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沪科版 初中数学 九年级上册 期末测试数学卷（标准难度）（含答案）
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这是一份沪科版 初中数学 九年级上册 期末测试数学卷（标准难度）（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
沪科版初中数学九年级上册期末测试卷
考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1. 对于反比例函数y=−4x的图象，下列说法正确的是( )
A. y随x的增大而增大 B. 图象位于第一、三象限
C. 图象关于直线y=−x对称 D. 图象经过点(−2,−2)
2. 已知点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(1,y3)，D(3,−2)都在双曲线y=kx上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3 B. y1>y3>y2 C. y3>y2>y1 D. y2>y1>y3
3. 如图，函数y=1x(x>0)和y=3x(x>0)的图象分别是l1和l2.设点P在l2上，PA//y轴交l1于点A，PB//x轴，交l1于点B，△PAB的面积为( )
A. 12
B. 23
C. 13
D. 34
4. 如图，Rt△ABC位于第一象限，AB=2，AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数y=kx(k≠0)的图象与△ABC有交点，则k的最大值是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
5. 如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则ADBD的值为( )
A. 1
B. 22
C. 2−1
D. 2+1
6. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，图中所有的三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积为( )
A. 20 B. 22 C. 24 D. 26
7. 几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形ABCD，四边形DEFG，四边形CGHI均为正方形，EF交BG于点L，DG交IH于点K，点B，L，C，G在同条直线上，若S△ADE=16，S△GHK=9，记四边形DELC的面积为S1，四边形CGKI的面积为S2，则S1S2的值为( )
A. 209 B. 34 C. 7745 D. 169
8. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为( )
A. (6+3)米 B. 12米 C. (4+23)米 D. 10米
9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AB=5，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2=BC⋅AC，tanα=12，则点C的坐标为( )
A. (−2,4) B. (−43,23) C. (−23,43) D. (−1,2)
10. 如图，在菱形ABCD中，AB=30，∠BCD=120°，点E在CD上，且DE=10，BE交AC于点F，连接DF.现给出以下结论：
①△ABF≌△ADF；
②AF：CF=3：2；
③S△DEF=303；
④sin∠AFD=55719
正确的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
11. 如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=AD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，则sin∠ECF=( )
A. 22
B. 2315
C. 12
D. 5314
12. 如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处，然后右转40°再航行53km到B处．在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是( )
A. 北偏东10° B. 北偏东30° C. 北偏东35° D. 北偏东40°
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 已知关于x的一元二次方程ax2−(a+1)x−4=0的两根分别为x1，x2，且−1
15. 将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，探究tan∠ACD的值为______．
16. 我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17. 已知y=y1+y2，y1与(x−1)成正比例，y2与(x+1)成反比例，当x=0时，y=−3，当x=1时，y=−1．
(1)求y的表达式；
(2)求当x=−12时，y的值．
18. 受疫情影响，小林为了生计摆地摊，到批发市场进一批单价5元的小商品，在夜市营销中统计该批商品的销售单价x(元)与日销售量y(个)之间有如下关系：
(1)猜测并确定y与x之间的函数关系式；
(2)设经营此小商品的销售利润为w元，求出w与x之间的函数关系式．若物价局规定此小商品的售价最高不能超过9元/个，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？
销售单价x(元)
6
7.2
7.5
8
日销售量y(个)
60
50
48
45
19. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为53m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准(女生)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》
20. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)网格中△ABC的形状是______；
(2)在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；
(3)在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；
(4)在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．
21. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3)，B(4,1)，C(1,1)．
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
(2)画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．
22. 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．
(1)求证：BC=CD+ED；
(2)若AB⊥AC，AF=3，AC=8，求AE的长．
23. 灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河(渭河上游)上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥(图1)，该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部(最高点)，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数(A,B,D,F在同一条直线上)，河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE(C,F,G在同一条直线上，DF//EG，CG⊥AF，FG=DE)．
数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°．
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG(结果保留一位小数)．
