【同步学案】苏教版（2019） 高中数学 必修第二册 第10章三角恒等变换学案含解析
展开10.2 二倍角的三角函数
学 习 任 务 | 核 心 素 养 |
1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点) 2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．(难点) | 1．通过对二倍角公式的推导，培养逻辑推理素养． 2． 通过利用二倍角公式求值、化简和证明，培养数学运算素养． |
(1)在公式S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)中，若令α＝β，你会发现什么？
(2)在C2α公式中，还有其他表示形式吗？
知识点 倍角公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝．
(1)T2α对任意角α都成立吗？
(2)倍角公式中的“倍角”只能是2α吗？
[提示] (1)不是．所含各角要使正切函数有意义．
(2)倍角公式中的“倍角”具有相对性，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
1．已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α等于( )
A． B． C． D．
D [∵sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故选D．]
2．计算1－2sin222.5°等于( )
A． B． C． D．
B [1－2sin222.5°＝cos 45°＝，故选B．]
3．若tan α＝3，则tan 2α＝________．
－ [∵tan α＝3，
∴tan 2α＝＝＝－．]
类型1 直接应用二倍角公式求值
【例1】 (对接教材P63例1)已知sin 2α＝，＜α＜，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．
[解] 由＜α＜，得＜2α＜π．
又因为sin 2α＝，
所以cos 2α＝－
＝－＝－．
于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α
＝2××＝－；
cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×＝；
tan 4α＝＝＝－．
对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式
对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是α的二倍角；是的二倍角；是的二倍角；…，又如α＝2·，＝2·，…．
[跟进训练]
1．求下列各式的值．
(1)sinsin；(2)cos215°－cos275°；
(3)2cos2－1；(4)．
[解] (1)∵sin＝sin＝cos，
∴sinsin＝sincos
＝×2sincos＝sin＝．
(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，
∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝．
(3)2cos2－1＝cos＝－．
(4)＝×
＝tan 60°＝．
类型2 逆用二倍角公式化简求值
【例2】 化简：．
[解] 原式＝
＝
＝＝＝1．
1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．
[跟进训练]
2．求下列各式的值：
(1)2sincos； (2)1－2sin2750°；
(3)； (4)coscos．
[解] (1)原式＝sin＝sin＝．
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(60°＋4×360°)＝cos 60°＝．
(3)原式＝tan(2×150°)
＝tan 300°
＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°＝－．
(4)原式＝coscos
＝cossin
＝
＝sin＝×
＝．
类型3 活用“倍角”关系巧解题
【例3】 已知sin＝，0＜x＜，求的值．
本题中角“－x”与角“＋x”有什么关系？如何借助诱导公式实现cos 2x与sin的转换？
[解] ∵＋＝，
∴sin＝cos＝，
又0＜x＜，
∴＜x＋＜，
∴sin＝．
∴＝
＝
＝2sin＝．
1．(变结论)本例条件不变，求cos 2x．
[解] ∵0<x<，
∴0<－x<，由sin＝，
得cos＝，
cos 2x＝sin＝sin 2
＝2sincos＝2××＝．
2．(变结论)本例条件不变，求的值．
[解] ∵＋＝，
∴cos＝sin＝．
∵＝
＝＝2sin xcos x＝sin 2x，
又sin 2x＝－cos＝1－2cos2＝1－2×＝．∴＝．
当遇到±x这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos 2x＝sin＝2sincos.
类似这样的变换还有：
1cos 2x＝sin＝2sincos；
2sin 2x＝cos＝2cos2－1；
3sin 2x＝－cos＝1－2cos2等.
提醒：在使用二倍角公式时要特别注意公式中的系数，防止出错.
[跟进训练]
3．已知sin＝，则sin 2α的值为( )
A．－ B． C．－ D．
C [sin 2α＝－cos＝2sin2－1
＝2×－1＝－．故选C．]
1．若tan α＝2，则2cos2α＋sin 2α＝( )
A． B． C． D．
D [∵tan α＝2，∴2cos2α＋sin 2α＝＝＝＝．故选D．]
2．cos2－sin2＝________．
[原式＝cos＝cos ＝．]
3．＝________．
[原式＝×＝×tan 15°＝×tan(60°－45°)＝×
＝×＝×＝．]
4．若sin 2α＝－sin α，且sin α≠0，则cos α＝________．
－ [∵sin 2α＝2sin αcos α，
∴2sin αcos α＝－sin α，又sin α≠0，∴cos α＝－．]
5．求值：＝________．
[∵sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°·＝sin 50°·＝1，
cos 80°＝sin 10°＝sin210°，
∴＝＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你能用框图表示C(α＋β)，S(α＋β)，T(α＋β)，C2α，S2α及T2α之间的内在联系吗？
[提示]
2．C2α的常见变形有哪些？
[提示] cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
