人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数课时练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数课时练习，共10页。试卷主要包含了A1等内容，欢迎下载使用。

4.1.1 n次方根与分数指数幂

1. 计算：(−27)23×9−32=(    )
A. −3 B. −13 C. 3 D. 13
2. 已知ab=−5，则a−ba+b−ab的值是(    )
A. 25 B. 0 C. −25 D. ±25
3. 若a<12，则化简4(2a−1)2的结果是(    )
A. 2a−1 B. −2a−1 C. 1−2a D. −1−2a
4. 已知正数a，b满足a9×b27=3，则ab的最小值为(    )
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
5. A4纸是生活中最常用的纸规格．A系列的纸张规格特色在于：①A0、A1、A2…、A5，所有尺寸的纸张长宽比都相同；②在A系列纸中，前一个序号的纸张以两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后，可以得到两张后面序号大小的纸，比如1张A0纸对裁后可以得到2张A1纸，1张A1纸对裁可以得到2张A2纸，依此类推．这是因为A系列纸张的长宽比为2:1这一特殊比例，所以具备这种特性．已知A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米，118.9÷84.1≈1.41≈2，那么A4纸的长度为(    )
A. 14.8厘米 B. 21.0厘米 C. 29.7厘米 D. 42.0厘米
6. 若x+1x=4,则x2x4+x2+1=(    )
A. 10 B. 15 C. 115 D. 116
7. 已知a+a−1=3，下列各式中正确的个数是(    )
①a2+a−2=7  ②a3+a−3=18  ③a12+a−12=±5  ④aa+1aa=25

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 下列各组数既符合分数指数幂的定义，值又相等的是(    )
A. (−1)13和(−1)26 B. 0−2和011 C. 212和414 D. 314和13−14
9. 下列运算结果中，一定正确的是(    )
A. a3⋅a4=a7 B. −a23=a6 C. 8a8=a D. 5−π5=−π
10. 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了          个“半衰期”.【提示：129=0.00195】
11. 解下列方程．
(1)33x−2=81；   
(2)5x=325；   
(3)52x−6×5x+5=0．

12. 已知a>1，且a+a−1=3，求下列各式的值：
(1)a2+a−2；           (2)a12−a−12；                  (3)a−a−1．

13. 设−2 14. 对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，w，若ax=by=cz=70w≠1，1w=1x+1y+1z，求a，b，c的值．
15. 计算：(1)5+26+7−43−6−42；
(2)12+1+12−1．

答案和解析

1.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查指数幂化简求值，是基础题．
利用指数幂的性质直接求解．
【解答】
解：(−27)23×9−32
=[(−3)3]23×(32)−32
=(−3)2×3−3
=9×127
=13．
故选：D．
  
2.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查了分数指数幂的运算，属于中档题．
由题意知ab<0，利用公式求解．
【解答】
解：由题意知ab<0，
a−ba+b−ab=a−aba2+b−abb2
=a5a2+b5b2
=a5|a|+b5|b|
=0．
故选B．
  
3.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查根式的运算，指数幂的运算法则的应用，属于基础题．
直接根据根式与指数幂的运算法则计算即可．
【解答】
解：∵a<12，∴2a−1<0，
∴4(2a−1)2=|2a−1|12 
=(1−2a)12=1−2a. 
故选C. 
  
4.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式的性质，考查乘“1”法的应用以及不等式的解法，属于中档题．
由已知求出2a+3b=1，根据基本不等式的性质得到ab(ab−26)≥0，求出ab的最小值即可．
【解答】
解：∵正数a，b满足a9×b27=3，
∴91a⋅271b=32a⋅33b=32a+3b=3，
∴2a+3b=1，
∴ab=ab(2a+3b)=2b+3a≥26ab，
∴ab−26ab≥0，
∴ab(ab−26)≥0，
∴ab≥26，ab≥24，
当且仅当2b=3a，即a=4，b=6时“=”成立，
故ab的最小值为24．
故选：D．
  
5.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了指数幂的运算，属于基础题．
根据题意设A4纸的长度为x，118.9x=(2)4=4，可求解答案．
【解答】
解：设A4纸的长度为x，
118.9x=(2)4=4，
x≈29.7厘米，
故选C．
  
6.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．
将已知等式两边平方，利用完全平方公式化简求出x2+1x2的值，原式分子分母除以x2变形后，将x2+1x2代入计算即可．
【解答】
解：x+1x=4,
两边平方得x+1x2=x2+1x2+2=16，
即x2+1x2=14，
所以，原式=1x2+1+1x2=114+1=115，
故选C．
  
7.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查指数幂的运算，考查学生的计算能力，
利用运算法则逐个验证即可．
【解答】
解：因为a+a−1=3(a>0)，
所以平方得a2+a−2+2=9，所以a2+a−2=7①正确；
所以a+a−1a2+a−2=a3+a−3+a+a−1，所以a3+a−3=18，②正确；
因为a>0，所以a12+a−122=a+a−1+2=5，a12+a−12=5不可能为负，③错误；
因为a+a−1a12+a−12=a32+a−32+a12+a−12，所以a32+a−32=25，④正确．
故选C．
  