参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
24. 如图，已知直线OP表示一艘轮船东西方向的航行路线，在O处的北偏东60°方向上有一灯塔A，灯塔A到O处的距离为200海里．(参考数据：3≈1.732)
(1)求灯塔A到航线OP的距离；
(2)在航线OP上有一点B，且∠OAB=15°，已知一轮船的航速为50海里/时，求该轮船沿航行路线OP从O处航行到B处所用的时间．(结果保留小数点后一位)
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5.点P从点A出发，以每秒5个单位
长度的速度沿AC方向运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，当点Q和点B重合时，点P停止运动，以AP和AQ为边作▱APHQ.设点P的运动时间为t秒(t>0)
(1)线段PQ的长为______.(用含t的代数式表示)
(2)当点H落在边BC上时，求t的值．
(3)当▱APHQ与△ABC的重叠部分图形为四边形时，设四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
(4)过点C作直线CD⊥AB于点D，当直线CD将▱APHQ分成两部分图形的面积比为1：7时，直接写出t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵y=−4x，
∴反比例函数图象经过第二，四象限，在每个象限内y随x增大而增大，函数图象关于原点成中心对称，关于直线y=−x成轴对称，
故选：C．
由反比例函数解析式可得函数图象经过象限及对称关系．
本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，注意：反比例函数y= k x(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
首先利用待定系数法求出双曲线的解析式，再根据反比例函数图象上点的坐标特征分别计算出y1、y2、y3的值，然后比较大小即可．
【解答】
解：∵D(3,−2)在双曲线y=kx上，
∴k=3×(−2)=−6，
∴双曲线的解析式为y=−6x，
∵A(−1,y1)、B(2,y2)、C(1,y3)都在双曲线y=−6x上，
∴y1=6，y2=−3，y3=−6，
∵6>−3>−6，
∴y1>y2>y3．
故选A．
3.【答案】B
【解析】解：设点P(m,n)，
∵P是反比例函数y=3x(x>0)图象上的点，
∴n=3m，
∴点P(m,3m)；
∵PB//x轴，
∴B点的纵坐标为3m，
将点B的纵坐标代入反比例函数的解析式y=1x(x>0)得：x=m3，
∴B(m3,3m)，同理可得：A(m,1m)；
∵PB=m−m3=2m3，PA=3m−1m=2m，
∴S△PAB=12PA⋅PB=12×2m3×2m=23．
故选：B．
将点P(m,n)代入反比例函数y=3x(x>0)用m表示出n即可表示出点P的坐标，然后根据PB//x轴，得到B点的纵坐标为3m，然后将点B的纵坐标带人反比例函数的解析式y=1x(x>0)即可得到点B的坐标，同理得到点A的坐标；根据PB=m−m3=2m3，PA=3m−1m=2m，利用S△PAB=12PA⋅PB即可得到答案．
本题考查了反比例函数的综合知识，题目中根据平行坐标轴的直线上的点的坐标特点表示出有关点的坐标是解答本题的关键，难度中等偏上．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可知，A点的坐标为(1,1)，C点的坐标为(1,3)，B点的坐标为(3,1)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则k+b=33k+b=1，
解得k=−1b=4，
则函数的解析式为：y=−x+4，
根据题意，得kx=−x+4，
即x2−4x+k=0，
Δ=16−4k≥0，
解得k≤4，
故k的最大值为4，
故选：B．
根据题意得出A点，B点和C点的坐标，用待定系数法求出直线BC的解析式，联立直线BC的解析式和反比例函数的解析式，根据Δ≥0得出k的取值，即可得出k的最大值．
本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质及利用判别式求k的取值是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等．由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为12，则相似比为22，从而求出ADBD的值．
【解答】
解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴(ADAB)2=S△ADES△ABC，
∵S△ADE=S四边形BCED，
∴ADAB=22，
∴ADBD=ADAB−AD=22−2=22+22=2+222=2+1．
故选D．
6.【答案】D
【解析】如图所示，
根据题意得△AFH∽△ADE，
∴S△AFHS△ADE=(FHDE)2=(34)2=916，
设S△AFH=9x，则S△ADE=16x，
∴16x−9x=7，解得x=1．
∴S△ADE=16．
∴四边形DBCE的面积为42−16=26．
易错警示：本题易忽略相似三角形性质的适用条件而致错．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=DC，∠A=∠B=∠ADC=90°，
∵四边形EFGD是正方形，
∴DE=DG，∠DEF=∠EDG=90°，
∴∠ADC−∠EDC=∠EDG−∠EDC，
∴∠ADE=∠CDG，
∵四边形CGHI是正方形，
∴CG=HG，∠ICG=∠H=90°，CI//HG，
∴∠CDG=∠HGK，
∴∠ADE=∠HGK，
∵∠H=∠A=90°，
∴△ADE∽△HGK，
∵S△ADE=16，S△GHK=9，
∴ADHG=43，
∴设AD=4a，HG=3a，
∴HG=CG=3a，
∵∠A=∠DCG=90°，AD=DC，∠ADE=∠CDG，
∴△ADE≌△CDG(ASA)，
∴AE=CG=3a，
∵S△ADE=16，
∴12AD⋅AE=16，
∴12⋅4a⋅3a=16，
∴a=263或a=−263(舍去)，
∴AB=AD=4a=863，AE=CG=3a=26，
∴BE=AB−AE=263，
∵∠A=90°，∠DEF=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠BEL=180°−∠DEF=90°，
∴∠ADE=∠BEL，
∴△AED∽△BLE，
∴AEBL=ADBE，
∴26BL=836236，
∴BL=62，
∴S1=正方形ABCD的面积−△ADE的面积−△BEC的面积
=AD2−16−12BE⋅BL
=(836)2−16−12×236×62
=773，
S2=正方形CGHI的面积−△GHK的面积
=CG2−9
=(26)2−9
=24−9
=15，
∴S1S2=77315=7745，
故选：C．
根据正方形的性质可得AD=AB=DC，∠A=∠B=∠ADC=90°，DE=DG，∠DEF=∠EDG=90°，CG=HG，∠ICG=∠H=90°，CI//HG，从而可得∠ADE=∠CDG，进而利用平行线的性质可得∠CDG=∠HGK，然后可得∠ADE=∠HGK，从而证明△ADE∽△HGK，利用相似三角形的性质可得ADHG=43，再设AD=4a，HG=3a，从而可得HG=CG=3a，再证明△ADE≌△CDG，然后利用全等三角形的性质可得AE=CG=3a，从而根据S△ADE=16，求出a的值，进而求出AD，AE，CG的长，最后证明一线三等角模型相似△AED∽△BLE，从而利用相似三角形的性质求出BL的长，然后根据S1=正方形ABCD的面积−△ADE的面积−△BEC的面积，S2=正方形CGHI的面积−△GHK的面积，进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，数学常识，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．
【解答】
解：延长AC交BF延长线于D点，
则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，
在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，
∴CE=2(米)，EF=CF2−CE2=23(米)，
在Rt△CED中，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2(米)，CE：DE=1：2，
