广东省2020届高三普通高中招生全国统一考试模拟（一）数学（文）试题 Word版含解析

这是一份广东省2020届高三普通高中招生全国统一考试模拟（一）数学（文）试题 Word版含解析，共26页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
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2020年普通高等学校招生全国统一考试
广东省文科数学模拟试题（一）
本试卷5页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的县（市、区）、学校、姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合均为全集的子集，集合，则满足的集合可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由补集的定义可知，集合中不含元素1,2，即得答案.
【详解】集合均为全集的子集，集合.
集合中不含元素1,2.
故选：.
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.
2. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A. B. 2 C. 5 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的除法，把复数化为的形式，即得的虚部.
【详解】,
复数的虚部为1.
故选：.
【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念，属于基础题.
3. 已知向量，向量满足，若，则（ ）
A. B. 3 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
求出，由，得，即求.
【详解】.
，即，
.
故选：A.
【点睛】本题考查向量的线性运算和向量垂直的坐标表示，属于基础题.
4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，若四边形是正方形且面积为4，则椭圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意知.由四边形是正方形且面积为4，可得，且，即，可求的值，从而求出，可得答案.
【详解】由题意知.
四边形是正方形且面积为4，，且，即，
，椭圆方程为.
故选：A.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属于基础题.
5. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线≤左侧的图形的面积为，则的大致图像为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由已知条件写出的函数关系式，即可选择其图像.
【详解】因为是边长为2的正三角形，
当≤1时， ；
当≤2时，
所以只有选项B中图像符合
故选：B.
【点睛】此题考查的是求函数解析式和由解析式选函数图像，属于基础题.
6. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由，可求出.又，根据倍角公式可求值.
【详解】.
.
故选：B.
【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和倍角公式，属于基础题.
7. 甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用列举法求出“甲从4种不同的图书中任选2本阅读”所包含的基本事件数，进而求出“甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读”包含的基本事件总数，以及“甲、乙两人选的2本恰好相同”包含的基本事件数，根据古典概型的概率计算公式，可求概率.
【详解】用、、、表示4种不同的图书，则事件“甲从4种不同的图书中任选2本阅读”所包含的基本事件有：、、、、、，共种，
其中，事件“甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读”所包含的基本事件数为，
记“甲、乙两人选的2本恰好相同”为事件，则事件包含的基本事件数为，
.
故选：C.
【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.
8. 某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为，则石凳子的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知，石凳子的体积等于正方体的体积减去8个正三棱锥的体积.求出正三棱锥的体积即得答案.
【详解】由题意，石凳子的体积等于正方体的体积减去8个正三棱锥的体积.
一个正三棱锥的体积为,
所以石凳子的体积为.
故选：.
【点睛】本题考查空间几何体的体积，属于基础题.
9. 执行下边的程序框图，若输出的值为，则输入的值为（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的值.根据输出的值为，可求出输入的的值.
【详解】模拟执行程序框图可得
第一次执行循环，可得
第二次执行循环，可得
第三次执行循环，可得
第四次执行循环，可得
第五次执行循环，可得
输出的值为，
不成立，.
故选：.
【点睛】本题考查循环结构的程序框图，属于基础题.
10. 已知是坐标原点，双曲线的右焦点为，过点的直线与轴垂直，且交双曲线于两点，若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设.把代入双曲线方程，得.由是等腰直角三角形，得.又，可求离心率.
【详解】设.
把代入双曲线，得.
是等腰直角三角形，,
又，
，解得.
故选：.
【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于基础题.
11. 在中，已知，是边上一点，且，，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设.由题意.则，两端平方，根据数量积运算和基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.再由三角形面积公式可求面积的最大值
【详解】设.由题意，.
则，

