沪科版数学九年级上册 期末测试数学卷（标准难度）（含答案）

这是一份沪科版数学九年级上册 期末测试数学卷（标准难度）（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
对于反比例函数y=−4x的图象，下列说法正确的是( )
A. y随x的增大而增大B. 图象位于第一、三象限
C. 图象关于直线y=−x对称D. 图象经过点(−2,−2)
已知点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(1,y3)，D(3,−2)都在双曲线y=kx上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y3>y2>y1D. y2>y1>y3
如图，函数y=1x(x>0)和y=3x(x>0)的图象分别是l1和l2.设点P在l2上，PA/​/y轴交l1于点A，PB/​/x轴，交l1于点B，△PAB的面积为( )
A. 12
B. 23
C. 13
D. 34
如图，Rt△ABC位于第一象限，AB=2，AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数y=kx(k≠0)的图象与△ABC有交点，则k的最大值是( )
5B. 4C. 3D. 2
如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则ADBD的值为( )
A. 1
B. 22
C. 2−1
D. 2+1
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，图中所有的三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积为( )
A. 20B. 22C. 24D. 26
几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形ABCD，四边形DEFG，四边形CGHI均为正方形，EF交BG于点L，DG交IH于点K，点B，L，C，G在同条直线上，若S△ADE=16，S△GHK=9，记四边形DELC的面积为S1，四边形CGKI的面积为S2，则S1S2的值为( )
A. 209B. 34C. 7745D. 169
小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为( )
A. (6+3)米B. 12米C. (4+23)米D. 10米
如图，在平面直角坐标系xOy中，AB=5，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2=BC⋅AC，tanα=12，则点C的坐标为( )
A. (−2,4)B. (−43,23)C. (−23,43)D. (−1,2)
如图，在菱形ABCD中，AB=30，∠BCD=120°，点E在CD上，且DE=10，BE交AC于点F，连接DF.现给出以下结论：
①△ABF≌△ADF；
②AF：CF=3：2；
③S△DEF=303；
④sin∠AFD=55719
正确的是( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=AD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，则sin∠ECF=( )
A. 22
B. 2315
C. 12
D. 5314
如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处，然后右转40°再航行53km到B处．在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是( )
A. 北偏东10°B. 北偏东30°C. 北偏东35°D. 北偏东40°
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
已知关于x的一元二次方程ax2−(a+1)x−4=0的两根分别为x1，x2，且−1y2>y3．
故选A．
3.【答案】B
【解析】解：设点P(m,n)，
∵P是反比例函数y=3x(x>0)图象上的点，
∴n=3m，
∴点P(m,3m)；
∵PB//x轴，
∴B点的纵坐标为3m，
将点B的纵坐标代入反比例函数的解析式y=1x(x>0)得：x=m3，
∴B(m3,3m)，同理可得：A(m,1m)；
∵PB=m−m3=2m3，PA=3m−1m=2m，
∴S△PAB=12PA⋅PB=12×2m3×2m=23．
故选：B．
将点P(m,n)代入反比例函数y=3x(x>0)用m表示出n即可表示出点P的坐标，然后根据PB/​/x轴，得到B点的纵坐标为3m，然后将点B的纵坐标带人反比例函数的解析式y=1x(x>0)即可得到点B的坐标，同理得到点A的坐标；根据PB=m−m3=2m3，PA=3m−1m=2m，利用S△PAB=12PA⋅PB即可得到答案．
本题考查了反比例函数的综合知识，题目中根据平行坐标轴的直线上的点的坐标特点表示出有关点的坐标是解答本题的关键，难度中等偏上．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可知，A点的坐标为(1,1)，C点的坐标为(1,3)，B点的坐标为(3,1)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则k+b=33k+b=1，