∴DE=4(米)，
∴BD=BF+EF+ED=12+23(米)
在Rt△ABD中，AB=12BD=12(12+23)=(3+6)米．
故选A．
9.【答案】C
【解析】解：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，则∠OCD=∠BOC=α，
∵tanα=ODCD=12，
∴CD=2DO，
∵OC2=BC⋅AC，
∴OCBC=ACOC，
∵∠ACO=∠BCO，
∴△CBO∽△COA，
∴∠CAO=∠COB=α，
∵tanα=12，
∴tanα=BOAO=12
∴AO=2BO，
在Rt△ABO中，AO2+BO2=AB2，AB=5，
∴4BO2+BO2=5，
∴BO=1，
∴AO=2BO=2，
∵∠CDO=∠BOA=90°，∠BAO=∠CAD，
∴△BAO∽△CAD，
∴OBCD=AOAD，
即12OD=22+OD，
解得OD=23，
∴CD=43
∴C(−23,43)，
故选：C．
过点C作CD⊥x轴，垂足为D，通过解直角三角形可求得CD=2DO，根据已知易证△CBO∽△CAO，从而可得∠CAO=∠COB=α，然后在Rt△AOB中求出AO与BO的长，最后证明△BAO∽△CAD，利用相似三角形的性质即可解答．
本题考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠BAF=∠DAF，
∵AF=AF，
∴△BAF≌△DAF(SAS)，故①正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴CE//AB，
∴△ABF∽△CEF，
∴AFCF=ABCE=3020=32，故②正确；
∵∠BCD=120°，
∴∠ABC=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴S△ABC=34×AB2=2253，
∴S△BCF=25S△ABC=25×2253=903，
同理可得，△BCF≌△DCF(SAS)，
∴S△BCF=S△DCF，
∵DE=10，
∴S△DEF=13S△CDF=13×903=303，故③正确；
连接BD交AC于O，
∵AF：CF=3：2，
设CF=2x，则AF=3x，
∴OC=52x，OF=12x，
∵∠ODC=30°，
∴DO=532x，
∵∠DOC=90°，
∴DF=OF2+OD2=(12x)2+(53x2)2=19x，
∴sin∠AFD=ODDF=53x219x=55738，故④错误．
故选：A．
根据菱形的性质，利用SAS证明△BAF≌△DAF，故①正确；由CE//AB，得△ABF∽△CEF，可知AFCF=ABCE=3020=32，故②正确；首先证明△ABC是等边三角形，从而得出面积，再利用等高的两个三角形面积之比等于底之比可判断③正确；连接BD交AC于O，设CF=2x，则AF=3x，得OC=52x，OF=12x，利用含30°角的直角三角形的性质得OD的长，再利用勾股定理可得DF的长，从而可判断④错误．
本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：如图，连接AO，EF交于点O，过点E作EG⊥CF于点G，
∵AB=AD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，
∴AE=AF=BE=DF，
∵∠BAD=60°，
∴△EAF是等边三角形，
∵AB=AD，AC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴∠BAC=∠CAD=30°，AC⊥EF，
设AE=23x，则EF=BE=23x，AO=3x，
∴BC=4x，AC=8x，
∴OC=8x−3x=5x，
由勾股定理得：EC=FC=BC2+BE2=(4x)2+(23x)2=27x，
∵S△EFC=12⋅EF⋅OC=12⋅CF⋅EG，
∴EF⋅OC=CF⋅EG，
∴23x⋅5x=27x⋅EG，
∴EG=521x7，
∴sin∠ECF=EGEC=521x727x=5314．
故选：D．
如图，连接AO，EF交于点O，过点E作EG⊥CF于点G，先证明△EAF是等边三角形，得AE=EF，再证明Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，得∠BAC=∠CAD=30°，AC⊥EF，设AE=23x，则EF=BE=23x，AO=3x，分别计算EC和EG的长，并根据三角函数定义可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形和等边三角形的判定与性质等知识；有一定难度，正确作辅助线是解决问题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：如图，连接BC，
由题意得：∠ACP=∠ACD=90°，∠PAC=30°，PA=10km，∠BAE=40°，AB=53km，
∴∠BAC=180°−∠PAC−∠BAE=180°−30°−40°=110°，
∵cos∠PAC=ACPA=cos30°=32，
∴AC=32PA=32×10=53(km)，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=12×(180°−∠BAC)=12×(180°−110°)=35°，
即B处在C处的北偏东35°方向，
故选：C．
连接BC，由锐角三角函数定义得AC=32PA=53(km)，则AC=AB，再由等腰三角形的性质得∠ACB=∠ABC=35°，即可得出结论．
本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，由锐角三角函数定义求出AC的长是解题的关键．
13.【答案】32
∵抛物线y=ax2−(a+1)x−4经过点(0,−4)，−1
∵x=−1时，y>0，即a+a+1−4>0，解得a>32；
x=2时，y<0，即4a−2a−2−4<0，解得a<3；
x=3时，y>0，即9a−3a−3−4>0，解得a>76；
∴实数a的取值范围为32
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，把方程的两根转化为抛物线与x轴交点的横坐标是解题的关键．
14.【答案】149
【解析】
【分析】
此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出ECAC=34是解题关键，首先得出△MEC∽△DAC，则ECAC=MEAD，进而得出S△CMES△DAC=916，即可得出答案．
【解答】
解：∵ME//AD，
∴△MEC∽△DAC，
∴ECAC=MEAD，
∵菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，
∴AE=1cm，EC=3cm，
∴ECAC=34，
∴S△CMES△DAC=916，
∴图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为：2×(16−9+16−9)9+9=149．
故答案为：149．
15.【答案】3+1
【解析】解：过点A作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，
∵∠ABD=90°，∠DBC=45°，
∴∠ABH=180°−∠ABD−∠DBC=45°，
∵∠AHB=90°，
∴△AHB是等腰直角三角形，
∴设AH=BH=a，则AB=2AH=2a，
在Rt△ABD中，∠DAB=60°，
∴DB=3AB=6a，
在Rt△DBC中，∠DBC=45°，
∴BC=BD⋅cos45°=6a⋅22=3a，
∴CH=BH+BC=a+3a，
在Rt△CAH中，tan∠CAH=CHAH=a+3aa=1+3，
∵∠AHB=∠BCD=90°，
∴∠AHB+∠BCD=180°，
∴AH//DC，
∴∠ACD=∠CAH，
∴tan∠ACD=tan∠CAH=3+1，
故答案为：3+1．
过点A作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，利用平角定义可求出∠ABH=45°，从而可得△AHB是等腰直角三角形，然后设AH=BH=a，则AB=2AH=2a，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，再在Rt△DBC中，利用锐角三角函数的定义求出DBC的长，从而求出CH的长，从而在Rt△CAH中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠CAH的值，最后证明AH//DC，从而利用平行线的性质可得∠ACD=∠CAH，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16.【答案】15或45
