【同步学案】苏教版（2019） 高中数学 必修第二册 第11章解三角形学案含解析

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第2课时　正弦定理(2)学 习 任 务核 心 素 养1．熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题．(重点)2．能根据条件，判断三角形解的个数．3．能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．(难点)1．通过三角形个数判断的学习，培养数学运算和逻辑推理的素养．2．借助求解三角形面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养．在△ABC中，分别根据所给条件作图，求满足条件的△ABC的个数．(1)∠A＝60°，b＝4，a＝2，(2)∠A＝60°，b＝4，a＝3．问题：∠A＝60°，b＝4，a为何值时，作出的三角形是唯一的？知识点1　解三角形的类型(1)已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．(2)已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况．如已知两边a，b和a的对角A，解的情况如下表： A>A＝A<a>b一解一解一解a＝b无解无解一解a<b无解无解a>bsin A两解a＝bsin A一解a<bsin A无解1．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中无解的是________；有一解的是________；有两解的是________．①a＝7，b＝3，B＝30°；②b＝6，c＝5，B＝45°；③a＝15，b＝10，B＝120°；④b＝6，c＝6，C＝60°．①③　④　②　[对于①，由正弦定理，得sin A＝sin B＝sin 30°＝>1，所以此三角形无解；对于②，由正弦定理，得sin C＝sin B＝sin 45°＝<1，且c>b，所以此三角形有两解；对于③，由正弦定理，得sin A＝sin B＝sin 120°＝>1，所以此三角形无解；对于④，由正弦定理，得sin B＝sin C＝sin 60°＝<1，且c>b，所以B<C，B＝30°，A＝90°，所以此三角形只有一解．]知识点2　三角形的面积公式任意三角形的面积公式为：(1)S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．(2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．(3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．(4)S△ABC＝，其中p为△ABC的半周长，即p＝(a＋b＋c)．该公式称为海伦－秦九韶公式，适用于三角形三边为有理数时，计算三角形的面积比较简便．2．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为(　　)A．3  B．3  C．6  D．6B　[由S＝absin C＝×4×3×得S＝3，故选B．] 类型1　三角形解的个数的判断【例1】　已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝2，b＝6，A＝30°． [解]　(1)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°，讨论如下：∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10，∴a<bsin A，∴本题无解．(2)a＝2，b＝6，a<b，A＝30°<90°，∵bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A，∴bsin A<a<b，∴三角形有两解．由正弦定理得sin B＝＝＝，又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°．当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝＝＝4；当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝＝＝2．∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝4；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝2．已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值，或者根据该正弦值不等于1时在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求.[跟进训练]1．△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°．若该三角形有两解，则x的取值范围是________．(2，2)　[由asin B<b<a，得x<2<x，∴2<x<2．] 类型2　三角形的面积【例2】　在△ABC中，若a＝2，C＝，cos ＝，求△ABC的面积S．[解]　∵cos ＝，∴cos B＝2cos2 －1＝．∴B∈，∴sin B＝．∵C＝，∴sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝．∵＝，∴c＝＝×＝．∴S＝acsin B＝×2××＝．已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝absin C＝acsin B＝bcsin A．[跟进训练]2．(1)在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________． (2)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于________．(1)2　(2)或　[(1)∵cos C＝，∴C∈(0°，90°)，∴sin C＝＝，又S△ABC＝absin C＝×3×b×＝4，∴b＝2．