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沪科版数学九年级上册 期末测试数学卷（较易）（含答案）
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这是一份沪科版数学九年级上册 期末测试数学卷（较易）（含答案），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
已知二次函数y=2x2−4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是( )
A. x<1B. x>1C. x<2D. x>2
下列抛物线中，与抛物线y=x2−2x+4具有相同对称轴的是( )
A. y=4x2+2x+1B. y=x2−4x
C. y=2x2−x+4D. y=−2x2+4x
如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y=1x图象上第三象限上的点，连结AO并延长交该函数第一象限的图象于点B，过点B作BC//x轴交函数y=kx(k>1)的图象于点C，连结AC.若△ABC的面积为3，则k的值为( )
A. 3B. 52C. 4D. 7
如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC的面积为6，边OB在x轴上，顶点A、C分别在反比例函数y=kx(x<0)和y=2x(x>0)的图象上，则k−2的值为( )
A. −6B. 6C. −4D. 4
如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上(不与点A、C重合)，DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是( )
A. △BFE
B. △BDC
C. △BDA
D. △AFD
如图，在平行四边形ABCD中，点E在CD上，若DE：CE=1：2，则△CEF与△ABF的周长比为( )
A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 4：9
下列判断中，不正确的是( )
A. 三边对应成比例的两个三角形相似
B. 两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C. 两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D. 有一个角是100°的两个等腰三角形相似
如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)，A(6,0)，B(0,8)，以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为( )
(0,0)，2
B. (2,2)，12
C. (2,2)，2
D. (1,1)，12
福建的地理特点是“依山傍海”，九成陆地面积为山地丘陵地带，如图，某考察队要对福州一小山进行地质考察，为了测量最西面A处与最东面B处之间的距离，一架直升飞机从A处出发，垂直上升400米到达C处，在C处观察B处的俯视角为α=30°，则A，B两地之间的距离为( )
A. 400米B. 200米C. 2003米D. 4003米
如图给出了一种机器零件的示意图，其中CD=2米、BE=3米，则AB的长为( )
A. (3−1)米
B. (3+1)米
C. (1+33)米
D. (1−33)米
如图，要测量小河宽PA的距离，在河边取PA的垂线PB，在PB上取一点C，使PC=100米时，量得∠PCA=38°，则小河宽PA=( )
A. 100sin38°B. 100sin52°C. 100tan38°D. 100tan52°
如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是( )
A. 5sin36∘米B. 5cs36∘米C. 5tan36∘米D. 10tan36∘米
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
把抛物线y=2x2向上平移3个单位得到新抛物线，这条新抛物线的解析式是______．
P为反比例函数y=3x图象上的一点，它的横坐标与纵坐标之差为2，则点P的坐标为______．
如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC= 6，CC′=4，AB=3，则A′B′= ．
如图，两艘轮船在A港口补给完毕后分别沿着北偏东45°和北偏西45°的方向同时行驶，行驶速度分别为每小时30海里和每小时40海里，行驶两小时后分别到达M和N处，此时两艘轮船之间的距离是______海里．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y=ax2+bx+c经过A(−2,0)，B(1,−94)两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线L1的表达式；
(2)将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上(点D在点E的上方)，若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．
密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V(单位：m3)变化时，气体的密度ρ(单位：kg/m3)随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V=5m3时，ρ=1.98kg/m3．
(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式；
(2)若3≤V≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b(k1≠0)的图象与反比例函数y=k2x(k2≠0)的图象相交于A(3,4)，B(−4,m)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点D在x轴上，位于原点右侧，且OA=OD，求△AOD的面积．
如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C在格点(网格线的交点)上．