【解析】
【分析】
本题考查等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的三角函数值．
根据题意，可以求得底边的长，然后利用分类讨论的方法和锐角三角函数可以求得相应的角的三角函数值．
【解答】
解：设等腰三角形的底边长为a，
|5−a|=3，
解得，a=2或a=8，
当a=2时，这个等腰三角形底角的余弦值是：15，
当a=8时，这个等腰三角形底角的余弦值是：45，
故答案为15或45．
17.【答案】解：(1)∵y1与(x−1)成正比例，y2与(x+1)成反比例，
∴设y1=k1(x−1)，y2=k2x+1，
∵y=y1+y2=k1(x−1)+k2x+1，
当x=0时，y=−3，当x=1时，y=−1．
∴−3=−k1+k2−1=12k2，
∴k2=−2，k1=1，
∴y=x−1−2x+1；
(2)当x=−12时，y=x−1−2x+1=−12−1−2−12+1=−112．
【解析】本题考查的是待定系数法求反比例函数及正比例函数的解析式，能根据题意得出y与x的函数关系式是解答此题的关键．
(1)先根据题意得出y1=k1(x−1)，y2=k2x+1，根据y=y1+y2，当x=0时，y=−3，当x=1时，y=−1得到关于k1，k2的方程组，进而得出y的表达式；
(2)把x=−12代入(1)中的函数关系式，求出y的值即可．
18.【答案】解：(1)由表中数据可知，销售单价x与日销售量y的乘积为定值360，
∴y与x之间的函数关系为反比例函数，
设y与x之间的函数关系式为y=kx(k为常数且k≠0)，
把(6,60)代入解析式得，60=k6，
解得：k=360，
∴y与x之间的函数关系式为y=360x；
(2)由题意得：w=(x−5)y=360−1800x，
∵5≤x≤9，
∴当x=9时，w最大，最大值为160，
∴w与x之间的函数关系式为w=360−1800x，当日销售单价x定为9元时，才能获得最大日销售利润．
【解析】(1)要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是360，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；
(2)首先要知道纯利润=(销售单价x−5)×日销售数量y，这样就可以确定w与x的函数关系式，然后根据题目的售价最高不超过9元/个，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x．
本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意．
19.【答案】解：(1)根据题意设y关于x的函数表达式为y=a(x−3)2+3，
把(0,53)代入解析式得：53=a(0−3)2+3，
解得：a=−427，
∴y关于x的函数表达式为y=−427(x−3)2+3；
(2)该女生在此项考试中是得满分，理由：
令y=0，则−427(x−3)2+3=0，
解得：x1=7.5，x2=−1.5(舍去)，
∵7.5>6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
【解析】(1)根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
(2)根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．
20.【答案】直角三角形
【解析】解：(1)∵AC=22+12=5，AB=22+42=25，BC=5，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
(2)如图①中，点D，点D′即为所求；
(3)如图②中，点E即为所求；
(4)如图，点P，点Q即为所求．
(1)利用勾股定理的逆定理证明即可；
(2)根据全等三角形的判定，作出图形即可；
(3)根据相似三角形的判定作出图形即可；
(4)作出AB，BC的中点P，Q即可．
本题考查作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3)，B(4,1)，C(1,1)，
则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1(1,−3)，B1(4,−1)，C1(1,−1)，
连接A1C1，A1B1，B1C1
得到△A1B1C1．
如图所示△A1B1C1为所求；
(2)由题意知：位似中心是原点，
所以A2(−2,−6)，B2(−8,−2)，C2(−2,−2)，
连接各点，得△A2B2C2．
如图所示△A2B2C2为所求，
【解析】(1)将△ABC的各个点关于x轴的对称点描出，连接即可．
(2)在△ABC同侧和对侧分别找到2OA=OA2，2OB=OB2，2OC=OC2所对应的A2，B2，C2的坐标，连接即可．
本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴AE=CD，
∵AD=AE+DE，
∴BC=CD+ED；
(2)∵AF=3，AC=8，
∴CF=AC−AF=8−3=5，
∵∠AEB=∠EBC，∠AFE=∠BFC，
∴△AFE∽△CFB，
∴AEBC=AFCF=35，
∴设AE=3x，BC=5x，
∴AB=AE=3x，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴AB2+AC2=BC2，
∴(3x)2+82=(5x)2，
∴x=2或x=−2(舍去)，
∴AE=3x=6，
∴AE的长为6．
【解析】(1)利用平行四边形的性质可得AD=BC，AB=CD，AD//BC，然后根据角平分线和平行可证△ABE是等腰三角形，从而可得AB=AE=CD，即可解答；
(2)先证明8字模型相似三角形△AFE∽△CFB，然后利用相似三角形的性质可得AEBC=35，从而可设AE=3x，BC=5x，最后在Rt△ABF中，利用勾股定理列出方程，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：设BF=x m，
由题意得：
DE=FG=1.5m，
在Rt△CBF中，∠CBF=35°，
∴CF=BF⋅tan35°≈0.7x(m)，
∵AB=8.8m，
∴AF=AB+BF=(8.8+x)m，
在Rt△ACF中，∠CAF=26.6°，
∴tan26.6°=CFAF=0.7x8.8+x≈0.5，
∴x=22，
经检验：x=22是原方程的根，
∴CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9(m)，
∴灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9m．
【解析】设BF=x m，根据题意可得：DE=FG=1.5m，然后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.【答案】解：(1)过点A作AC⊥OP，垂足为C，
由题意得：
∠AOP=90°−∠NOA=30°，
在Rt△AOP中，OA=200海里，
∴AC=12OA=100(海里)，
∴灯塔A到航线OP的距离为100海里；
(2)在Rt△AOP中，OA=200海里，∠AOC=30°，
∴OC=OA⋅cos30°=200×32=100(海里)，
∵∠∠OAB=15°，
∴∠ABC=∠AOC+∠OAB=45°，
在Rt△ABC中，AC=100海里，
∴BC=ACtan45∘=100(海里)，
∴OB=CO−BC=(1003−100)海里，
∴该轮船沿航行路线OP从O处航行到B处所用的时间=1003−10050≈1.5(小时)，
∴该轮船沿航行路线OP从O处航行到B处所用的时间约为1.5小时．
【解析】(1)过点A作AC⊥OP，垂足为C，根据题意可得∠AOP=30°，然后在Rt△AOP中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，即可解答；
(2)在Rt△AOP中，利用锐角三角函数的定义求出OC的长，再利用三角形的外角求出∠ABC=45°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】(1)4t；
(2)如图2中，当点H落在BC上时．
∵QH//AC，
∴QHAC=BQBA，
∴4t3=5−3t5，
∴t=1529．
(3)①如图3中，当0
②如图4中，当35≤t≤53时，重叠部分是四边形ACMQ，
S=QM+AC2⋅CM=35(5−3t)+32⋅[4−45(5−3t)]=−5425t2+365t.
