沪教版（五四学制）数学八年级上册 19.6 轨迹 练习（含解析）

19.6轨迹

一、单选题

1．到直线的距离等于2的点的轨迹是（    ）．

A．半径为2的圆

B．与平行且到的距离等于2的一条直线

C．与平行且到的距离等于2的两条直线

D．与垂直的一条直线

2．下列说法错误的是（    ）．

A．经过已知点和的圆的圆心轨迹是线段的垂直平分线

B．到点的距离等于的点的轨迹是以点为圆心，长为半径的圆

C．与直线距离为3的点的轨迹是平行于直线且和距离为3的两条直线

D．以线段为底边的等腰三角形两底角平分线交点的轨迹是线段的垂直平分线

3．下列说法错误的是（    ）．

A．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线

B．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆

C．到直线距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线

D．等腰三角形的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线

二、填空题

4．和线段AB两个端点距离相等的轨迹是__________________．

5．以线段MN为斜边的直角三角形直角顶点的轨迹是________．

6．底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是_____．

7．底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹是______．

8．到两个定点P、Q的距离相等的点的轨迹是__________．

9．经过已知线段AB的两个端点的圆的圆心的轨迹是_________．

10．到点A的距离等于6cm的点的轨迹是________________．

11．到点的距离都为3的点的轨迹是：______.

12．到已知角两边距离相等的点的轨迹是______．

13．过已知点且半径为3厘米的圆的圆心的轨迹是______．

14．和已知线段的两端点距离相等，且到一个已知点的距离等于定长的点最多有______个．

15．经过、两点的圆的圆心的轨迹是______．

16．经过定点A且半径为5cm的圆的圆心的轨迹是_____．

17．已知、，点在轴上，若是等腰三角形，则满足这样条件的有________个．

18．和已知线段两个端点相等的点的轨迹是_____．

三、解答题

19．说出下列点的轨迹是什么图形，并画出图形．

（1）在平面直角坐标系内，到x轴，y轴距离相等的点的轨迹．

（2）以已知点A为端点的线段AB=10cm，这线段的另一个端点的轨迹．

（3）已知直线上有两点A、B，且AB=3cm，与A、B构成面积为3cm2的三角形的点的轨迹．

参考答案

1．C

【分析】

到直线距离相等的点的轨迹是它的平行线，在直线两侧都各有一条，所以有两条这样的直线．

【解析】

解：到直线的距离等于2的点的轨迹是与平行，且到的距离等于2的两条直线．

故选：C．

【点睛】

本题考查两平行线间的距离，有两条这样的直线，容易漏掉一条，要注意．

2．D

【分析】

利于垂直平分线的定义、圆的定义、轨迹的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．

【解析】

解：A、经过已知点P和Q的圆的圆心轨迹是线段PQ的垂直平分线，正确；

B、到点A的距离等于2cm的点的轨迹是以点A为圆心，2cm长为半径的圆，正确；

C、与直线AB距离为3的点的轨迹是平行于直线AB且和AB距离为3的两条直线，正确；

D、以线段AB为底边的等腰三角形两底角平分线交点的轨迹是线段AB的垂直平分线，线段AB的中点除外，所以此选项错误符合题意.

故选D．

【点睛】

本题考查了轨迹的知识，解题的关键是能够了解轨迹的定义，要注意不重不漏．

3．D

【分析】

根据角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和等腰三角形的性质结合图形进行解答即可．

【解析】

A.在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，故该选项正确，

B.到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆，故该选项正确，

C.到直线l距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线，故该选项正确；

D.等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线（BC的中点除外），故该选项错误，

故选D．

【点睛】

本题考查的是点的轨迹，掌握角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和线段垂直平分线的性质是解题的关键．