(1)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A1BC1，画出△A1BC1；
(2)以点A为位似中心放大△ABC，得到△AB2C2，使△AB2C2与△ABC的位似比为2：1，请你在网格内画出△AB2C2．
已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，G是线段AD上一点，且AG=2GD，联结BG并延长，交边AC于点E．
(1)求证：AECE=2BDBC；
(2)如果D是边BC的中点，P是边BC延长线上一点，且CP=BC，延长线段BE，交线段AP于点F，联结CF、CG，求证：四边形AGCF是平行四边形．
如图，在△ABC中，DE//BC，AD=2，BD=4，AE=1.5.求AC的长．
如图，把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，它们的重叠部分的面积为△ABC的面积的425，若AB=4，求三角形移动的距离AA1是多少？
如图，小欢从公共汽车站A出发，沿北偏东30°方向走2000米到达东湖公园B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车东南方向的图书馆C处．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
(1)求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离；
(2)若小欢以100米/分的速度从图书馆C沿CA回到公共汽车站A，那么她在15分钟内能否到达公共汽车站？
如图，在△ABC中，∠B=45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD=5，sin∠BCD=35．
(1)求BC的长；
(2)求∠ACB的正切值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵y=2x2−4x+5=2(x−1)2+3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴x>1时，y随x增大而增大，
故选：B．
将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
2.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=x2−2x+4=(x−1)2+3，
∴该抛物线的对称轴是直线x=1，
A、y=4x2+2x+1的对称轴是直线x=−22×4=−14，故该选项不符合题意；
B、y=x2−4x的对称轴是直线x=−−41×2=2，故该选项不符合题意；
C、y=2x2−x+4的对称轴是直线x=−−12×2=14，故该选项不符合题意；
D、y=−2x2+4x的对称轴是直线x=−42×−2=1，故该选项符合题意．
故选：D．
根据题目中的抛物线，可以求得它的对称轴，然后再求出各个选项中的二次函数的对称轴，即可解答本题．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3.【答案】C
【解析】解：连接OC，延长CB，交y轴于点D，
∵A是反比例函数y=1x图象上第三象限上的点，连结AO并延长交该函数第一象限的图象于点B，
∴A、B关于原点O成中心对称，
∴OA=OB，
∵△ABC的面积为3，
∴S△BOC=32，
∵BC//x轴，
∴CD⊥y轴，
∴S△BOD=12×1=12，S△COD=12k，
∴S△BOC=S△COD−S△BOD=12k−12=32，
∴k=4，
故选：C．
连接OC，延长CB，交y轴于点D，根据反比例函数的中心对称性对称OA=OB，即可得出S△BOC=32，根据反比例函数系数k的几何意义得到S△BOC=S△COD−S△BOD=12k−12=32，解得k=4．
本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数的对称性，明确S△BOC=S△COD−S△BOD是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：连接OA，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AC垂直y轴，
∴S△OAE=12×|k|=−12k，S△OCE=12×2=1，
∴S△OAC=−12k+1，
∵▱ABOC的面积=2S△OAC=6．
∴−k+2=6，
∵k−2=−6，
故选：A．
连接OA，如图，利用平行四边形的性质得AC垂直y轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAE和S△OCE，所以S△OAC=−12k+1，然后根据平行四边形的面积公式可得到▱ABOC的面积=2S△OAC=6，即可求出k−2的值．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．也考查了平行四边形的性质．
5.【答案】C
【解析】解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A=∠BDF=60°，
∵∠ABD=∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴与△BFD相似的三角形是△BDA，
故选：C．
根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，CD=AB．
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=1：2，
∴EC：DC=CE：AB=2：3，
∴C△CEF：C△ABF=2：3．
故选：C．
根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比就可得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，周长的比等于相似比是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A选项是课本中定理，正确；
B选项应是两边对应成比例，且其夹角相等的两个三角形相似，只说“有一个角相等”并不能说明相似，故B选项错误，
C选项满足两边对应成比例且夹角相等，可以证明相似，正确；
