苏教版 (2019)必修 第二册13.2 基本图形位置关系优质学案

13.2.2　空间两条直线的位置关系

知识点1　空间两条直线的位置关系

1．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，

(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．

(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面　[(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C．(2)A1B∩平面BB1C＝B，B∉B1C，所以直线A1B与直线B1C的位置关系是异面．(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1．(4)AB∩平面BB1C＝B，B∉B1C，所以直线AB与直线B1C的位置关系是异面．]

知识点2　基本事实4及等角定理

(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．

符号表示：⇒a∥c．

(2)等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．

2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于________．

30°或150°　[∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以∠PQR＝30°或150°．]

知识点3　异面直线的判定及其所成的角

(1)异面直线的判定定理

不在同一平面内的两条直线是否是异面直线？

[提示]　(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．

(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a、b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．

(2)异面直线所成的角

①定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角．

②异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°．

③当θ＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b．

3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)如果a⊥b，b⊥c，则a∥c． (　　)

(2)如果a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线． (　　)

(3)如果a，b相交，b，c相交，则a，c也相交． (　　)

(4)如果a，b共面，b，c共面，则a，c也共面． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

4．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b的位置关系是________．

相交或异面　[a，b是异面直线，直线c∥直线a，因而c不平行于b，若c∥b，则a∥b，与已知矛盾，因而c不平行于b，即c与b相交或异面．]

类型1　空间中直线的位置关系

【例1】　(1)下列命题中正确的有________．(填序号)

①两条直线无公共点，则这两条直线平行；

②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；

③过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线；

④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．

(2)a，b，c是空间中三条直线，给出下列说法：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②a∥b是指直线a，b在同一平面内且没有公共点；

③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．

其中正确的有________．(填序号)

(1)②　(2)①②　[(1)对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此③不正确；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此④不正确．

(2)由基本事实4知①正确；由平行线的定义知②正确；若α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误．]

空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面.

[跟进训练]

1．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：

①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

④直线AB与直线B1C的位置关系是________．

①平行　②异面　③相交　④异面　[直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C显然相交于点D1，所以③应该填“相交”．]

类型2　基本事实4与等角定理的应用

【例2】　(对接教材P159例2)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．

求证：∠EA1F＝∠E1CF1．

[证明]　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，MF1，

则BF＝A1M＝AB．

又BF∥A1M，

∴四边形A1FBM为平行四边形，∴A1F∥BM．

而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1MC1B1．

而C1B1BC，

∴F1M∥BC，且F1M＝BC．

∴四边形F1MBC为平行四边形，

∴BM∥F1C．

又BM∥A1F，

∴A1F∥CF1．

同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1NDE，

∴四边形A1NDE为平行四边形，∴A1E∥DN．

又E1N∥CD，且E1N＝CD，

∴四边形E1NDC为平行四边形，

∴DN∥CE1，

∴A1E∥CE1．

∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行．

即A1E∥CE1，A1F∥CF1，且∠EA1F与∠E1CF1均为锐角，∴∠EA1F＝∠E1CF1．

运用基本事实4的关键是寻找“中间量”即第三条直线.证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现.

[跟进训练]

2．如图，已知棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．

(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；

(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1．

[证明]　(1)在△ADC中，

∵M，N分别是CD，AD的中点，

∴MN是△ADC的中位线．

∴MNAC．

由正方体性质知，ACA1C1，

∴MNA1C1，即MN≠A1C1．

∴四边形MNA1C1是梯形．

(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，

而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，

∴∠DNM＝∠D1A1C1．

类型3　求异面直线所成的角

【例3】　如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．

先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解.

[解]　法一：如图(1)，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．

(1)

∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点．∴GO⊥A1C1．

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．

法二：如图(2)，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，HF，则HE∥DB1，且HE＝DB1．

(2)

于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或补角．

设AA1＝1．则EF＝，HE＝，取A1D1的中点I，连接IF，IH，则HI⊥IF，

∴HF2＝HI2＋IF2＝，∴HF2＝EF2＋HE2．

∴∠HEF＝90°，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．

(3)

法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接DQ，B1Q，则B1Q∥EF．

于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．

设AA1＝1，则DQ＝＝，B1D＝＝，B1Q＝＝，所以B1D2＋B1Q2＝DQ2，从而异面直线DB1与EF所成的角为90°．

求两条异面直线所成角的步骤

(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角．

(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．

(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．

(4)若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．

[跟进训练]

3．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________．

　[连接BC1，易证BC1∥AD1，

则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．

连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，

易得A1C1＝，

A1B＝BC1＝，

故cos∠A1BC1＝

＝，

即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为．]

1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是(　　)

A．平行   B．相交

C．异面   D．以上皆有可能

[答案]　D

2．如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是(　　)

A．矩形  B．正方形  C．菱形  D．梯形

C　[利用E，F，G，H分别为各边中点，可得四边形EFGH是平行四边形．又由对角线AC，BD相等，可得四边形EFGH一定是菱形．故选C．]

3．在各棱长均相等的直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为(　　)

A．   B．1  C．   D．

C　[如图，取AA1的中点P，连接PN，PB，则由直三棱柱的性质可知A1M∥PB，则∠PBN为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角)．

设三棱柱的棱长为2，则PN＝，PB＝，BN＝，所以PN2＋BN2＝PB2，所以∠PNB＝90°，在Rt△PBN中，tan∠PBN＝＝＝，故选C．]

4．空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________．

70°或110°　[∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，

∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，

∴∠B＝70°或110°．]

5．已知棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．

平行　[如图所示，MNAC，

又∵ACA′C′，∴MNA′C′．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．空间任意两条直线有几种位置关系？

[提示]　相交、平行和异面．

2．如何判定两条直线是异面直线？

[提示]　(1)定义法：不同在任何一个平面内的两条直线；

(2)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．

3．求异面直线所成的角常分几个步骤？

[提示]　四个，即“一作”“二证”“三求”“四结论”．