解得k=−1b=4，
则函数的解析式为：y=−x+4，
根据题意，得kx=−x+4，
即x2−4x+k=0，
Δ=16−4k≥0，
解得k≤4，
故k的最大值为4，
故选：B．
根据题意得出A点，B点和C点的坐标，用待定系数法求出直线BC的解析式，联立直线BC的解析式和反比例函数的解析式，根据Δ≥0得出k的取值，即可得出k的最大值．
本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质及利用判别式求k的取值是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等．由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为12，则相似比为22，从而求出ADBD的值．
【解答】
解：∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴(ADAB)2=S△ADES△ABC，
∵S△ADE=S四边形BCED，
∴ADAB=22，
∴ADBD=ADAB−AD=22−2=22+22=2+222=2+1．
故选D．
6.【答案】D
【解析】如图所示，
根据题意得△AFH∽△ADE，
∴S△AFHS△ADE=(FHDE)2=(34)2=916，
设S△AFH=9x，则S△ADE=16x，
∴16x−9x=7，解得x=1．
∴S△ADE=16．
∴四边形DBCE的面积为42−16=26．
易错警示：本题易忽略相似三角形性质的适用条件而致错．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=DC，∠A=∠B=∠ADC=90°，
∵四边形EFGD是正方形，
∴DE=DG，∠DEF=∠EDG=90°，
∴∠ADC−∠EDC=∠EDG−∠EDC，
∴∠ADE=∠CDG，
∵四边形CGHI是正方形，
∴CG=HG，∠ICG=∠H=90°，CI//HG，
∴∠CDG=∠HGK，
∴∠ADE=∠HGK，
∵∠H=∠A=90°，
∴△ADE∽△HGK，
∵S△ADE=16，S△GHK=9，
∴ADHG=43，
∴设AD=4a，HG=3a，
∴HG=CG=3a，
∵∠A=∠DCG=90°，AD=DC，∠ADE=∠CDG，
∴△ADE≌△CDG(ASA)，
∴AE=CG=3a，
∵S△ADE=16，
∴12AD⋅AE=16，
∴12⋅4a⋅3a=16，
∴a=263或a=−263(舍去)，
∴AB=AD=4a=863，AE=CG=3a=26，
∴BE=AB−AE=263，
∵∠A=90°，∠DEF=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠BEL=180°−∠DEF=90°，
∴∠ADE=∠BEL，
∴△AED∽△BLE，
∴AEBL=ADBE，
∴26BL=836236，
∴BL=62，
∴S1=正方形ABCD的面积−△ADE的面积−△BEC的面积
=AD2−16−12BE⋅BL
=(836)2−16−12×236×62
=773，
S2=正方形CGHI的面积−△GHK的面积
=CG2−9
=(26)2−9
=24−9
=15，
∴S1S2=77315=7745，
故选：C．
根据正方形的性质可得AD=AB=DC，∠A=∠B=∠ADC=90°，DE=DG，∠DEF=∠EDG=90°，CG=HG，∠ICG=∠H=90°，CI//HG，从而可得∠ADE=∠CDG，进而利用平行线的性质可得∠CDG=∠HGK，然后可得∠ADE=∠HGK，从而证明△ADE∽△HGK，利用相似三角形的性质可得ADHG=43，再设AD=4a，HG=3a，从而可得HG=CG=3a，再证明△ADE≌△CDG，然后利用全等三角形的性质可得AE=CG=3a，从而根据S△ADE=16，求出a的值，进而求出AD，AE，CG的长，最后证明一线三等角模型相似△AED∽△BLE，从而利用相似三角形的性质求出BL的长，然后根据S1=正方形ABCD的面积−△ADE的面积−△BEC的面积，S2=正方形CGHI的面积−△GHK的面积，进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，数学常识，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．
【解答】
解：延长AC交BF延长线于D点，
则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，
在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，
∴CE=2(米)，EF=CF2−CE2=23(米)，
在Rt△CED中，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2(米)，CE：DE=1：2，
∴DE=4(米)，
∴BD=BF+EF+ED=12+23(米)
在Rt△ABD中，AB=12BD=12(12+23)=(3+6)米．
故选A．