D选项在等腰三角形中，100°的角必为顶角，则其两底角为40°，可以证明相似，正确．
故选：B．
根据相似三角形的判定即可得出答案．
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比即可解答．
【解答】
解：如图所示：
位似中心F的坐标为：(2,2)，
k的值为：DFFO=12．
故选：B．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意可得，
CA=400米，∠CBA=30°，
在Rt△ACB中，tan∠ABC=tan30°=ACAB=400AB=33，
解得BA=4003，
∴A，B两地之间的距离为4003米．
故选：D．
由题意可得AC=400米，∠ABC=α=30°，在Rt△ABC中，tan30°=ACAB=400AB=33，即可求得AB．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如下图，延长BA交过C点的水平线于F，
∵∠FCA=45°，BE=3米，
∴AF=CF=BE=3米，
∵DE=BE⋅tan30°=3×33=3(米)，
∴BF=CE=CD+DE=2+3(米)，
∴AB=BF−AF=2+3−3=3−1(米)，
即AB的长度为(3−1)米，
故选：A．
延长BA交过C点的水平线于F，则AF=CF=BE，BF=CE，根据BF−AF求出AB即可．
本题主要考查解直角三角形的知识，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：在Rt△PAC中，
∵tan∠PCA=PAPC，
∴PA=PC×tan∠PCA
=100tan38°．
故选：C．
在Rt△PAC中，利用直角三角形的边角间关系可得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度．
【解答】
解：∵△ABC是等腰三角形，D是底边BC的中点，
所以AD⊥BC，DC=BD=5米，
∴在Rt△ABD中，tanB=ADBD，
∴AD=BD·tanB=5tan36°米．
故选C．
13.【答案】y=2x2+3
【解析】解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位得到的新抛物线的解析式为：y=2x2+3．
故答案是：y=2x2+3．
根据“上加下减”的法则求得新的抛物线解析式．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
14.【答案】(−1,−3)或(3,1)
【解析】解：设P(t,t−2)，
把P(t,t−2)代入y=3x中得t−2=3t，
解得t=−1或t=3，
所以P点坐标为(−1,−3)或(3,1)．
故答案为：(−1,−3)或(3,1)．
设P(t,t)，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t−2=3t，然后解方程求出t，从而得到P点坐标．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合函数的解析式是解题的关键．
15.【答案】5
【解析】 ∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，其位似中心为点O，
OC=6，CC′=4，
∴OCOC′=610=35，
∴ABA′B′=35，
∵AB=3，
∴A′B′=5．
16.【答案】100
【解析】解：由题意可得∠MAN=45°+45°=90°，AN=2×40=80(海里)，AM=2×30=60(海里)，
∴MN=AM2+AN2=602+802=100(海里)．
∴此时两艘轮船之间的距离是100海里．
故答案为：100．
由题意可得∠MAN=45°+45°=90°，AN=2×40=80(海里)，AM=2×30=60(海里)，根据勾股定理可得MN=AM2+AN2=100海里．
本题考查解直角三角形的应用−方向角问题、勾股定理，熟练掌握方向角问题是解答本题的关键．
17.【答案】解：(1)设抛物线L1的表达式是y=a(x−1)2−94，
∵抛物线L1：y=ax2+bx+c经过A(−2,0)，
∴0=9a−94，
解得a=14，
∴y=14(x−1)2−94，
即抛物线L1的表达式是y=14x2−12x−2；
(2)当AC为正方形的对角线时，
则点D的坐标为(0,0)，点E(−2,−2)，
设y=14x2+bx+c，
∴c=01−2b+c=−2，解得b=32c=0，
即抛物线L2的解析式是y=14x2+32x；
当AC为边时，分两种情况，
第一种情况，点D、E在AC的右上角时，
则点D的坐标(0,2)，点E(2,0)，
设y=14x2+bx+c，
∴c=21+2b+c=0，解得b=−32c=2，
即抛物线L2的解析式是y=14x2−32x+2；
第二种情况，点D、E在AC的左下角时，
则点D的坐标(−4,−2)，点E(−2,−4)，
设y=14x2+bx+c，则4−4b+c=−21−2b+c=−4，
解得b=12c=−4，
即抛物线L2的解析式是y=14x2+12x−4．
【解析】(1)利用顶点式，可以求得该抛物线的解析式；
(2)根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法，可以分别求得对应的抛物线L2的解析式．
本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、正方形的性质、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】解：(1)设密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=kV(k≠0)．
∵当V=5m3时，ρ=1.98kg/m3，
∴1.98=k5，
∴k=9.9，
∴密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=9.9V(V>0)．
(2)∵k=9.9>0，
∴当V>0时，ρ随V的增大而减小，
∴当3≤V≤9时，9.99≤ρ≤9.93，
即二氧化碳密度ρ的变化范围为1.1≤ρ≤3.3．
【解析】(1)设密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=kV(k≠0)，利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，进而可得出密度ρ关于体积V的函数解析式；