(4)①如图5中，∵S△HEF：S五边形EQAPF=1：7，CD//PQ，
∴EF是△HPQ的中位线．
∵cos∠A=ADAC=ACAB=35，
∴AD=95，
∵QH//AC，
∴∠DQE=∠A，
∴cos∠DQE=cos∠A=35，
∴DQQE=35，
∴95−3t2t=35，
∴t=37．
②如图6中，当S△ADC：S五边形CDQHP=1：7时，CD是△APQ的中位线．
∴AQ=2AD，
∴3t=2×95，
∴t=65．
综上所述，满足条件的t的值为37或65s.
【解析】解：(1)如图1中，
在Rt△ACB中，∵AC=3，AB=5，∠C=90°，
∴BC=52−32=4，
∵AP=5t，sinA=BCAB=PQPA，
∴45=PQ5t，
∴PQ=4t，AQ=AP2−PQ2=3t．
故答案为4t．
(2)见答案；
(3)见答案；
(4)见答案；
(1)利用勾股定理求出BC，再根据sinA=BCAB=PQPA，构建方程即可解决问题；
(2)如图2中，因为QH//AC，可得QHAC=BQBA，由此构建方程即可解决问题；
(3)飞两种情形分别求解：①如图3中，当0
本题考查几何变换综合题、平行四边形的性质、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的射线思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
沪科版初中数学九年级上册期末测试卷
考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
1. 对于反比例函数y=−4x的图象，下列说法正确的是( )
A. y随x的增大而增大 B. 图象位于第一、三象限
C. 图象关于直线y=−x对称 D. 图象经过点(−2,−2)
2. 已知点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(1,y3)，D(3,−2)都在双曲线y=kx上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3 B. y1>y3>y2 C. y3>y2>y1 D. y2>y1>y3
3. 如图，函数y=1x(x>0)和y=3x(x>0)的图象分别是l1和l2.设点P在l2上，PA//y轴交l1于点A，PB//x轴，交l1于点B，△PAB的面积为( )
A. 12
B. 23
C. 13
D. 34
4. 如图，Rt△ABC位于第一象限，AB=2，AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数y=kx(k≠0)的图象与△ABC有交点，则k的最大值是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
5. 如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则ADBD的值为( )
A. 1
B. 22
C. 2−1
D. 2+1
6. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，图中所有的三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积为( )
A. 20 B. 22 C. 24 D. 26
7. 几千年来，在勾股定理的多种证明方法中，等面积法是典型的一种证法，清代数学家李锐运用这一方法借助三个正方形也证明了勾股定理．如图，四边形ABCD，四边形DEFG，四边形CGHI均为正方形，EF交BG于点L，DG交IH于点K，点B，L，C，G在同条直线上，若S△ADE=16，S△GHK=9，记四边形DELC的面积为S1，四边形CGKI的面积为S2，则S1S2的值为( )
A. 209 B. 34 C. 7745 D. 169
8. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为( )
A. (6+3)米 B. 12米 C. (4+23)米 D. 10米
9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AB=5，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2=BC⋅AC，tanα=12，则点C的坐标为( )
A. (−2,4) B. (−43,23) C. (−23,43) D. (−1,2)
10. 如图，在菱形ABCD中，AB=30，∠BCD=120°，点E在CD上，且DE=10，BE交AC于点F，连接DF.现给出以下结论：
①△ABF≌△ADF；
②AF：CF=3：2；
③S△DEF=303；
④sin∠AFD=55719
正确的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
11. 如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=AD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，则sin∠ECF=( )
A. 22
B. 2315
C. 12
D. 5314
12. 如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处，然后右转40°再航行53km到B处．在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是( )
A. 北偏东10° B. 北偏东30° C. 北偏东35° D. 北偏东40°
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 已知关于x的一元二次方程ax2−(a+1)x−4=0的两根分别为x1，x2，且−1
15. 将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，探究tan∠ACD的值为______．
16. 我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17. 已知y=y1+y2，y1与(x−1)成正比例，y2与(x+1)成反比例，当x=0时，y=−3，当x=1时，y=−1．
(1)求y的表达式；
(2)求当x=−12时，y的值．
18. 受疫情影响，小林为了生计摆地摊，到批发市场进一批单价5元的小商品，在夜市营销中统计该批商品的销售单价x(元)与日销售量y(个)之间有如下关系：
(1)猜测并确定y与x之间的函数关系式；
(2)设经营此小商品的销售利润为w元，求出w与x之间的函数关系式．若物价局规定此小商品的售价最高不能超过9元/个，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？
销售单价x(元)
6
7.2
7.5
8
日销售量y(个)
60
50
48
45
19. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为53m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准(女生)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》
20. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)网格中△ABC的形状是______；
(2)在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；
(3)在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；
(4)在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．
21. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3)，B(4,1)，C(1,1)．
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
(2)画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．
