【同步学案】苏教版（2019） 高中数学 必修第二册 第9章平面向量学案含解析

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9.2.2　向量的数乘学 习 任 务核 心 素 养1．掌握向量数乘的运算及其几何意义．(重点) 2．理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．通过向量数乘概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量数乘的运算及其运算律的应用，培养数学运算素养．一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？兔子在相反方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？ 知识点1　向量的数乘定义一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)若a≠0，则当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反．实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘．特别地，当λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ0＝0．向量的数乘λa的几何意义：当λ＞0时，把向量a沿着a的相同方向放大或缩小；当λ＜0时，把向量a沿着a的相反方向放大或缩小．1．λa＝0，一定能得到λ＝0吗？[提示]　不一定．λa＝0，则λ＝0或a＝0．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)a＝0，则λa＝0． (　　)(2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反． (　　)(3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍． (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)√知识点2　向量数乘的运算律设a，b为向量，λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算．2．(1)5×(－4a)＝________．(2)a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则a＋b＝________．(1)－20a　(2)4e1　[(1)5×(－4a)＝5×(－4)a＝－20a．(2)a＋b＝(e1＋2e2)＋(3e1－2e2)＝4e1．]知识点3　向量共线定理一般地，对于两个向量a(a≠0)，b，设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa．2．向量共线定理中，为什么规定a≠0．[提示]　当a＝0时，显然b与a共线，此时若b＝0，则存在无数实数λ，使b＝λa；若b≠0，则不存在实数λ使得b＝λa．3．已知e1和e2不共线，则下列向量a，b共线的序号是____．①a＝2e1，b＝2e2；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2．②③　[∵e1与e2不共线，∴①不正确；对于②有b＝－2a；对于③有a＝4b；④不正确．] 类型1　向量数乘的基本运算【例1】　计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)－；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．[解]　(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b．(2)原式＝－＝a＋b－a－b－a－b－a＝0．(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝6a＋2b．向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解.[跟进训练]1．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝________．－16i＋ j　[原式＝a－b－3a－2b＋2b－a＝－a－b＝－(3i－4j)－(5i＋4j)＝(－11－5)i＋ j＝－16i＋j．] 类型2　向量的共线问题【例2】　已知非零向量e1，e2不共线． (1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．1欲证A，B，D三点共线，能否证明与或共线？2若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则两向量间存在怎样的等量关系？[解]　(1)证明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1．1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．2．若A，B，C三点共线，则向量，，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系．而向量共线定理是实现线性关系的依据．[跟进训练]2．(对接教材P19T11)已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．(1)求证：A，B，M三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．[解]　(1)证明：∵＝λ＋(1－λ)，∴＝λ＋－λ，－＝λ－λ，∴＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．又与有公共点A，∴A，B，M三点共线．(2)由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，则与同向，∴||>||>0，∴λ>1． 类型3　向量的表示【例3】　如图所示，已知△OAB中，点C是以A为对称中心的B点的对称点，D是把分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于E，设＝a，＝b．(1)用a和b表示向量，；(2)若＝λ，求实数λ的值．[解]　(1)依题意，A是BC中点，∴2＝＋，即＝2－＝2a－b，＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b．(2)若＝λ，则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b．∵与共线，∴存在实数k，使＝k，∴(λ－2)a＋b＝k，解得λ＝．用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理，用已知向量表示未知向量；(3)求解过程体现了数学上的化归思想．[跟进训练]3．(1)设O是△ABC内部一点，且＋＝－3，则△AOB与△AOC的面积之比为________．(2)如图，在▱OADB中，设＝a，＝b，＝，＝．试用a，b表示＝________．(1)　(2)a－b　[(1)如图，由平行四边形法则，知＋＝，其中E为AC的中点．所以＋＝2＝－3．所以＝－，||＝||．设点A到BD的距离为h，则S△AOB＝||·h，S△AOC＝2S△AOE＝||·h．所以＝＝＝×＝．(2)由题意知，在▱OADB中，＝＝＝(－)＝(a－b)＝a－b．则＝＋＝b＋a－b＝a＋b，＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b，＝－＝a＋b－a－b＝a－b．]1．已知线段上A，B，C三点满足＝2，则这三点在线段上的位置关系是(　　)A　　　　　　　BC　　　　　　　D[答案]　A2．(多选题)若＝4，则下列各式中正确的是(　　)A．＝3   B．＝3C．＝   D．＝BCD　[由＝4可知＝－＝－4＝－3＝3，故A错误，B正确；同理可知＝，＝，故选BCD．]3．已知m∈R，下列说法正确的是(　　)A．若ma＝0，则必有a＝0B．若m≠0，a≠0，则ma与a方向相同C．m≠0，a≠0，则|ma|＝m|a|D．若m≠0，a≠0，则ma与a共线D　[A错．若ma＝0，则m＝0或a＝0；B错．m＞0时，ma与a同向，m＜0时，ma与a反向；C错．∵|ma|＝|m||a|，∴m＞0时，|ma|＝m|a|；m＜0时，|ma|＝－m|a|．]4．△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，且＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)．(b－a)　[＝－＝－＝(b－a)．]5．若＝5e，＝－7e，且||＝||，则四边形ABCD的形状是________．等腰梯形　[∵＝5e，＝－7e，∴＝－，∴与平行且方向相反，易知||＞||．又∵||＝||，∴四边形ABCD是等腰梯形．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．如何描述向量λa的大小、方向？[提示]　向量λa的大小为：|λa|＝|λ||a|；向量λa的方向与实数λ有关：当λ>0时，λa的方向与a相同；当λ＝0时，λa的方向具有任意性；当λ<0时，λa的方向与a相反．2．若＝x＋y，则A，B，P三点共线的充要条件是什么？[提示]　x＋y＝1．3．若向量a，b共线，且a≠0，则a与b存在怎样的等量关系？[提示]　b＝λa，其中λ是唯一确定的实数．