(2)由正弦定理得sin C＝＝＝，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝或．] 类型3　正弦定理的综合应用【例3】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝－sin 2C．(1)求C的大小；(2)若c＝2，A＝，求△ABC的面积． 1由m·n＝－sin 2C，利用三角恒等变换求出C的大小；2由正弦定理可得b的大小，利用三角形的面积公式求解.[解]　(1)由题意知，m·n＝sin Acos B＋sin Bcos A＝－sin 2C，即sin(A＋B)＝－sin 2C，sin C＝－2sin Ccos C．由0<C<π，得sin C>0．所以cos C＝－，C＝．(2)由C＝，A＝，得B＝π－A－C＝．由正弦定理，＝，即＝，解得b＝2．所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×2×sin ＝．(变条件，变结论)将例题中的条件“m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝－sin 2C”换为“若a＋c＝2b，2cos 2B－8cos B＋5＝0”，求角B的大小并判断△ABC的形状．[解]　∵2cos 2B－8cos B＋5＝0，∴2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0．∴4cos2B－8cos B＋3＝0，即(2cos B－1)(2cos B－3)＝0．解得cos B＝或cos B＝(舍去)．∵0<B<π，∴B＝．∵a＋c＝2b．由正弦定理，得sin A＋sin C＝2sin B＝2sin ＝．∴sin A＋sin＝，∴sin A＋sin cos A－cos sin A＝．化简得sin A＋cos A＝，∴sin＝1．∵0<A<，∴<A＋<，∴A＋＝．∴A＝，C＝．∴△ABC是等边三角形．借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式.[跟进训练]3．在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a，b及△ABC的内切圆半径．[解]　由正弦定理知＝，∴＝．即sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B．又∵a≠b且A，B∈(0，π)，∴2A＝π－2B，即A＋B＝．∴△ABC是直角三角形且C＝，由 得a＝6，b＝8．∴内切圆的半径为r＝＝＝2．1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是(　　)A．直角三角形   B．等腰三角形C．锐角三角形   D．钝角三角形B　[由正弦定理可得sin A＝sin C⇒＝，即a＝c，所以△ABC为等腰三角形．]2．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　)A．一解   B．两解C．无解   D．无法确定A　[由b<a和大边对大角可知三角形的解的个数为一解．]3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝1，b＝，B＝60°，则△ABC的面积为(　　)A．  B．  C．1  D．B　[∵a＝1，b＝，B＝60°，∴由正弦定理可得：sin A＝＝＝，∵a＜b，A＜60°，∴A＝30°，C＝180°－A－B＝90°，∴S△ABC＝ab＝×1×＝．故选B．]4．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________．1　[由＝得sin C＝＝×＝，又0<C<，所以C＝，B＝π－(A＋C)＝．所以＝＝＝1．]5．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，则sin A＝________，a＝________． 　2　[由tan A＝2，得sin A＝2cos A，由sin2A＋cos2A＝1，得sin A＝，∵b＝5，B＝，由正弦定理＝，得a＝＝＝2．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．正弦定理的常见变形有哪些？[提示]　正弦定理的常见变形：①sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；②＝＝＝＝2R；③a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；④sin A＝，sin B＝，sin C＝．2．正弦定理及其变形体现了怎样的数学思想？[提示]　正弦定理及其变形体现了转化化归的数学思想．具体如下：利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化，一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．3．已知三角形的任意两边及一边的对角，如何判断其解的情况？[提示]　判断方法常有两种：法一：如下表，过点C作AB的垂线，根据边a与AB边上的高的大小关系来判断解的个数． A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinA，或a≥bbsin A<a<ba<bsin Aa>ba≤b解的个数一解两解无解一解无解法二：由正弦定理＝⇒sin B＝，若sin B>1，则无解；若sin B＝1，则一个解；若0<sin B<1，则由三角形“大边对大角”来确定角B的范围，从而判断解的情况．秦九韶的“三斜求积术”你听说过“三斜求积术”吗？这是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c求三角形面积S，即S＝．“三斜求积术”中的“三斜”指三角形的三条边，而且三条边从小到大分别称为“小斜”“中斜”“大斜”．秦九韶是用语言叙述的相关公式，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．事实上，利用余弦定理等内容，也可推导出“三斜求积术”，过程如下：S2＝c2a2sin2B＝(c2a2－c2a2cos2B)，又因为cacos B＝，所以S2＝，从而可知S＝．