(2)由k=9.9>0，利用反比例函数的性质可得出当V>0时ρ随V的增大而减小，结合V的取值范围，即可求出二氧化碳密度ρ的变化范围．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解题的关键是：(1)利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出k值；(2)利用反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，找出ρ的变化范围．
19.【答案】解：(1)∵反比例函数图象与一次函数图象相交于点A(3,4)，B(−4,m)．
∴4=k23，
解得k2=12，
∴反比例函数解析式为y=12x，
∴m=12−4，
解得m=−3，
∴点B的坐标为(−4,−3)，
∴3k1+b=4−4k1+b=−3，
解得k1=1b=1，
∴一次函数解析式为y=x+1；
(2)∵A(3,4)，
∴OA=32+42=5，
∴OA=OD，
∴OD=5，
∴△AOD的面积=12×5×4=10．
【解析】(1)把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k2值，从而得到反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，然后利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式；
(2)利用勾股定理求得OA，即可求得OD的长度，然后利用三角形面积公式求得即可．
本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用以及三角形面积，根据交点A的坐标求出反比例函数解析式以及点B的坐标是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1BC1为所作；
(2)如图，△AB2C2为所作．
【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A1、C1即可；
(2)延长AB到B2使AB2=2AB，延长AC到C2使AC2=2AC，从而得到△AB2C2．
本题考查了作图−位似变换：掌握画位似图形的一般步骤(确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形).也考查了旋转变换．
21.【答案】(1)证明：如图，过点D作DH//AC，交BE于H，
∵DH//AC，
∴△DHG∽△AEG，
∴DGAG=DHAE，
∵AG=2GD，
∴DH=12AE，
∵DH//AC，
∴△BDH∽△BCE，
∴BDBC=DHCE=12AECE，
∴AECE=2BDBC；
(2)证明：如图，
∵D是边BC的中点，
∴BC=2BD=2CD，
∴AECE=2BDBC=1，
∴AE=CE，
∵CP=BC=2CD，
∴CDCP=13，
∵AG=2GD，
∴DGAD=13，
∴CDCP=DGAD，
又∵∠ADP=∠GDC，
∴△DGC∽△DAP，
∴∠DGC=∠DAP，
∴GC//AP，
∴△GEC∽△FEA，
∴GEEF=CEAE=1，
∴GE=EF，
∴四边形AGCF是平行四边形．
【解析】(1)通过证明△DHG∽△AEG，由相似三角形的性质可得DH=12AE，通过证明△BDH∽△BCE，可得结论；
(2)通过证明△DGC∽△DAP，可得∠DGC=∠DAP，可证GC//AP，可证GE=EF，可得结论．
本题考查了相似三角形判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：∵DE//BC，
∴AD BD=AECE，
∵AD=2，BD=4，AE=1.5，
∴24=1.5CE，
∴CE=3，
∴AC=AE+CE=1.5+3=4.5．
答：AC的长为4.5．
【解析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式．根据平行线分线段成比例定理，列出关于线段CE的比例式，求出CE即可解决问题．
23.【答案】 解：∵AC//A1C1，
∴△A1DB∽△ACB，
∵SΔA1DB=425SΔABC，
∴A1BAB=25，
∵AB=4，
∴A1B=85，
∴AA1=125．
【解析】本题考查相似三角形的应用，分析题意，根据平移的性质可得出AC//A1C1，就可得出△A1DB∽△ACB，根据相似三角形的性质就可得出相似比，再根据AB的长，就可得出答案．
24.【答案】解：(1)过点A作AD⊥BC于点D，
∵B位于A的北偏东30°方向，AB=2000米，
∴∠B=30°，AD=12AB=1000(米)，
答：小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是1000米；
(2)Rt△ADC中，
∵∠DAC=45°，AD=1000米，
∴AC=ADcs45∘=10002≈1414(米)，
∵1414<15×100，
∴小欢15分钟内能到达公共汽车站．
【解析】(1)过点A作AD⊥C于点D，根据B位于A的北偏东30°方向和AB=2000米可得AD的长度；
(2)根据45°角的余弦和AD的长可得AC的长度，再结合小欢的速度可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，将解直角三角形的相关知识与实际生活有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
25.【答案】解：(1)设DE=3x，DE⊥BC，
∵sin∠BCD=35，
∴DECD=35，
∴CD=5x，CE=4x，
∵CD=5，
∴x=1，
∴CE=4，
∵∠B=45°，
∴DE=BE=3x，
∴BC=BE+CE=7x=7．
(2)过点A作AF⊥BC于点F，
∴DE//AF，
∵D是AB的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴AF=2DE，BF=2BE，
由(1)可知：DE=BE=3，
∴AF=6，BF=6，
∴CF=BC−BF=1，
∴tan∠ACB=6．
【解析】(1)设DE=3x，DE⊥BC，所以CD=5x，CE=4x，由CD=5可求出x=1，从而可求出答案．
(2)过点A作AF⊥BC于点F，由于D是AB的中点，所以DE是△ABF的中位线，从而可求出AF=BF=6，再求出CF=1即可求出∠ACB的正切值．
