【同步学案】苏教版（2019） 高中数学 第13章立体几何初步13.3空间图形的表面积和体积学案含解析

13.3　空间图形的表面积和体积

13.3.1　空间图形的表面积

知识点1　几种特殊的多面体

(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱．

(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫作正棱柱．

(3)正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形．

(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)棱长都相等的长方体是正方体． (　　)

(2)有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱． (　　)

(3)有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱． (　　)

(4)底面为菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱． (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

知识点2　几种简单空间图形的侧面展开图与侧面积

圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系？

[提示]　S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl．

2．正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积为________．

a2　[如图，在正三棱锥S­ABC中，过点S作SO⊥平面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连接AO并延长与BC相交于点M，连接SM，SM即为斜高h′，在Rt△SMO中，h′＝ ＝a，所以侧面积S＝3××a×a＝a2．]

3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．

2π　[以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r＝1，高h＝1，所以侧面积S＝2πrh＝2π．]

类型1　棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积

【例1】　正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3 cm，求它的表面积．

由S侧与S底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积.

[解]　如图，设PO＝3(cm)，PE是斜高，

∵S侧＝2S底，

∴4××BC×PE＝2BC2．

∴BC＝PE．

在Rt△POE中，PO＝3(cm)，OE＝BC＝PE．

∴9＋＝PE2，

∴PE＝2(cm)．

∴S底＝BC2＝PE2＝(2)2＝12(cm2)．

S侧＝2S底＝2×12＝24(cm2)．

∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36(cm2)．

求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱.求解时要注意直角三角形和梯形的应用.

[跟进训练]

1．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高．

[解]　如图所示，在三棱台ABC­A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，

所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′(cm2)．

又A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．

由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325，

所以DD′＝ (cm)，

又因为O′D′＝×20＝(cm)，

OD＝×30＝5(cm)，

所以棱台的高h＝O′O＝

＝

＝4(cm)．

类型2　圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积

【例2】　已知圆锥的底面半径为R，高为3R．若它的内接圆柱的底面半径为R，求该圆柱的全面积．

[解]　设圆柱底面半径为r，高为h，

由题意知r＝R，∴＝，∴h＝R，

∴S圆柱全＝2πr2＋2πrh＝2π＋2π＝πR2．

1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中相关量是求解旋转体表面积的关键．

2．解决柱体、锥体、台体、球体中的接、切问题，通常是作出轴截面，转化为平面问题来求解．

[跟进训练]

2．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？

[解]　如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，

故c＝π·SA＝2π×10，

所以SA＝20(cm)，同理可得SB＝40(cm)，

所以AB＝SB－SA＝20(cm)，

所以S表面积＝S侧＋S上＋S下

＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr

＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．

故圆台的表面积为1 100π cm2．

类型3　空间图形侧面积和全面积的实际应用

【例3】　用油漆涂100个圆台形水桶(桶内、外侧都要涂)，桶口直径为30 cm，桶底直径为25 cm，母线长是27.5 cm，已知每平方米需要油漆150 g，共需要多少油漆？(精确到0.1 kg)

[解]　每个水桶需要涂油漆的面积为S＝(S桶底＋S侧)×2

＝π×2

＝0.182 5π(m2)，

因此100个水桶需要油漆100×0.182 5π×0.15≈8.6(kg)．

对于有关空间图形侧面积和全面积的实际问题，求解的关键是把题设信息数学化，然后借助数学知识解决该问题．

[跟进训练]

3．一个正三棱台的两底面的边长分别为8 cm、18 cm，侧棱长是13 cm，求它的全面积．

[解]　上底面周长为c′＝3×8＝24(cm)，

下底面周长c＝3×18＝54(cm)，

斜高h′＝＝12(cm)，

所以S正棱台侧＝(c＋c′)h′＝×(24＋54)×12＝468(cm2)，

S上底面＝×82＝16(cm2)，

S下底面＝×182＝81(cm2)，

所以正三棱台的全面积为

S＝468＋16＋81＝468＋97 cm2．

1．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于(　　)

A．42π  B．51π  C．58π  D．67π

D　[S圆台表＝S圆台侧＋S上底＋S下底＝π(3＋4)×6＋π×32＋π×42＝67π．]

2．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝(　　)

A．2 600 cm2   B．5 200 cm2

C．2 600π cm2   D．5 200π cm2

C　[几何体的50 cm到80 cm处的截去的部分的面积和余下的面积相等，将几何体侧面展开，上部分面积为×40π，下部分的面积为50×40 π，由此可知，斜截圆柱的侧面面积S＝50×40π＋×40π＝2 600π，故选C．]

3．圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为(　　)

A．  B．4  C．3  D．2

A　[设圆锥的母线长l＝4，底面半径为r，高为h，则πrl＝4π，解得r＝1，所以h＝＝＝．故选A．]

4．一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为________．

4πS　[设圆柱的底面半径为R，则S＝πR2，R＝，底面周长c＝2πR．故圆柱的侧面积为S圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2＝4πS．]

5．一座仓库的屋顶呈正四棱锥形，底面的边长为2.7 m，侧棱长为2.3 m，如果要在屋顶上铺一层油毡纸，则需多少油毡纸？(精确到0.1 m2)

[解]　如图所示，设SE是侧面三角形ABS的高，则SE就是正四棱锥的斜高．

在Rt△SAE中，SA＝2.3 m，AE＝1.35 m，

所以SE＝≈1.86(m)，而底面周长＝4×2.7＝10.8(m)，

所以S棱锥侧≈×10.8×1.86≈10.0(m2)．

故需要油毡纸约10.0 m2．

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．空间几何体的侧面展开图与侧面积之间存在什么关系？

[提示]　相等．

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间存在怎样的联系？

[提示]　

3．旋转体的表面积问题通常借助哪些量求解？在求解时常化归到哪些图形中？

[提示]　旋转体的表面积问题常借助底面半径、母线长及高求解，求解时常借助轴截面化归到等腰三角形、矩形或等腰梯形中求解．