，
即，当且仅当，即时，等号成立.
，
面积的最大值为.
故选：.
【点睛】本题考查利用向量求三角形的面积，考查基本不等式，属于中档题.
12. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由，得.令，则，故在上单调递增，且.可得是定义在上的偶函数，故在上单调递减，且.故等价于，等价于或，可求解集.
【详解】由，得，即.
.
令，
在上单调递增，且.
是定义在上的奇函数，.
，
是定义在上的偶函数.
在上单调递增，在上单调递减，且.
故等价于，
等价于或，即或，
解得或，
原不等式的解集为.
故选：.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于较难的题目.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出.由题意知，可求.
【详解】.
曲线在点处的切线与直线平行，
，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
14. 若满足约束条件则的最大值为_____．
【答案】7
【解析】
【分析】
约束条件即，作出可行域.由得，平移直线，数形结合可求的最大值.
【详解】约束条件即，作出可行域，如图所示

由得，则为直线在轴上的截距.
平移直线，当直线过可行域内的点时，最大.
解方程组，得，即，
.
故答案为：7.
【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.
15. 如图，已知三棱锥满足，，则该三棱锥外接球的体积为_______．

【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得，点在底面上的射影为的外心，即斜边的中点.由得的外心即为三棱锥的外接球的球心，设为.故正的外接圆的半径即为三棱锥的外接球的半径，求出半径，即求球的体积.
【详解】在底面上的射影为的外心.
斜边的中点即为的外心，即平面，
三棱锥的外接球的球心在上.
的外心即为三棱锥外接球的球心，设为.
如图所示

三棱锥的外接球的半径即为正的外接圆的半径，
，
三棱锥外接球的体积.
故答案为：.
【点睛】本题考查空间几何体外接球的体积，属于中档题.
16. 函数满足，当时，方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由可得的对称轴为.由辅助角公式可得，故，可求.求出的解析式，求出在的值域，即可求实数的取值范围.
【详解】函数满足，对称轴为.
由辅助角公式可得，
，即，
即，两端平方，可得.
.
当时，.
当时，方程恰有两个不等的实根，
即方程在上恰有两个不等的实根.
或，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数与方程、三角函数的对称性和辅助角公式，属于较难的题目.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 已知为单调递增的等差数列，设其前项和为，，且，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最小值及取得最小值时的值．
【答案】（1）；（2）当或11时，取得最小值
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，则.由，成等比数列列方程组求，即求数列的通项公式；
（2）根据的符号，可求的值，根据等差数列前项和公式，求的最小值.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，
由题意可得
解得或（舍）．
当时，．
．
（2）由（1）知，
令解得．
当时，，
当时，，
当时，．
当或11时，．
【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和前项和，属于基础题.
18. 某城市208年抽样100户居民的月均用电量（单位：千瓦时），以，，，，，，分组，得到如下频率分布表：
分组
频数
频率


0.04

19



0.22

25
0.25

15
0.15

10


5
0.05


（1）求表中的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数；
（2）该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数（单位：千瓦时）作为统计数据，下图是部分数据的折线图．



由折线图看出，可用线性回归模型拟合与年份的关系．
①为简化运算，对以上数据进行预处理，令，，请你在答题卡上完成数据预处理表；
②建立关于的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
【答案】（1），，，；中位数千瓦时；（2）①见解析；②；237.2千瓦时.
【解析】
【分析】
（1）根据频率等于频数与样本容量的比，求出.根据中位数左右两侧的频率相等，求出中位数；
（2）①根据折线图完成数据预处理表；②根据参考公式求出关于的线性回归方程，令，可得预测值.
【详解】（1）由已知，，同理；
，同理．
设样本频率分布表的中位数为，则
，解得．
由样本估计总体，可估计2018年该市居民月均用电量的中位数千瓦时．
（2）①数据预处理表如下：



0
2
4



0
19
29




②由①可知，，．
设关于的线性回归方程为，则
，
且．
得．
代入，，有，
则所求关于的线性回归方程为：，
即．
可预测该市2020年居民月均用电量的中位数为
（千瓦时）．
【点睛】本题考查频率分布表和线性回归方程，属于中档题.
19. 如图，已知正三棱柱，是的中点，是的中点，且，．