本题考查解直角三角形，解题的关键是求出DE、CE的长度，本题属于中等题型．
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
已知二次函数y=2x2−4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是( )
A. x<1B. x>1C. x<2D. x>2
下列抛物线中，与抛物线y=x2−2x+4具有相同对称轴的是( )
A. y=4x2+2x+1B. y=x2−4x
C. y=2x2−x+4D. y=−2x2+4x
如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y=1x图象上第三象限上的点，连结AO并延长交该函数第一象限的图象于点B，过点B作BC//x轴交函数y=kx(k>1)的图象于点C，连结AC.若△ABC的面积为3，则k的值为( )
A. 3B. 52C. 4D. 7
如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC的面积为6，边OB在x轴上，顶点A、C分别在反比例函数y=kx(x<0)和y=2x(x>0)的图象上，则k−2的值为( )
A. −6B. 6C. −4D. 4
如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上(不与点A、C重合)，DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是( )
A. △BFE
B. △BDC
C. △BDA
D. △AFD
如图，在平行四边形ABCD中，点E在CD上，若DE：CE=1：2，则△CEF与△ABF的周长比为( )
A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 4：9
下列判断中，不正确的是( )
A. 三边对应成比例的两个三角形相似
B. 两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C. 两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D. 有一个角是100°的两个等腰三角形相似
如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)，A(6,0)，B(0,8)，以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为( )
(0,0)，2
B. (2,2)，12
C. (2,2)，2
D. (1,1)，12
福建的地理特点是“依山傍海”，九成陆地面积为山地丘陵地带，如图，某考察队要对福州一小山进行地质考察，为了测量最西面A处与最东面B处之间的距离，一架直升飞机从A处出发，垂直上升400米到达C处，在C处观察B处的俯视角为α=30°，则A，B两地之间的距离为( )
A. 400米B. 200米C. 2003米D. 4003米
如图给出了一种机器零件的示意图，其中CD=2米、BE=3米，则AB的长为( )
A. (3−1)米
B. (3+1)米
C. (1+33)米
D. (1−33)米
如图，要测量小河宽PA的距离，在河边取PA的垂线PB，在PB上取一点C，使PC=100米时，量得∠PCA=38°，则小河宽PA=( )
A. 100sin38°B. 100sin52°C. 100tan38°D. 100tan52°
如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是( )
A. 5sin36∘米B. 5cs36∘米C. 5tan36∘米D. 10tan36∘米
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
把抛物线y=2x2向上平移3个单位得到新抛物线，这条新抛物线的解析式是______．
P为反比例函数y=3x图象上的一点，它的横坐标与纵坐标之差为2，则点P的坐标为______．
如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC= 6，CC′=4，AB=3，则A′B′= ．
如图，两艘轮船在A港口补给完毕后分别沿着北偏东45°和北偏西45°的方向同时行驶，行驶速度分别为每小时30海里和每小时40海里，行驶两小时后分别到达M和N处，此时两艘轮船之间的距离是______海里．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y=ax2+bx+c经过A(−2,0)，B(1,−94)两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线L1的表达式；
(2)将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上(点D在点E的上方)，若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．
密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V(单位：m3)变化时，气体的密度ρ(单位：kg/m3)随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V=5m3时，ρ=1.98kg/m3．
(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式；
(2)若3≤V≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b(k1≠0)的图象与反比例函数y=k2x(k2≠0)的图象相交于A(3,4)，B(−4,m)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点D在x轴上，位于原点右侧，且OA=OD，求△AOD的面积．
如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C在格点(网格线的交点)上．
(1)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A1BC1，画出△A1BC1；