22. 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F．
(1)求证：BC=CD+ED；
(2)若AB⊥AC，AF=3，AC=8，求AE的长．
23. 灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河(渭河上游)上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥(图1)，该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部(最高点)，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数(A,B,D,F在同一条直线上)，河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE(C,F,G在同一条直线上，DF//EG，CG⊥AF，FG=DE)．
数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°．
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG(结果保留一位小数)．
参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
24. 如图，已知直线OP表示一艘轮船东西方向的航行路线，在O处的北偏东60°方向上有一灯塔A，灯塔A到O处的距离为200海里．(参考数据：3≈1.732)
(1)求灯塔A到航线OP的距离；
(2)在航线OP上有一点B，且∠OAB=15°，已知一轮船的航速为50海里/时，求该轮船沿航行路线OP从O处航行到B处所用的时间．(结果保留小数点后一位)
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5.点P从点A出发，以每秒5个单位
长度的速度沿AC方向运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，当点Q和点B重合时，点P停止运动，以AP和AQ为边作▱APHQ.设点P的运动时间为t秒(t>0)
(1)线段PQ的长为______.(用含t的代数式表示)
(2)当点H落在边BC上时，求t的值．
(3)当▱APHQ与△ABC的重叠部分图形为四边形时，设四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
(4)过点C作直线CD⊥AB于点D，当直线CD将▱APHQ分成两部分图形的面积比为1：7时，直接写出t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵y=−4x，
∴反比例函数图象经过第二，四象限，在每个象限内y随x增大而增大，函数图象关于原点成中心对称，关于直线y=−x成轴对称，
故选：C．
由反比例函数解析式可得函数图象经过象限及对称关系．
本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，注意：反比例函数y= k x(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
首先利用待定系数法求出双曲线的解析式，再根据反比例函数图象上点的坐标特征分别计算出y1、y2、y3的值，然后比较大小即可．
【解答】
解：∵D(3,−2)在双曲线y=kx上，
∴k=3×(−2)=−6，
∴双曲线的解析式为y=−6x，
∵A(−1,y1)、B(2,y2)、C(1,y3)都在双曲线y=−6x上，
∴y1=6，y2=−3，y3=−6，
∵6>−3>−6，
∴y1>y2>y3．
故选A．
3.【答案】B
【解析】解：设点P(m,n)，
∵P是反比例函数y=3x(x>0)图象上的点，
∴n=3m，
∴点P(m,3m)；
∵PB//x轴，
∴B点的纵坐标为3m，
将点B的纵坐标代入反比例函数的解析式y=1x(x>0)得：x=m3，
∴B(m3,3m)，同理可得：A(m,1m)；
∵PB=m−m3=2m3，PA=3m−1m=2m，
∴S△PAB=12PA⋅PB=12×2m3×2m=23．
故选：B．
将点P(m,n)代入反比例函数y=3x(x>0)用m表示出n即可表示出点P的坐标，然后根据PB//x轴，得到B点的纵坐标为3m，然后将点B的纵坐标带人反比例函数的解析式y=1x(x>0)即可得到点B的坐标，同理得到点A的坐标；根据PB=m−m3=2m3，PA=3m−1m=2m，利用S△PAB=12PA⋅PB即可得到答案．
本题考查了反比例函数的综合知识，题目中根据平行坐标轴的直线上的点的坐标特点表示出有关点的坐标是解答本题的关键，难度中等偏上．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可知，A点的坐标为(1,1)，C点的坐标为(1,3)，B点的坐标为(3,1)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则k+b=33k+b=1，
解得k=−1b=4，
则函数的解析式为：y=−x+4，
根据题意，得kx=−x+4，
即x2−4x+k=0，
Δ=16−4k≥0，
解得k≤4，
故k的最大值为4，
故选：B．
根据题意得出A点，B点和C点的坐标，用待定系数法求出直线BC的解析式，联立直线BC的解析式和反比例函数的解析式，根据Δ≥0得出k的取值，即可得出k的最大值．
本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质及利用判别式求k的取值是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等．由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为12，则相似比为22，从而求出ADBD的值．
【解答】
解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴(ADAB)2=S△ADES△ABC，
∵S△ADE=S四边形BCED，
∴ADAB=22，
∴ADBD=ADAB−AD=22−2=22+22=2+222=2+1．
故选D．
6.【答案】D
【解析】如图所示，
根据题意得△AFH∽△ADE，
∴S△AFHS△ADE=(FHDE)2=(34)2=916，
设S△AFH=9x，则S△ADE=16x，
∴16x−9x=7，解得x=1．
∴S△ADE=16．
∴四边形DBCE的面积为42−16=26．
易错警示：本题易忽略相似三角形性质的适用条件而致错．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=DC，∠A=∠B=∠ADC=90°，
∵四边形EFGD是正方形，
∴DE=DG，∠DEF=∠EDG=90°，
∴∠ADC−∠EDC=∠EDG−∠EDC，
∴∠ADE=∠CDG，
∵四边形CGHI是正方形，
∴CG=HG，∠ICG=∠H=90°，CI//HG，
∴∠CDG=∠HGK，
∴∠ADE=∠HGK，
∵∠H=∠A=90°，
∴△ADE∽△HGK，
∵S△ADE=16，S△GHK=9，
∴ADHG=43，
∴设AD=4a，HG=3a，
∴HG=CG=3a，
∵∠A=∠DCG=90°，AD=DC，∠ADE=∠CDG，
∴△ADE≌△CDG(ASA)，
∴AE=CG=3a，
∵S△ADE=16，
∴12AD⋅AE=16，
∴12⋅4a⋅3a=16，
∴a=263或a=−263(舍去)，
∴AB=AD=4a=863，AE=CG=3a=26，
∴BE=AB−AE=263，
∵∠A=90°，∠DEF=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，∠AED+∠BEL=180°−∠DEF=90°，
∴∠ADE=∠BEL，
∴△AED∽△BLE，
∴AEBL=ADBE，
∴26BL=836236，
∴BL=62，
∴S1=正方形ABCD的面积−△ADE的面积−△BEC的面积
=AD2−16−12BE⋅BL
=(836)2−16−12×236×62
=773，
S2=正方形CGHI的面积−△GHK的面积
=CG2−9
=(26)2−9
=24−9
=15，
∴S1S2=77315=7745，