（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接.证明四边形是平行四边形，则，根据线面平行的判定定理，即证平面．
（2）根据体积相等，求点到平面的距离．证明平面，则三棱锥的体积.设点到平面的距离为，由得，可求.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图所示

分别是的中点，
．
，是的中点，
．
四边形是平行四边形，
．
平面，平面,
平面．
（2）是正三角形，是的中点,
．
在正三棱柱中，平面，
．
，平面．
又由（1）知，，平面．
又，，，．
．
在中，，
，，，
平面．
．
．
．
设点到平面距离为，则由得
，，即点到平面的距离为．
【点睛】本题考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理和等体积法求点面距，属于中档题.
20. 动圆与轴交于，两点，且是方程的两根．
（1）若线段是动圆的直径，求动圆的方程；
（2）证明：当动圆过点时，动圆在轴上截得弦长为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据韦达定理求出圆心坐标和半径，即求动圆的方程；
（2）设动圆的方程为：.令，则.由题意，结合韦达定理可得，．又动圆过点，可求的值. 令，可求动圆在轴上截得的弦长.
【详解】（1）是方程的两根，
，．
动圆与轴交于，两点且线段是动圆的直径，
动圆的圆心坐标为，
半径为．
动圆的方程为：．
（2）证明：设动圆的方程为：，
动圆与轴交于，，
令，则．
由题意可知，．
又动圆过点，
，即．
令，则，解得或．
．
动圆在轴上截得弦长为．
动圆在轴上截得弦长为定值．
【点睛】本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系，属于中档题.
21. 已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，证明：在上存在唯一零点．
【答案】（1）极小值，无极大值；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出，判断的单调性，即求函数的极值；
（2），令,求出，判断的单调性.根据零点存在定理可得：存在使得，判断在的单调性，即可证明.
【详解】（1）当时，，．
令，得，.
当时，，是增函数，
当时，，是减函数．
当时，取得极小值，无极大值．
（2）证明：，
令，
则．
当时，则，在上单调递增．
又，，
存在使得．
即当时，，是减函数；
当时，，是增函数．
又，，
在上存在一个零点，在上没有零点．
在区间上存在唯一零点．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值和零点，属于较难的题目.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．若为曲线上的动点，是射线上的一动点，且满足，记动点的轨迹为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）若曲线与曲线交于、两点，求的面积．
【答案】（1）（去掉原点）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设点的极坐标为，点的极坐标为，根据题意得出，将点的极坐标代入曲线的极坐标方程，可得出一个等式，然后将代入等式，化简可得出曲线的极坐标方程，进而利用极坐标与直角坐标之间的转换关系可得出曲线的直角坐标方程；
（2）将曲线的方程化为直角坐标方程，计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出，并计算出原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1）设点的极坐标为，点的极坐标为，
，，可得.
将点的极坐标代入曲线的极坐标方程得，
将代入等式，得，
即，等式两边同时乘以得，
化为直角坐标方程得，即，
因此，曲线的直角坐标方程为（去掉原点）；
（2）曲线的直角坐标方程为，曲线为直线，
曲线是以点为圆心，以为半径的圆（去掉原点），
圆心到直线的距离为，，
原点到直线的距离为，
因此，的面积为.
【点睛】本题考查曲线极坐标方程的求解，考查了曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了圆的内接三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.
[选修4—5：不等式选讲]
23. 已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若对于任意的实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）当时，去绝对值，把写成分段函数，不等式等价于3个不等式组，解即得；
（2）由对于任意的实数恒成立，得对于任意的实数恒成立.分和两种情况解不等式，求实数的取值范围．
【详解】（1），．

由得或或
解得或或，
不等式的解集为．
（2）由对于任意的实数恒成立，得对于任意的实数恒成立
当时，恒成立；
当时，恒成立恒成立,
即恒成立，
当时，显然恒成立，
当时，恒成立或恒成立，
即或恒成立．
，解得，实数的取值范围为．
【点睛】本题考查含有绝对值的不等式的解法，考查分类讨论，属于较难的题目.