(2)以点A为位似中心放大△ABC，得到△AB2C2，使△AB2C2与△ABC的位似比为2：1，请你在网格内画出△AB2C2．
已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，G是线段AD上一点，且AG=2GD，联结BG并延长，交边AC于点E．
(1)求证：AECE=2BDBC；
(2)如果D是边BC的中点，P是边BC延长线上一点，且CP=BC，延长线段BE，交线段AP于点F，联结CF、CG，求证：四边形AGCF是平行四边形．
如图，在△ABC中，DE//BC，AD=2，BD=4，AE=1.5.求AC的长．
如图，把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，它们的重叠部分的面积为△ABC的面积的425，若AB=4，求三角形移动的距离AA1是多少？
如图，小欢从公共汽车站A出发，沿北偏东30°方向走2000米到达东湖公园B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车东南方向的图书馆C处．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
(1)求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离；
(2)若小欢以100米/分的速度从图书馆C沿CA回到公共汽车站A，那么她在15分钟内能否到达公共汽车站？
如图，在△ABC中，∠B=45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD=5，sin∠BCD=35．
(1)求BC的长；
(2)求∠ACB的正切值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵y=2x2−4x+5=2(x−1)2+3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴x>1时，y随x增大而增大，
故选：B．
将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
2.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=x2−2x+4=(x−1)2+3，
∴该抛物线的对称轴是直线x=1，
A、y=4x2+2x+1的对称轴是直线x=−22×4=−14，故该选项不符合题意；
B、y=x2−4x的对称轴是直线x=−−41×2=2，故该选项不符合题意；
C、y=2x2−x+4的对称轴是直线x=−−12×2=14，故该选项不符合题意；
D、y=−2x2+4x的对称轴是直线x=−42×−2=1，故该选项符合题意．
故选：D．
根据题目中的抛物线，可以求得它的对称轴，然后再求出各个选项中的二次函数的对称轴，即可解答本题．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3.【答案】C
【解析】解：连接OC，延长CB，交y轴于点D，
∵A是反比例函数y=1x图象上第三象限上的点，连结AO并延长交该函数第一象限的图象于点B，
∴A、B关于原点O成中心对称，
∴OA=OB，
∵△ABC的面积为3，
∴S△BOC=32，
∵BC//x轴，
∴CD⊥y轴，
∴S△BOD=12×1=12，S△COD=12k，
∴S△BOC=S△COD−S△BOD=12k−12=32，
∴k=4，
故选：C．
连接OC，延长CB，交y轴于点D，根据反比例函数的中心对称性对称OA=OB，即可得出S△BOC=32，根据反比例函数系数k的几何意义得到S△BOC=S△COD−S△BOD=12k−12=32，解得k=4．
本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数的对称性，明确S△BOC=S△COD−S△BOD是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：连接OA，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AC垂直y轴，
∴S△OAE=12×|k|=−12k，S△OCE=12×2=1，
∴S△OAC=−12k+1，
∵▱ABOC的面积=2S△OAC=6．
∴−k+2=6，
∵k−2=−6，
故选：A．
连接OA，如图，利用平行四边形的性质得AC垂直y轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAE和S△OCE，所以S△OAC=−12k+1，然后根据平行四边形的面积公式可得到▱ABOC的面积=2S△OAC=6，即可求出k−2的值．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．也考查了平行四边形的性质．
5.【答案】C
【解析】解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A=∠BDF=60°，
∵∠ABD=∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴与△BFD相似的三角形是△BDA，
故选：C．
根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，CD=AB．
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=1：2，
∴EC：DC=CE：AB=2：3，
∴C△CEF：C△ABF=2：3．
故选：C．
根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比就可得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，周长的比等于相似比是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A选项是课本中定理，正确；
B选项应是两边对应成比例，且其夹角相等的两个三角形相似，只说“有一个角相等”并不能说明相似，故B选项错误，
C选项满足两边对应成比例且夹角相等，可以证明相似，正确；
D选项在等腰三角形中，100°的角必为顶角，则其两底角为40°，可以证明相似，正确．
故选：B．
根据相似三角形的判定即可得出答案．