8.【答案】CD 
【解析】
【分析】
本题主要考查了指数幂的性质与运算，属于基础题．
根据指数幂的运算法则逐项判断即可．
【解答】
解：选项A中，(−1)13和(−1)26均符合分数指数幂的定义，
但(−1)13=3−1=−1，(−1)26 =6(−1)2=1，故A不满足题意；
选项B中，0的负分数指数幂没有意义，故B不满足题意；
选项C中，212=2，414 =422=212=2，故C满足题意；
选项D中，由于3−14=1314，则13−14=314，故D满足题意．
故选：CD．
  
9.【答案】AD 
【解析】
【分析】
本题考查指数幂的运算，属于基础题．
由题意和指数幂的运算，逐个选项验证即可．
【解答】
解：A．a3⋅a4=a7，所以A正确；   
B. (−a2)3=−a6，所以B错误； 
C. 8a8=a，所以C错误； 
D. 5(−π)5=−π，所以D正确． 
故选AD ．
  
10.【答案】10 
【解析】
【分析】
本题考查指数的简单计算，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个“半衰期”才不能被测到碳14，则x⋅12n<11000x，即12n<0.001，再根据参考数据即可得解．
【解答】
解：设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个“半衰期”才不能被测到碳14，
则x⋅12n<11000x，即12n<0.001，
由参考数据可知，129=0.00195>0.001，1210=0.00195×12=0.000975<0.001，
∴n=10，
故答案为：10．
  
11.【答案】解：(1)因为33x−2=81=34，所以3x−2=4，所以x=2，
所以方程33x−2=81的解集为2. 
(2)因为5x=325，所以5x2=523， 
所以x2=23，所以x=43， 
所以方程5x=325的解集为43．
(3)因为52x−6×5x+5=0，所以5x2−6×5x+5=0， 
所以5x−15x−5=0， 
所以5x=1或5x=5， 
所以x=0或x=1，
所以方程52x−6×5x+5=0的解集为0,1．
 
【解析】本题考查简单的指数方程的解法．
(1)根据指数的性质进行计算可得答案；
(2)根式化为分数指数幂，两边化为同底数的幂相等，根据指数相等可得结果；
(3)化为关于5x的一元二次方程，解得5x=1或5x=5，进一步可得结果．


12.【答案】解：(1)a2+a−2=a+a−12−2=32−2=7
(2)∵(a12−a−12)2=a+a−1−2=3−2=1
即(a12−a−12)2=1
∴a12−a−12=±1
而a>1，所以a12>a−12
则a12−a−12=1
(3)a−a−12=a2+a−2−2
由(1)知，a2+a−2=7
则a−a−12=a2+a−2−2=7−2=5
即a−a−1=±5
而a>1，所以a>a−1
则a−a−1=5． 
【解析】本题主要考查指数与指数幂的运算．
(1)a2+a−2利用平方和公式转化为a+a−12−2，由已知a+a−1=3可求其值;
(2)求a12−a−12转化为先求(a12−a−12)2，再开方，根据指数函数的增减性判断a12−a−12的正负，从而进行取舍;
(3)先求a−a−12，再开方，根据指数函数的增减性判断a−a−1的正负，从而进行取舍．

13.【答案】解：∵x2−2x+1−x2+4x+4=(x−1)2−(x+2)2=|x−1|−|x+2|，
∵−2 ∴当−2 ∴原式=−(x−1)−(x+2)=−2x−1；
当1⩽x<2时，原式=x−1−(x+2)=−3．
∴x2−2x+1−x2+4x+4=−2x−1,−2  
【解析】本题主要考查根式的化简以及根式的性质，属于中档题．
利用根式的性质得到x2−2x+1−x2+4x+4=|x−1|−|x+2|，再根据−2
14.【答案】解：∵ax=70w，∴a1w=701x≠1．
同理可得b1w=701y，c1w=701z．
∴a1w⋅b1w⋅c1w=701x⋅701y⋅701z，
即(abc)1w=701x+1y+1z．
又1x+1y+1z=1w，∴abc=70=2×5×7．
又a，b，c为正整数，且70w≠1，
∴a，b，c均不为1，
∴1 ∴a=2，b=5，c=7．
 
【解析】本题考查指数幂的运算．
由已知条件，结合分数指数幂的运算得到a1w⋅b1w⋅c1w=701x⋅701y⋅701z，进而(abc)1w=701x+1y+1z，结合1x+1y+1z=1w，得到abc=70，然后将70分解2，5，7的乘积，由70w≠1可得a，b，c均不为1，进而得到1
15.【答案】解：(1)5+26+7−43−6−42
=(3)2+23×2+(2)2+22−2×23+(3)2−22−2×22+(2)2
=(3+2)2+(2−3)2−(2−2)2
=|3+2|+|2−3|−|2−2|
=3+2+2−3−(2−2)
=22．
(2)12+1+12−1
=2−1(2+1)(2−1)+2+1(2−1)(2+1)
=2−1+2+1
=22．
 
【解析】本题考查根式运算，属于拔高题．
(1)需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解；
(2)分母有理化即可求解