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初中数学华师大版八年级上册第12章 整式的乘除12.3 乘法公式1 两数和乘以这两数的差优秀导学案
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这是一份初中数学华师大版八年级上册第12章 整式的乘除12.3 乘法公式1 两数和乘以这两数的差优秀导学案,共4页。学案主要包含了知识链接,新知预习等内容,欢迎下载使用。
12.3 乘法公式1.两数和乘以这两数的差学习目标:1.经历平方差公式的探索及推导过程,掌握平方差公式的结构特征.(重点)2.灵活运用平方差公式进行计算和解决实际问题.(难点)自主学习一、知识链接多项式乘以多项式的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项_________另一个多项式的每一项,再把所得的积_______. 二、新知预习算一算:根据多项式乘以多项式的法则进行计算:①(x + 1)( x-1)=x2-x+x-1=_______________;②(m + 2)( m-2)=m2-2m+2m-4=_______________; ③(2m+ 1)(2m-1)=_______________=_______________. 合作探究一、探究过程 探究点1:平方差公式问题 观察算一算中的式子与它的结果,它们有什么共同的特点? 【要点归纳】当出现两个多项式相乘的时候,呈现的形式如(a+b)(a−b)=_________,(其中a,b代表数、字母或式子)即两数和与这两数差的积,等于这两数的__________.试一试:在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形,然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形,你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗?剩余部分的面积为:____________, 新长方形的面积为:____________,则有等式为:___________________. 例1利用平方差公式计算:(1)(x-5)(x+5); (2)(-a-b)(b-a); (3)(x+1)(﹣x+1). 【针对训练】计算:(1)(a-1)(a+1); (2)(2m+3n)(2m-3n). 【方法总结】应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:(1)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方;(3)公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式. 例2先化简,再求值:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2. 【针对训练】先化简,再求值:(1+3x)(1-3x)+x(9x+2)-1,其中x=. 探究点2:平方差公式的应用例3计算:(1) 51×49; (2)59.8×60.2. 【方法总结】根据平方差公式的特征,合理变形后,可以简化运算.例如(1)中的51可以化为(50+1),49可以化为(50-1). 例4王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大妈说:“我把这块地一边减少4米,另外一边增加4米,继续以原价租给你,你看如何?”李大妈一听,就答应了.你认为李大妈吃亏了吗?为什么? 【方法总结】解决实际问题的关键是根据题意列出算式,然后根据公式化简算式,解决问题. 二、课堂小结 当堂检测1.下列运算中,可用平方差公式计算的是( ) A.(x+y)(x+y) B.(-x+y)(x-y) C.(-x-y)(y-x) D.(x+y)(-x-y)2.计算(2x2+1)(2x2-1)等于( ) A.4x4-1 B.2x4-1 C.4x2-1 D.4x4+1 3.将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置,你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是______________________. 图1 图24.已知x2-y2=8,x+y=4,则x-y= .5.两个正方形的边长之和为5,边长之差为2,那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积,差 是________.6.利用平方差公式计算:(1)(a+3b)(a- 3b); (2)(3+2a)(-3+2a); (3)(-2x2-y)(-2x2+y). 7.计算:(1)20222 - 2021×2023; (2)(a-2)(a+2)(a2 + 4). 8.先化简,再求值:(x+1)(x-1)+x2(1-x)+x3,其中x=2. 9.对于任意的正整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗? 参考答案自主学习一、知识链接乘以 相加二、新知预习算一算:①x2-1 ②m2-4 ③4m²-2m+2m-1 4m²-1 合作探究 一、探究过程探究点1:问题 解:都是二项式乘二项式,得到二项式,而且两个多项式只有中间的符号不一样. 【要点归纳】a²-b² 平方差试一试:a²-b² ( a+b)( a-b) a²-b²=( a+b)( a-b)例1 解:(1)原式=x2-25. (2)原式=a2-b2. (3)原式=1-x2. 【针对训练】解:(1)原式=a2-1. (2)原式=4m2-9n2 . 例2 解:原式=4x2-y2-4y2+x2=5x2-5y2,当x=1,y=2时,原式=5×12-5×22=-15.【针对训练】解:原式=1-9x2+9x2+2x-1=2x,当x=时,原式=1. 探究点2:例3 解:(1)原式=(50+1)×(50-1)=50²-1=2499. (2)原式=(60-0.2)×(60+0.2)=60²-0.2²=3600-0.04=3599.96. 例4 解:李大妈吃亏了.理由如下:因为原正方形土地的面积为a2平方米,改变边长后土地的面积为(a+4)(a-4)=a2-16(平方米).∵a2>a2-16,∴土地面积减少了.∴李大妈吃亏了. 当堂检测 1.C 2.A 3.(a+b)(a−b)=a2- b2 4.2 5.10 6.解:(1)原式=a2-9b2. (2)原式=4a2-9. (3)原式=4x4-y2.7.解:(1)原式=1. (2)原式=a4-16. 8.解:原式=x2-1+x2-x3+x3=2x2-1,当x=2时,原式=7.9.解:(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)=9n2-1-(9-n2)=9n2-1-9+n2=10n2-10=10(n2-1).因为n为任意正整数,所以n2-1为整数.所以整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍.
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