【同步学案】人教B版（2019） 高中数学 第11章立体几何初步11.1 空间几何体学案（含解析）

11.1.3　多面体与棱柱

最新课程标准：1.了解多面体的定义及其分类．(重点)　2.理解棱柱定义和结构特征．(重点)　3.在棱柱中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系．(难点)

知识点一　多面体

(1)定义

由若干个____________所围成的几何体叫做多面体．

(2)相关概念(如图所示)

(3)凸多面体

把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面________________，则这样的多面体就叫做凸多面体．

　长方体、正方体是多面体吗？

[提示]　是．长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义．

最简单的多面体由几个面所围成？

[提示]　四个．

知识点二　棱柱的结构特征

[基础自测]

1．下列几何体中是棱柱的个数有(　　)

A．5个　     B．4个

C．3个　　    D．2个

2．四棱柱有几条侧棱，几个顶点(　　)

A．四条侧棱、四个顶点    B．八条侧棱、四个顶点

C．四条侧棱、八个顶点    D．六条侧棱、八个顶点

3．一个棱柱至少有________个面；面数最少的棱柱有________个顶点，有________条棱．

4．下列叙述中，错误的一项为(　　)

A．棱柱的面中，至少有两个面相互平行

B．棱柱的各个侧面都是平行四边形

C．棱柱的两底面是全等的多边形

D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

题型一　棱柱的概念

例1　下列描述中，不是棱柱的结构特征的是(　　)

A．有一对面互相平行

B．侧面都是四边形

C．相邻两个侧面的公共边都互相平行

D．所有侧棱都交于一点

　判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣几何体的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等．

跟踪训练1　下列关于棱柱的说法正确的个数是(　　)

①四棱柱是平行六面体；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；④底面是正多边形的棱柱是正棱柱．

A．1     B．2　

C．3　　    D．4

题型二　几种常见四棱柱的关系

例2　下列说法中正确的是(　　)

A．直四棱柱是直平行六面体

B．直平行六面体是长方体

C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体

D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱

方法归纳

几种常见四棱柱的关系

跟踪训练2　一个棱柱是正四棱柱的条件是(　　)

A．底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱

B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱

C．底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱

D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱

题型三　多面体的表面展开图

例3　一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，全面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________cm2.

【解析】　设底面边长，侧棱长分别为a cm，l cm，

则∴或

∴S侧＝4×4×7＝112(cm2)，

或S侧＝4×6×3＝72(cm2)．

【答案】　112或72

跟踪训练3　已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为(　　)

A．22  B．20

C．10  D．11

教材反思

1．本节课的重点是理解并掌握棱柱的定义和结构特征，难点是在描述和判断几何体结构特征的过程中培养观察能力和空间想象能力．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)有关棱柱结构特征的解题策略．

(2)绘制展开图和由展开图还原几何体的方法．

3．本节课的易错点是理解棱柱的结构特征及其关系中出现偏差而致错.

11．1.3　多面体与棱柱

新知初探·自主学习

知识点一

(1)平面多边形　(3)都在这个平面的同一侧

知识点二

互相平行　侧面　侧棱　底面　顶点　平行　公共边　公共顶点

[基础自测]

1．解析：由棱柱的定义知①③是棱柱，选D.

答案：D

2．解析：由四棱柱的结构特征知它有四条侧棱，八个顶点．

答案：C

3．解析：面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱．

答案：5　6　9

4．解析：定义1：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱．

定义2：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱；正4棱柱，正6棱柱中，相对的侧面都是互相平行的平面，故D错误；故选D.

答案：D

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　由棱柱的结构特征知D错．

【答案】　D

跟踪训练1　解析：四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确．

答案：A

例2　【解析】　直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错．

【答案】　C

跟踪训练2　解析：选项A、B中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除选项A、B、C，所以选D.

答案：D

跟踪训练3　解析：所求长方体的表面积

S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.

答案：A