沪教版 (五四制)九年级上册24.2 比例线段优质教案

课题：24.2  比例线段（2）—黄金分割

教学目标：

1、会运用同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比，进行三角形的面积比与线段比的转化；

2、在比例线段性质的证明与运用过程中，体会方程思想的作用；

3、会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点；

4、经历黄金分割点的探索过程，从中体会转化、分类讨论的思想方法。

教学重点：

黄金分割的意义。

教学难点：

熟练并灵活运用黄金分割的意义解题。

教学过程：

一、问题引入，获得感悟

问题1：如图，点D是BC边的中点，则与的面积比是多少？

分析：过点A作于点E，

      则，

      因为点D是BC的中点，所以BD=CD，

      所以。

板书：1、等底（同底）等高（同高）的两个三角形面积相等。

问题2：如图，点D是BC边上的一点，且，则与的面积比是多少？

       与的面积比呢？与的面积比呢？

分析：过点A作于点E，

      则，

      所以。

      同理，。

板书：2、等高（同高）的两个三角形面积比等于对应底边之比。

问题3：如图，点D是BC边上的一点，若，则的值为多少？

分析：由问题2，可知，

      所以。

解析：课前预习第1、2题。

1、已知线段，则线段和的比例中项      ；      第2题图

2、如图，在中，点D在AB上，若，则      ；    

问题4：如果两个三角形的一边相同或相等，则它们的面积比与什么有关？

板书：3、等底（同底）的两个三角形面积比等于对应高之比。

例题1、已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，。

        求证：。

分析：从图中可以发现，与是分别以DO、OB为底边

      的同高的三角形；与是分别以CO、OA为底边

的同高的三角形。由于同高（等高）的两个三角形面积之比等

于对应底边的比，因此可以把三角形面积的比转化为对应底边的比。

证明：过点A作于点H。

      ∵，

      ∴，

      同理可得，

      ∵，

      ∴。

问题5：如果将例题1中的已知条件中“”换成“DC//AB”，其他条件不变，能证明原来的结论正确吗？

分析：根据“平行线间的距离处处相等”的性质，可知，

       所以，即。

练习1、已知：如图，AD、BE是的两条高。

        求证：。

证明：∵，

∴，

∴，

∴。

二、创设情境，获得新知

问题6：如图点P是线段AB上的一个动点，则点P在运动过程中，线段AP、BP、AB之间有怎样的数量关系？

分析：无论点P运动到哪里都有AP+PB=AB。

例题2、已知：如图，线段AB的长度是，点P是线段AB上的一点，。

          求：线段AP的长。

【说明】本题主要是为了引进黄金分割，在例题解答过程中运用了字母表示数及方程思想。

解：设AP的长为，则。

∵，

∴，

∴，解得，

∴。

小结：由，，得，

      所以，即。

      在比例式中，线段AP称为线段AB与PB的比例中项。

板书：4、如果点P线段AB分割成AP和PB（AP>PB）两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点。

※1、为黄金分割数（黄金数）。

问题7：在线段AB上除了上述的点是黄金分割点之外，还有没有其它的黄金分割点？

分析：若线段AP上的点满足，则点P也是线段AB的黄金分割点。

板书：※2、一条线段的黄金分割点有两个。

赏析：古今中外，人们把黄金分割誉为“天赋的比例法则”。符合这种分割的物体或几何图形，使人感到和谐悦目，被认为是最优美的。黄金分割广泛地应用于建筑设计、美术、音乐、艺术及几何作图等方面。例如古希腊的帕特农神殿，是黄金分割应用的杰作，成为人类建筑史中的经典建筑。黄金分割和勾股定理，被誉为几何学中的“双宝”。

解析：课前预习第3题。

3、已知线段MN的长为2厘米，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是           厘米，较短线段PN的长是          厘米。

三、例题选讲，训练提高

例题3、已知线段AB的长为4，P是线段AB的黄金分割点，求线段BP的长。

【说明】利用黄金分割概念解题，运用方程的思想，通过设未知数、列方程和解方程来求解，注意要分类讨论的情况。

解：（1）当BP>AP时，

        ∵P是线段AB的黄金分割点，

        ∴，

        ∵AB=4，

        ∴；

   （2）当BP<AP时，，

        ∴。

练习2、已知：点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，。

求：AB、BC的长。

解：∵点C为AB的黄金分割点，且AC>BC，

∴，

∴，

∴。

四、课堂小结，加深理解

1、三角形面积比与底边和高的关系是什么？

2、黄金分割的意义。

五、回家作业，复习巩固

1、复习24.2  比例线段（2），做好笔记整理；

2、小卷子《24.2  比例线段（1）》签名；

3、完成《数学练习册》：习题24.2（2）；

4、完成《导学案》：24.2  比例线段（2）；

5、预习《数学书》：P10-P13，24.3  三角形一边的平行线（1）；

6、完成《导学案》：24.3  三角形一边的平行线（1），知识清单，课前预习。

板书设计：

教学反思：