沪科版七年级上册4.4 角优秀第2课时教学设计

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第23章 解直角三角形
23.1　锐角的三角函数
1　锐角的三角函数
第2课时 正弦与余弦
教学目标
1.使学生理解锐角正弦、余弦的定义.
2.会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值.
教学重难点
重点：理解锐角正弦、余弦的定义；
难点：求直角三角形中锐角的正弦、余弦值.
教学过程
旧知回顾
【问题】什么叫锐角的正切？什么叫坡度？如何表示？
在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度，记作：i，即i＝.
新课讲授
1.如图，(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？

(2)和有什么关系？
(3)如果改变B1C1所在的位置(如B2C2)，和有什么关系？
(4)由此你得出什么结论？
解：(1) Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2；
(2)＝；
(3)＝；
(4)∠A一定，其对边与斜边的比一定.
2.什么叫∠A的正弦？什么叫∠A的余弦？
解：如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝＝ .
类似地，如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝＝ .

锐角的正切、正弦、余弦都叫做锐角A的三角函数.
典型例题
例1 如图，在Rt△ABC中，两直角边AC＝12，BC＝5，求∠A的各个三角函数.

学生独立完成，学生代表回答，教师补充完善.
解：在Rt△ABC中， AC＝12，BC＝5，∠C＝90°，得
AB＝ ＝13.
∴ sin A＝，
cos A＝，
tan A＝.
即学即练
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，c＝5，求sin A和tan A的值.
2. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为_____.
答案：
1.解：在Rt△ABC中，c＝5，a＝3，
∴ b＝＝＝4，
∴ sin A＝＝，tan A＝＝.
学生归纳，教师总结解题思路：先根据勾股定理求出b的长，再根据锐角三角函数的定义求解.
解决这类问题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的其他边的长，再利用锐角三角函数的定义求三角函数的值.
2.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则
sin A＝，tan B＝，a2＋b2＝c2.
由sin A＝知，若设a＝3x（x>0），则c＝5x.
结合a2＋b2＝c2，得b＝4x.
所以tan B＝＝＝.
学生归纳，教师总结解题思路：解决此类问题的关键是要正确地画出草图，根据条件将已知角的三角函数值转化为直角三角形中两边的关系，利用勾股定理求出第三边，然后计算出待求角的三角函数值.

典型例题
例2 如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的各个三角函数.

解：过点P作x轴的垂线，垂足为Q.
在Rt△POQ中， OQ＝3，PQ＝4，得OP＝ ＝5，
∴ sin α＝，cos α＝，tan α＝.
即学即练
如图，已知点P在第一象限，其坐标是(a，b)，求cos α.


解：过点P作PH⊥x轴，垂足为点H.
在Rt△OPH中，∵ PH＝b，OH＝a，
∴ OP＝＝，∴ cos α＝＝.
学生归纳，教师总结解题思路：也可以过点P作PM⊥y轴于点M，注意点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|，若点P不在第一象限，则要注意横、纵坐标的符号.
课堂练习
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（　　）
A.扩大为原来的2倍 　　 B.缩小为原来的
C.扩大为原来的4倍 　　　D.不变
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么cos B的值是（　　）
A. 　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D.
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是（　　）
A.sin A＝ 　　　　 B.cos A＝ 　　　　　
C.tan A＝ 　　　　 D.tan B＝
4.如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，BC＝6，sin A＝，求cos A和tan B的值.


参考答案
1.D 2.A 3.A
4. 解：∵ sin A＝，∴ AB＝ ＝10.
又AC＝ ＝8，∴ cos A＝ ，tan B＝ .
课堂小结
如图，在Rt△ABC中，

sin A＝，
cos A＝，
tan A＝.

布置作业
教材第116页练习 T1，T 2，T 5，T 6

板书设计

1. 正弦、余弦的定义
2.例1
3.例2
4.练习
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