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比即可解答．
【解答】
解：如图所示：
位似中心F的坐标为：(2,2)，
k的值为：DFFO=12．
故选：B．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意可得，
CA=400米，∠CBA=30°，
在Rt△ACB中，tan∠ABC=tan30°=ACAB=400AB=33，
解得BA=4003，
∴A，B两地之间的距离为4003米．
故选：D．
由题意可得AC=400米，∠ABC=α=30°，在Rt△ABC中，tan30°=ACAB=400AB=33，即可求得AB．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如下图，延长BA交过C点的水平线于F，
∵∠FCA=45°，BE=3米，
∴AF=CF=BE=3米，
∵DE=BE⋅tan30°=3×33=3(米)，
∴BF=CE=CD+DE=2+3(米)，
∴AB=BF−AF=2+3−3=3−1(米)，
即AB的长度为(3−1)米，
故选：A．
延长BA交过C点的水平线于F，则AF=CF=BE，BF=CE，根据BF−AF求出AB即可．
本题主要考查解直角三角形的知识，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：在Rt△PAC中，
∵tan∠PCA=PAPC，
∴PA=PC×tan∠PCA
=100tan38°．
故选：C．
在Rt△PAC中，利用直角三角形的边角间关系可得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度．
【解答】
解：∵△ABC是等腰三角形，D是底边BC的中点，
所以AD⊥BC，DC=BD=5米，
∴在Rt△ABD中，tanB=ADBD，
∴AD=BD·tanB=5tan36°米．
故选C．
13.【答案】y=2x2+3
【解析】解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位得到的新抛物线的解析式为：y=2x2+3．
故答案是：y=2x2+3．
根据“上加下减”的法则求得新的抛物线解析式．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
14.【答案】(−1,−3)或(3,1)
【解析】解：设P(t,t−2)，
把P(t,t−2)代入y=3x中得t−2=3t，
解得t=−1或t=3，
所以P点坐标为(−1,−3)或(3,1)．
故答案为：(−1,−3)或(3,1)．
设P(t,t)，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t−2=3t，然后解方程求出t，从而得到P点坐标．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合函数的解析式是解题的关键．
15.【答案】5
【解析】 ∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，其位似中心为点O，
OC=6，CC′=4，
∴OCOC′=610=35，
∴ABA′B′=35，
∵AB=3，
∴A′B′=5．
16.【答案】100
【解析】解：由题意可得∠MAN=45°+45°=90°，AN=2×40=80(海里)，AM=2×30=60(海里)，
∴MN=AM2+AN2=602+802=100(海里)．
∴此时两艘轮船之间的距离是100海里．
故答案为：100．
由题意可得∠MAN=45°+45°=90°，AN=2×40=80(海里)，AM=2×30=60(海里)，根据勾股定理可得MN=AM2+AN2=100海里．
本题考查解直角三角形的应用−方向角问题、勾股定理，熟练掌握方向角问题是解答本题的关键．
17.【答案】解：(1)设抛物线L1的表达式是y=a(x−1)2−94，
∵抛物线L1：y=ax2+bx+c经过A(−2,0)，
∴0=9a−94，
解得a=14，
∴y=14(x−1)2−94，
即抛物线L1的表达式是y=14x2−12x−2；
(2)当AC为正方形的对角线时，
则点D的坐标为(0,0)，点E(−2,−2)，
设y=14x2+bx+c，
∴c=01−2b+c=−2，解得b=32c=0，
即抛物线L2的解析式是y=14x2+32x；
当AC为边时，分两种情况，
第一种情况，点D、E在AC的右上角时，
则点D的坐标(0,2)，点E(2,0)，
设y=14x2+bx+c，
∴c=21+2b+c=0，解得b=−32c=2，
即抛物线L2的解析式是y=14x2−32x+2；
第二种情况，点D、E在AC的左下角时，
则点D的坐标(−4,−2)，点E(−2,−4)，
设y=14x2+bx+c，则4−4b+c=−21−2b+c=−4，
解得b=12c=−4，
即抛物线L2的解析式是y=14x2+12x−4．
【解析】(1)利用顶点式，可以求得该抛物线的解析式；
(2)根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法，可以分别求得对应的抛物线L2的解析式．
本题是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、正方形的性质、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】解：(1)设密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=kV(k≠0)．
∵当V=5m3时，ρ=1.98kg/m3，
∴1.98=k5，
∴k=9.9，
∴密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=9.9V(V>0)．
(2)∵k=9.9>0，
∴当V>0时，ρ随V的增大而减小，
∴当3≤V≤9时，9.99≤ρ≤9.93，
即二氧化碳密度ρ的变化范围为1.1≤ρ≤3.3．
【解析】(1)设密度ρ关于体积V的函数解析式为ρ=kV(k≠0)，利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，进而可得出密度ρ关于体积V的函数解析式；
