BOP和△DOE中，已知的条件有：对顶角∠EOD=∠POB；根据AD//BC，可得出内错角∠OED=∠OPB，由此可判定两个三角形相似；
(2)由于E是AD中点，且AD：BC=2：3，得BC=3DE=3AE；
①当k=1时，△ODE和△OBP全等，则DE=BP=AE，又由AE//BP，则四边形AEPB的对边平行且相等，由此得出四边形AEPB是平行四边形；
②当k=2时，BP=2DE，此时PC=BC−BP=DE，易证得四边形DEPC是矩形，则四边形AEPB是直角梯形；
③当k=3时，BP=3DE，此时P、C重合，可过A、E分别作BC的垂线，设垂足为M、N；根据①②的解题过程易知BM=MN=CN=DE，可证△AMB≌△ENC，得出AB=EC(即EP)，由此可证得四边形ABCD是等腰梯形．
此题主要考查了梯形的性质及相似三角形的判定和性质．在证明四边形是梯形的过程中，不要遗漏证明另一组对边不平行的步骤．
23.【答案】解：(1)在Rt△EFH中，∵∠H=90°，
∴tan∠EFH=i=1：0.75=43=EHFH，
设EH=4x，则FH=3x，
∴EF=EH2+FH2=5x，
∵EF=15，
∴5x=15，x=3，
∴FH=3x=9．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；
(2)∵L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13，
H=AB+EH=22.5+3×4=34.5，H1=0.9，
∴日照间距系数=L：(H−H1)=CF+1334.5−0.9=CF+1333.6，
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴CF+1333.6≥1.25，
∴CF≥29．
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，勾股定理，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
(1)在Rt△EFH中，根据坡度的定义得出tan∠EFH=i=1：0.75=43=EHFH，设EH=4x，则FH=3x，由勾股定理求出EF=EH2+FH2=5x，那么5x=15，求出x=3，即可得到山坡EF的水平宽度FH为9m；
(2)根据该楼的日照间距系数不低于1.25，列出不等式CF+1333.6≥1.25，解不等式即可．
24.【答案】解：(1)如图，过D作DE⊥CG于E，
∵ED=203，∠CDE=30°，
∴CE=DE⋅tan30°=203×33=20m．
故DF=EG=CG−CE=32−20=12m．
(2)A楼的影子刚好不落在B楼上，
GH=CGtan30∘=3233=323m.
【解析】此题可根据A楼，地面和光线正好构成直角三角形，利用勾股定理求解．
本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
25.【答案】解：(1)∵DC//AB，
∴FCAE=FGGE，
∵EF//AD，AB//CD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴DF=AE，AD=EF，
∵AE=x=1，
∴DF=1，
∵CD=3，
∴CF=2，
又AD=6，
∴EF=6，
∴FG=6−GE，
∴21=6−GEGE，
∴GE=2；
(2)①CH:HN的值没有变化，理由如下：
过点C作CG⊥AB，垂足为G，
由题意可知CG=AD=6，DC=AG=3，
∵AB=9，
∴GB=6，
∴△CGB是等腰直角三角形，
∴CB2=CG2+GB2
∴CB=62，
∴∠B=45∘，∠HEB=90∘，
∴∠EHB=45∘，
∴∠B=∠EHB，
∴HE=BE，
∵AM=BE，
∴AM=HE，
又AM//HE，
∴四边形AMHE是平行四边形，
∴MH//AB，
∴△CNH∽△CAB，
∴CHHN=CBAB，
∵AB=9，
∴CHHN=629=223；
②当3< x< 9时，由①得HE=BE，
∴HE=9−x，
在Rt△CDA中，tan∠CAD=CDAD=36=12，
在Rt△AEH中，tan∠HAE=HEAE=9−xx，
∵∠CAD=∠HAE，
∴12=9−xx，
∴x=6；
当x> 9时，
∠EBH=∠ABC=45°，
∴BE=EH，
∴EH=x−9=BE，
在Rt△CDA中，tan∠CAD=CDAD=36=12，
在Rt△AEH中，tan∠HAE=HEAE=x−9x，
∵∠CAD=∠HAE，
∴x−9x=12，
∴x=18，
综上所述：x的值是6或18．
【解析】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识．
(1)由AB//CD可得FCAE=FGGE，说明四边形AEFD是平行四边形，进而可得CF=2，即可求解；
(2)①过点C作CG⊥AB，垂足为G，可得△CGB是等腰直角三角形，进而可得CB=62，说明四边形AMHE是平行四边形，可得MH//AB，于是△CNH∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解；
②分当3< x< 9时， 当x> 9时，两种情况讨论，根据∠CAD和∠HAE的正切求解即可．
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