故选：C．
根据正方形的性质可得AD=AB=DC，∠A=∠B=∠ADC=90°，DE=DG，∠DEF=∠EDG=90°，CG=HG，∠ICG=∠H=90°，CI//HG，从而可得∠ADE=∠CDG，进而利用平行线的性质可得∠CDG=∠HGK，然后可得∠ADE=∠HGK，从而证明△ADE∽△HGK，利用相似三角形的性质可得ADHG=43，再设AD=4a，HG=3a，从而可得HG=CG=3a，再证明△ADE≌△CDG，然后利用全等三角形的性质可得AE=CG=3a，从而根据S△ADE=16，求出a的值，进而求出AD，AE，CG的长，最后证明一线三等角模型相似△AED∽△BLE，从而利用相似三角形的性质求出BL的长，然后根据S1=正方形ABCD的面积−△ADE的面积−△BEC的面积，S2=正方形CGHI的面积−△GHK的面积，进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，数学常识，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．
【解答】
解：延长AC交BF延长线于D点，
则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，
在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，
∴CE=2(米)，EF=CF2−CE2=23(米)，
在Rt△CED中，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2(米)，CE：DE=1：2，
∴DE=4(米)，
∴BD=BF+EF+ED=12+23(米)
在Rt△ABD中，AB=12BD=12(12+23)=(3+6)米．
故选A．
9.【答案】C
【解析】解：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，则∠OCD=∠BOC=α，
∵tanα=ODCD=12，
∴CD=2DO，
∵OC2=BC⋅AC，
∴OCBC=ACOC，
∵∠ACO=∠BCO，
∴△CBO∽△COA，
∴∠CAO=∠COB=α，
∵tanα=12，
∴tanα=BOAO=12
∴AO=2BO，
在Rt△ABO中，AO2+BO2=AB2，AB=5，
∴4BO2+BO2=5，
∴BO=1，
∴AO=2BO=2，
∵∠CDO=∠BOA=90°，∠BAO=∠CAD，
∴△BAO∽△CAD，
∴OBCD=AOAD，
即12OD=22+OD，
解得OD=23，
∴CD=43
∴C(−23,43)，
故选：C．
过点C作CD⊥x轴，垂足为D，通过解直角三角形可求得CD=2DO，根据已知易证△CBO∽△CAO，从而可得∠CAO=∠COB=α，然后在Rt△AOB中求出AO与BO的长，最后证明△BAO∽△CAD，利用相似三角形的性质即可解答．
本题考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠BAF=∠DAF，
∵AF=AF，
∴△BAF≌△DAF(SAS)，故①正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴CE//AB，
∴△ABF∽△CEF，
∴AFCF=ABCE=3020=32，故②正确；
∵∠BCD=120°，
∴∠ABC=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴S△ABC=34×AB2=2253，
∴S△BCF=25S△ABC=25×2253=903，
同理可得，△BCF≌△DCF(SAS)，
∴S△BCF=S△DCF，
∵DE=10，
∴S△DEF=13S△CDF=13×903=303，故③正确；
连接BD交AC于O，
∵AF：CF=3：2，
设CF=2x，则AF=3x，
∴OC=52x，OF=12x，
∵∠ODC=30°，
∴DO=532x，
∵∠DOC=90°，
∴DF=OF2+OD2=(12x)2+(53x2)2=19x，
∴sin∠AFD=ODDF=53x219x=55738，故④错误．
故选：A．
根据菱形的性质，利用SAS证明△BAF≌△DAF，故①正确；由CE//AB，得△ABF∽△CEF，可知AFCF=ABCE=3020=32，故②正确；首先证明△ABC是等边三角形，从而得出面积，再利用等高的两个三角形面积之比等于底之比可判断③正确；连接BD交AC于O，设CF=2x，则AF=3x，得OC=52x，OF=12x，利用含30°角的直角三角形的性质得OD的长，再利用勾股定理可得DF的长，从而可判断④错误．
本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：如图，连接AO，EF交于点O，过点E作EG⊥CF于点G，
∵AB=AD，点E、F分别是AB，AD边上的中点，
∴AE=AF=BE=DF，
∵∠BAD=60°，
∴△EAF是等边三角形，
∵AB=AD，AC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴∠BAC=∠CAD=30°，AC⊥EF，
设AE=23x，则EF=BE=23x，AO=3x，
∴BC=4x，AC=8x，
∴OC=8x−3x=5x，
由勾股定理得：EC=FC=BC2+BE2=(4x)2+(23x)2=27x，
∵S△EFC=12⋅EF⋅OC=12⋅CF⋅EG，
∴EF⋅OC=CF⋅EG，
∴23x⋅5x=27x⋅EG，
∴EG=521x7，
∴sin∠ECF=EGEC=521x727x=5314．
故选：D．
如图，连接AO，EF交于点O，过点E作EG⊥CF于点G，先证明△EAF是等边三角形，得AE=EF，再证明Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，得∠BAC=∠CAD=30°，AC⊥EF，设AE=23x，则EF=BE=23x，AO=3x，分别计算EC和EG的长，并根据三角函数定义可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形和等边三角形的判定与性质等知识；有一定难度，正确作辅助线是解决问题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：如图，连接BC，
由题意得：∠ACP=∠ACD=90°，∠PAC=30°，PA=10km，∠BAE=40°，AB=53km，
∴∠BAC=180°−∠PAC−∠BAE=180°−30°−40°=110°，
∵cos∠PAC=ACPA=cos30°=32，
∴AC=32PA=32×10=53(km)，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=12×(180°−∠BAC)=12×(180°−110°)=35°，
即B处在C处的北偏东35°方向，
故选：C．
连接BC，由锐角三角函数定义得AC=32PA=53(km)，则AC=AB，再由等腰三角形的性质得∠ACB=∠ABC=35°，即可得出结论．
本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，由锐角三角函数定义求出AC的长是解题的关键．
13.【答案】32
∵抛物线y=ax2−(a+1)x−4经过点(0,−4)，−1
∵x=−1时，y>0，即a+a+1−4>0，解得a>32；
x=2时，y<0，即4a−2a−2−4<0，解得a<3；
x=3时，y>0，即9a−3a−3−4>0，解得a>76；
∴实数a的取值范围为32
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，把方程的两根转化为抛物线与x轴交点的横坐标是解题的关键．
14.【答案】149
【解析】
【分析】
此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出ECAC=34是解题关键，首先得出△MEC∽△DAC，则ECAC=MEAD，进而得出S△CMES△DAC=916，即可得出答案．
【解答】
解：∵ME//AD，
∴△MEC∽△DAC，
∴ECAC=MEAD，
∵菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，
∴AE=1cm，EC=3cm，
∴ECAC=34，