(2)由k=9.9>0，利用反比例函数的性质可得出当V>0时ρ随V的增大而减小，结合V的取值范围，即可求出二氧化碳密度ρ的变化范围．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解题的关键是：(1)利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出k值；(2)利用反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，找出ρ的变化范围．
19.【答案】解：(1)∵反比例函数图象与一次函数图象相交于点A(3,4)，B(−4,m)．
∴4=k23，
解得k2=12，
∴反比例函数解析式为y=12x，
∴m=12−4，
解得m=−3，
∴点B的坐标为(−4,−3)，
∴3k1+b=4−4k1+b=−3，
解得k1=1b=1，
∴一次函数解析式为y=x+1；
(2)∵A(3,4)，
∴OA=32+42=5，
∴OA=OD，
∴OD=5，
∴△AOD的面积=12×5×4=10．
【解析】(1)把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k2值，从而得到反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，然后利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式；
(2)利用勾股定理求得OA，即可求得OD的长度，然后利用三角形面积公式求得即可．
本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用以及三角形面积，根据交点A的坐标求出反比例函数解析式以及点B的坐标是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1BC1为所作；
(2)如图，△AB2C2为所作．
【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A1、C1即可；
(2)延长AB到B2使AB2=2AB，延长AC到C2使AC2=2AC，从而得到△AB2C2．
本题考查了作图−位似变换：掌握画位似图形的一般步骤(确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形).也考查了旋转变换．
21.【答案】(1)证明：如图，过点D作DH//AC，交BE于H，
∵DH//AC，
∴△DHG∽△AEG，
∴DGAG=DHAE，
∵AG=2GD，
∴DH=12AE，
∵DH//AC，
∴△BDH∽△BCE，
∴BDBC=DHCE=12AECE，
∴AECE=2BDBC；
(2)证明：如图，
∵D是边BC的中点，
∴BC=2BD=2CD，
∴AECE=2BDBC=1，
∴AE=CE，
∵CP=BC=2CD，
∴CDCP=13，
∵AG=2GD，
∴DGAD=13，
∴CDCP=DGAD，
又∵∠ADP=∠GDC，
∴△DGC∽△DAP，
∴∠DGC=∠DAP，
∴GC//AP，
∴△GEC∽△FEA，
∴GEEF=CEAE=1，
∴GE=EF，
∴四边形AGCF是平行四边形．
【解析】(1)通过证明△DHG∽△AEG，由相似三角形的性质可得DH=12AE，通过证明△BDH∽△BCE，可得结论；
(2)通过证明△DGC∽△DAP，可得∠DGC=∠DAP，可证GC//AP，可证GE=EF，可得结论．
本题考查了相似三角形判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：∵DE//BC，
∴AD BD=AECE，
∵AD=2，BD=4，AE=1.5，
∴24=1.5CE，
∴CE=3，
∴AC=AE+CE=1.5+3=4.5．
答：AC的长为4.5．
【解析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式．根据平行线分线段成比例定理，列出关于线段CE的比例式，求出CE即可解决问题．
23.【答案】 解：∵AC//A1C1，
∴△A1DB∽△ACB，
∵SΔA1DB=425SΔABC，
∴A1BAB=25，
∵AB=4，
∴A1B=85，
∴AA1=125．
【解析】本题考查相似三角形的应用，分析题意，根据平移的性质可得出AC//A1C1，就可得出△A1DB∽△ACB，根据相似三角形的性质就可得出相似比，再根据AB的长，就可得出答案．
24.【答案】解：(1)过点A作AD⊥BC于点D，
∵B位于A的北偏东30°方向，AB=2000米，
∴∠B=30°，AD=12AB=1000(米)，
答：小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是1000米；
(2)Rt△ADC中，
∵∠DAC=45°，AD=1000米，
∴AC=ADcs45∘=10002≈1414(米)，
∵1414<15×100，
∴小欢15分钟内能到达公共汽车站．
【解析】(1)过点A作AD⊥C于点D，根据B位于A的北偏东30°方向和AB=2000米可得AD的长度；
(2)根据45°角的余弦和AD的长可得AC的长度，再结合小欢的速度可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，将解直角三角形的相关知识与实际生活有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
25.【答案】解：(1)设DE=3x，DE⊥BC，
∵sin∠BCD=35，
∴DECD=35，
∴CD=5x，CE=4x，
∵CD=5，
∴x=1，
∴CE=4，
∵∠B=45°，
∴DE=BE=3x，
∴BC=BE+CE=7x=7．
(2)过点A作AF⊥BC于点F，
∴DE//AF，
∵D是AB的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴AF=2DE，BF=2BE，
由(1)可知：DE=BE=3，
∴AF=6，BF=6，
∴CF=BC−BF=1，
∴tan∠ACB=6．
【解析】(1)设DE=3x，DE⊥BC，所以CD=5x，CE=4x，由CD=5可求出x=1，从而可求出答案．
(2)过点A作AF⊥BC于点F，由于D是AB的中点，所以DE是△ABF的中位线，从而可求出AF=BF=6，再求出CF=1即可求出∠ACB的正切值．
本题考查解直角三角形，解题的关键是求出DE、CE的长度，本题属于中等题型．
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