【同步学案】人教B版（2019） 高中数学 第11章立体几何初步11.2-11.4学案（含解析）

11.3.3　平面与平面平行

最新课程标准：1.掌握空间两个平面的位置关系，并会判断．(重点)　2.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．(重点)　3.平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．(难点)

知识点一　两个平面的位置关系

　如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？

[提示]　如果两个平面有一个公共点，那么由基本性质3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．

知识点二　平面与平面平行的判定与性质

(1)平面与平面平行的判定

①文字语言：如果一个平面内有两条________直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

②符号语言：a⊂β，b⊂β，________，a∥α，b∥α⇒β∥α.

③图形语言：如图所示．

推论：如果一个平面内有两条________直线分别平行于另一个平面内的________直线，那么这两个平面平行．

(2)平面与平面平行的性质定理

①文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线________．

②符号语言：α∥β，α∩γ＝a，________⇒a∥b.

③图形语言：如图所示．

④作用：证明两直线________．

(3)三个平面平行的性质

两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段________．

[基础自测]

1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是 (　　)

A．平行  B．相交

C．异面  D．不确定

2．底面为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，与平面BB1C1C平行的平面是(　　)

A．平面AA1D1D  B．平面AA1B1B

C．平面DD1C1C  D．平面ABCD

3．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．

4．下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.

其中错误命题的序号为________．

题型一　平面与平面间的位置关系

例1　已知下列说法：

①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；

②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；

③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；

④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；

⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．

其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．

方法归纳

两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交．熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键．

跟踪训练1　如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(　　)

A．平行　     B．相交

C．平行或相交　   D．不能确定

题型二　平面与平面平行的判定

例2　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

方法归纳

判定面面平行的常用方法

(1)定义法：两个平面没有公共点；

(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；

(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；

(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

跟踪训练2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.

题型三　面面平行的性质定理的应用

　1. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．你能证明直线EG∥平面BDD1B1吗？

[提示]　如图，连接SB，

∵E，G分别是BC，SC的中点，

∴EG∥SB.

又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1.

∴直线EG∥平面BDD1B1.

2. 上述问题中，条件不变，请证明平面EFG∥平面BDD1B1.

[提示]　连接SD.∵F，G分别是DC，SC的中点，

∴FG∥SD.

又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，

∴FG∥平面BDD1B1.

又EG∥平面BDD1B1，

且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1.

例3　如图，已知平面α∥β，P∉α，且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝________.

　面面平行⇒线线平行⇒分线段比例相等．

【解析】　因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，

因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝.所以BD＝.

【答案】　

跟踪训练3　(1)将本例改为：若点P位于平面α，β之间(如图)，其他条件不变，试求BD的长．

(2)将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C与D，E，F.

已知AB＝6，＝，求AC的长．

方法归纳

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

教材反思

1．本节课的重点是空间两平面位置关系的判断和平面与平面平行的性质定理与判定定理，难点是平面平行的判定定理与性质定理的应用．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)能够判断空间两个平面的位置关系．

(2)平面与平面平行的判定定理．

(3)平面与平面平行的性质定理．

3．本节课的易错点是应用平面与平面平行的判定定理与性质定理进行证明时条件应用不全面致误.

11．3.3　平面与平面平行

新知初探·自主学习

知识点一

α∥β　0个　α∩β＝l　无数个点(共线)　

知识点二

(1)相交　a∩b＝P　相交　两条相交　(2)平行　β∩γ＝b　平行　(3)成比例

[基础自测]

1．解析：由面面平行的性质定理可知选项A正确．

答案：A

2．解析：根据图形及平面平行的判定定理知，平面BB1C1C∥平面AA1D1D.

答案：A

3．解析：由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，所以l∥A1C1.

答案：平行

4．解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．

答案：①②

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　①错．a与b也可能异面；

②错．a与b也可能平行；

③对．∵α∥β，∴α与β无公共点．又∵a⊂α，b⊂β，

∴a与b无公共点；

④对．由已知及③知：a与b无公共点，

那么a∥b或a与b异面；

⑤错．a与β也可能平行．

答案：③④

跟踪训练1　解析：如图所示，由图可知C正确．

答案：C

例2　【证明】　(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.

又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，

所以B，C，H，G四点共面．

(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.

因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

所以EF∥平面BCHG.

因为A1G∥EB，A1G＝EB，

所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.

因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

所以A1E∥平面BCHG.

因为A1E∩EF＝E，

所以平面EFA1∥平面BCHG.

跟踪训练2　证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，

∴MQ∥AD，NQ∥BP.

又∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，

∴NQ∥平面PBC.

∵四边形ABCD为平行四边形．

∴BC∥AD，∴MQ∥BC.

又∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，

∴MQ∥平面PBC.

又∵MQ∩NQ＝Q，

∴平面MNQ∥平面PBC.

跟踪训练3　解：(1)与本例同理，可证AB∥CD.

所以＝，即＝，所以BD＝24.

(2)由题图可知＝⇒AC＝·AB＝×6＝15.