9.【答案】C
【解析】解：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，则∠OCD=∠BOC=α，

∵tanα=ODCD=12，
∴CD=2DO，
∵OC2=BC⋅AC，
∴OCBC=ACOC，
∵∠ACO=∠BCO，
∴△CBO∽△COA，
∴∠CAO=∠COB=α，
∵tanα=12，
∴tanα=BOAO=12
∴AO=2BO，
在Rt△ABO中，AO2+BO2=AB2，AB=5，
∴4BO2+BO2=5，
∴BO=1，
∴AO=2BO=2，
∵∠CDO=∠BOA=90°，∠BAO=∠CAD，
∴△BAO∽△CAD，
∴OBCD=AOAD，
即12OD=22+OD，
解得OD=23，
∴CD=43
∴C(−23,43)，
故选：C．
过点C作CD⊥x轴，垂足为D，通过解直角三角形可求得CD=2DO，根据已知易证△CBO∽△CAO，从而可得∠CAO=∠COB=α，然后在Rt△AOB中求出AO与BO的长，最后证明△BAO∽△CAD，利用相似三角形的性质即可解答．
本题考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠BAF=∠DAF，
∵AF=AF，
∴△BAF≌△DAF(SAS)，故①正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴CE/​/AB，
∴△ABF∽△CEF，
∴AFCF=ABCE=3020=32，故②正确；
∵∠BCD=120°，
∴∠ABC=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴S△ABC=34×AB2=2253，
∴S△BCF=25S△ABC=25×2253=903，
同理可得，△BCF≌△DCF(SAS)，
∴S△BCF=S△DCF，
∵DE=10，
∴S△DEF=13S△CDF=13×903=303，故③正确；
连接BD交AC于O，

∵AF：CF=3：2，
设CF=2x，则AF=3x，
∴OC=52x，OF=12x，
∵∠ODC=30°，
∴DO=532x，
∵∠DOC=90°，
∴DF=OF2+OD2=(12x)2+(53x2)2=19x，
∴sin∠AFD=ODDF=53x219x=55738，故④错误．
故选：A．
根据菱形的性质，利用SAS证明△BAF≌△DAF，故①正确；由CE/​/AB，得△ABF∽△CEF，可知AFCF=ABCE=3020=32，故②正确；首先证明△ABC是等边三角形，从而得出面积，再利用等高的两个三角形面积之比等于底之比可判断③正确；连接BD交AC于O，设CF=2x，则AF=3x，得OC=52x，OF=12x，利用含30°角的直角三角形的性质得OD的长，再利用勾股定理可得DF的长，从而可判断④错误．
本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：如图，连接AO，EF交于点O，过点E作EG⊥CF于点G，

∵AB=AD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，
∴AE=AF=BE=DF，
∵∠BAD=60°，
∴△EAF是等边三角形，
∵AB=AD，AC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴∠BAC=∠CAD=30°，AC⊥EF，
设AE=23x，则EF=BE=23x，AO=3x，
∴BC=4x，AC=8x，
∴OC=8x−3x=5x，
由勾股定理得：EC=FC=BC2+BE2=(4x)2+(23x)2=27x，
∵S△EFC=12⋅EF⋅OC=12⋅CF⋅EG，
∴EF⋅OC=CF⋅EG，
∴23x⋅5x=27x⋅EG，
∴EG=521x7，
∴sin∠ECF=EGEC=521x727x=5314．
故选：D．
如图，连接AO，EF交于点O，过点E作EG⊥CF于点G，先证明△EAF是等边三角形，得AE=EF，再证明Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，得∠BAC=∠CAD=30°，AC⊥EF，设AE=23x，则EF=BE=23x，AO=3x，分别计算EC和EG的长，并根据三角函数定义可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形和等边三角形的判定与性质等知识；有一定难度，正确作辅助线是解决问题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：如图，连接BC，
由题意得：∠ACP=∠ACD=90°，∠PAC=30°，PA=10km，∠BAE=40°，AB=53km，
∴∠BAC=180°−∠PAC−∠BAE=180°−30°−40°=110°，
∵cs∠PAC=ACPA=cs30°=32，
∴AC=32PA=32×10=53(km)，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=12×(180°−∠BAC)=12×(180°−110°)=35°，
即B处在C处的北偏东35°方向，
故选：C．
连接BC，由锐角三角函数定义得AC=32PA=53(km)，则AC=AB，再由等腰三角形的性质得∠ACB=∠ABC=35°，即可得出结论．
本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，由锐角三角函数定义求出AC的长是解题的关键．
13.【答案】32