4．线段AB的垂直平分线

【分析】

根据线段垂直平分线的性质解题即可．

【解析】

到线段AB两个端点的距离相等的点的轨迹是线段AB的垂直平分线，

故答案为：线段AB的垂直平分线．

【点睛】

本题考查线段垂直平分线的性质，是重要考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．

5．以MN为直径圆（除M、N两点外）

【分析】

根据直角三角形的性质，斜边即为外接圆的直径，故可确定答案．

【解析】

根据直角三角形的性质，斜边即为外接圆的直径，

故以线段MN为斜边的直角三角形直角顶点的轨迹是以线段MN中点为圆心，MN为直径的圆（不包含M、N两点）．

故答案为：以MN为直径圆（除M、N两点外）．

【点睛】

本题考查了直角三角形的外接圆，确定直角三角形外接圆的圆心位置是解题的关键．

6．底边BC的垂直平分线（除底边中点外）

【分析】

由等腰三角形三线合一的性质可以确定答案．

【解析】

在已知线段BC的等腰三角形ABC中，根据等腰三角形三线合一的性质，顶点A必在底边BC的垂直平分线上．

故答案为：底边BC的垂直平分线（除底边中点外）．

【点睛】

本题考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握性质并运用是解题的关键．

7．底边的垂直平分线（底边的中点除外）

【分析】

根据等腰三角形的性质，即已知等腰三角形的底边时，则第三个顶点到底边两个端点的距离相等，且不在底边上，结合线段的垂直平分线即可求解．

【解析】

∵线段垂直平分线上的点和线段两个端点的距离相等，

∴底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹是底边的垂直平分线（底边的中点除外）．

故答案为底边的垂直平分线（底边的中点除外）．

【点睛】

此题考查了点的轨迹问题，熟悉等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解题关键．

8．线段PQ的垂直平分线

【分析】

根据线段垂直平分线的判定定理，即可得到答案．

【解析】

解：到两个定点P、Q的距离相等的点的轨迹是线段PQ的垂直平分线；

故答案为：线段PQ的垂直平分线．

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理进行解题．

9．线段AB的垂直平分线

【分析】

利用圆的性质可以得到圆上的所有点到圆心的距离相等，从而得到所有圆心到A、B两点的距离相等，从而得到结论．

【解析】

解：∵圆上的所有点到圆心的距离相等，

∴无论圆心O在哪里，总有OA=OB，

即：所有圆心到A、B两点的距离相等，

∵到A、B两点的距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，

故答案为：线段AB的垂直平分线．

【点睛】

本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

10．以A为圆心，6cm为半径的圆

【分析】

到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，据此解题即可．

【解析】

根据圆的定义，到点A的距离等于定长6cm的点的轨迹是以点A为圆心,6cm为半径的圆，

故答案为：以点A为圆心，6cm为半径的圆．

【点睛】

本题考查点的轨迹、圆的定义，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．

11．以点A为圆心，3为半径的圆．

【分析】

圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，所以到定点A的距离等于3的点的集合是圆．

【解析】

根据圆的定义可知，到点A的距离等于3的点的集合是以点A为圆心，3为半径的圆．

故答案为以点A为圆心，3为半径的圆．

【点睛】

此题考查圆的定义，正确理解定义是解题关键．

12．这个角的平分线所在的直线

【分析】

根据角平分线的性质即可得答案.

【解析】

∵角平分线上的点到角两边的距离相等,

∴在角的内部，到已知角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.

故答案为：这个角的平分线所在的直线

【点睛】

本题考查角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等；熟练掌握性质是解题关键.

13．以为圆心，半径为的圆

【分析】

根据圆的定义即可得答案.

【解析】

∵所求圆心的轨迹，就是到A点的距离等于3厘米的点的集合，

∴是一个以A为圆心，半径为3cm的圆．

故答案为以A为圆心，半径为3cm的圆

【点睛】

本题考查圆的定义，就是到定点的距离等于定长的点的集合.

14．2

【分析】

根据线段垂直平分线的性质可得和已知线段的两端点距离相等的点在线段垂直平分线上，分别讨论定长m>PO、m=PO和m<PO三种情况，得出与垂直平分线的交点个数即可得答案.

【解析】

如图，直线CD为相等AB的垂直平分线，过定点P作PO⊥CD，设定长为m，

∵已知线段的两端点距离相等的点在AB的垂直平分线上，

∴所求的点在直线CD上，

∴当m>PO时，与CD有2个交点，

当m=PO时，与CD有1个交点，

当m<PO时，与CD没有交点，

∴已知线段的两端点距离相等，且到一个已知点的距离等于定长的点最多有2个，

故答案为2

【点睛】

本题考查本题考查的是点的轨迹，熟练掌握线段垂直平分线的性质并灵活运用分类讨论的思想是解题关键.

15．线段的垂直平分线

【分析】

根据线段垂直平分线的性质即可得答案.

【解析】

∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，

∴经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是线段的垂直平分线，

故答案为线段AB的垂直平分线

【点睛】

本题考查了相等垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；熟练掌握性质是解题关键.

16．以点A为圆心，5cm为半径的圆．

【分析】

要求作经过定点A，且半径为5厘米的圆的圆心，则圆心应满足到点A的距离恒等于5cm，根据点和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析．

【解析】

解：所求圆心的轨迹，就是到A点的距离等于5厘米的点的集合，因此应该是一个以点A为圆心，5cm为半径的圆.

故答案为以点A为圆心，5cm为半径的圆．

【点睛】

此题考查了轨迹，就是到定点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆．

17．

【分析】

分为三种情况：AC=AB，BC=AB，AC=BC，根据等腰三角形的性质即可求得答案.

【解析】

以A为圆心，以AB为半径画弧，交x轴于C1点，此时AC=AB；

以B为圆心，以AB为半径画弧，交x轴于C2，C3点，此时BC=AB；

作AB的垂直平分线交x轴于C4点，此时AC=BC.

故答案为4.

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质和判定.

18．已知线段的垂直平分线

【分析】

利用垂直平分线的判定定理可以得到答案．

【解析】

∵到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，

∴到线段两个端点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线．

19．（1）x轴、y轴所构成的四个角的平分线；（2）以点A为圆心，半径长为10cm的圆；（3）平行于直线且与直线的距离为的两条直线.

【分析】

（1）根据角平分线的性质即可得答案；（2）根据圆的定义即可得答案；（3）根据等底等高的三角形面积相等，平行线间的距离相等的性质即可得答案.

【解析】

（1）如图：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，

∴在平面直角坐标系内，到x轴，y轴距离相等的点的轨迹是x轴、y轴所构成的四个角的平分线；

（2）如图，∵到定点的距离为定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆，

∴点A为端点的线段AB=10cm，另一个端点B的轨迹为以点A为圆心，半径长为10cm的圆，

（3）如图，∵AB=3cm，与A、B构成面积为3cm2，

∴AB边的高为2cm，

∵等底等高的三角形面积相等，平行线间的距离相等，

∴另一个点的轨迹为平行于直线且与直线的距离为的两条直线.

【点睛】

本题考查的是点的轨迹，熟练掌握角平分线的性质、圆的定义及平行线的性质是解题关键.