∴S△CMES△DAC=916，
∴图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为：2×(16−9+16−9)9+9=149．
故答案为：149．
15.【答案】3+1
【解析】解：过点A作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，
∵∠ABD=90°，∠DBC=45°，
∴∠ABH=180°−∠ABD−∠DBC=45°，
∵∠AHB=90°，
∴△AHB是等腰直角三角形，
∴设AH=BH=a，则AB=2AH=2a，
在Rt△ABD中，∠DAB=60°，
∴DB=3AB=6a，
在Rt△DBC中，∠DBC=45°，
∴BC=BD⋅cos45°=6a⋅22=3a，
∴CH=BH+BC=a+3a，
在Rt△CAH中，tan∠CAH=CHAH=a+3aa=1+3，
∵∠AHB=∠BCD=90°，
∴∠AHB+∠BCD=180°，
∴AH//DC，
∴∠ACD=∠CAH，
∴tan∠ACD=tan∠CAH=3+1，
故答案为：3+1．
过点A作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，利用平角定义可求出∠ABH=45°，从而可得△AHB是等腰直角三角形，然后设AH=BH=a，则AB=2AH=2a，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，再在Rt△DBC中，利用锐角三角函数的定义求出DBC的长，从而求出CH的长，从而在Rt△CAH中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠CAH的值，最后证明AH//DC，从而利用平行线的性质可得∠ACD=∠CAH，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16.【答案】15或45
【解析】
【分析】
本题考查等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的角的三角函数值．
根据题意，可以求得底边的长，然后利用分类讨论的方法和锐角三角函数可以求得相应的角的三角函数值．
【解答】
解：设等腰三角形的底边长为a，
|5−a|=3，
解得，a=2或a=8，
当a=2时，这个等腰三角形底角的余弦值是：15，
当a=8时，这个等腰三角形底角的余弦值是：45，
故答案为15或45．
17.【答案】解：(1)∵y1与(x−1)成正比例，y2与(x+1)成反比例，
∴设y1=k1(x−1)，y2=k2x+1，
∵y=y1+y2=k1(x−1)+k2x+1，
当x=0时，y=−3，当x=1时，y=−1．
∴−3=−k1+k2−1=12k2，
∴k2=−2，k1=1，
∴y=x−1−2x+1；
(2)当x=−12时，y=x−1−2x+1=−12−1−2−12+1=−112．
【解析】本题考查的是待定系数法求反比例函数及正比例函数的解析式，能根据题意得出y与x的函数关系式是解答此题的关键．
(1)先根据题意得出y1=k1(x−1)，y2=k2x+1，根据y=y1+y2，当x=0时，y=−3，当x=1时，y=−1得到关于k1，k2的方程组，进而得出y的表达式；
(2)把x=−12代入(1)中的函数关系式，求出y的值即可．
18.【答案】解：(1)由表中数据可知，销售单价x与日销售量y的乘积为定值360，
∴y与x之间的函数关系为反比例函数，
设y与x之间的函数关系式为y=kx(k为常数且k≠0)，
把(6,60)代入解析式得，60=k6，
解得：k=360，
∴y与x之间的函数关系式为y=360x；
(2)由题意得：w=(x−5)y=360−1800x，
∵5≤x≤9，
∴当x=9时，w最大，最大值为160，
∴w与x之间的函数关系式为w=360−1800x，当日销售单价x定为9元时，才能获得最大日销售利润．
【解析】(1)要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是360，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；
(2)首先要知道纯利润=(销售单价x−5)×日销售数量y，这样就可以确定w与x的函数关系式，然后根据题目的售价最高不超过9元/个，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x．
本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意．
19.【答案】解：(1)根据题意设y关于x的函数表达式为y=a(x−3)2+3，
把(0,53)代入解析式得：53=a(0−3)2+3，
解得：a=−427，
∴y关于x的函数表达式为y=−427(x−3)2+3；
(2)该女生在此项考试中是得满分，理由：
令y=0，则−427(x−3)2+3=0，
解得：x1=7.5，x2=−1.5(舍去)，
∵7.5>6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
【解析】(1)根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
(2)根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．
20.【答案】直角三角形
【解析】解：(1)∵AC=22+12=5，AB=22+42=25，BC=5，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
(2)如图①中，点D，点D′即为所求；
(3)如图②中，点E即为所求；
(4)如图，点P，点Q即为所求．
(1)利用勾股定理的逆定理证明即可；
(2)根据全等三角形的判定，作出图形即可；
(3)根据相似三角形的判定作出图形即可；
(4)作出AB，BC的中点P，Q即可．
本题考查作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3)，B(4,1)，C(1,1)，
则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1(1,−3)，B1(4,−1)，C1(1,−1)，
连接A1C1，A1B1，B1C1
得到△A1B1C1．
如图所示△A1B1C1为所求；
(2)由题意知：位似中心是原点，
所以A2(−2,−6)，B2(−8,−2)，C2(−2,−2)，
连接各点，得△A2B2C2．
如图所示△A2B2C2为所求，
【解析】(1)将△ABC的各个点关于x轴的对称点描出，连接即可．
(2)在△ABC同侧和对侧分别找到2OA=OA2，2OB=OB2，2OC=OC2所对应的A2，B2，C2的坐标，连接即可．
本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴AE=CD，
∵AD=AE+DE，
∴BC=CD+ED；
(2)∵AF=3，AC=8，
∴CF=AC−AF=8−3=5，
∵∠AEB=∠EBC，∠AFE=∠BFC，
∴△AFE∽△CFB，
∴AEBC=AFCF=35，
∴设AE=3x，BC=5x，
∴AB=AE=3x，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴AB2+AC2=BC2，
∴(3x)2+82=(5x)2，
∴x=2或x=−2(舍去)，
∴AE=3x=6，
∴AE的长为6．
【解析】(1)利用平行四边形的性质可得AD=BC，AB=CD，AD//BC，然后根据角平分线和平行可证△ABE是等腰三角形，从而可得AB=AE=CD，即可解答；
(2)先证明8字模型相似三角形△AFE∽△CFB，然后利用相似三角形的性质可得AEBC=35，从而可设AE=3x，BC=5x，最后在Rt△ABF中，利用勾股定理列出方程，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：设BF=x m，
由题意得：
DE=FG=1.5m，
在Rt△CBF中，∠CBF=35°，
∴CF=BF⋅tan35°≈0.7x(m)，
∵AB=8.8m，
∴AF=AB+BF=(8.8+x)m，
在Rt△ACF中，∠CAF=26.6°，
∴tan26.6°=CFAF=0.7x8.8+x≈0.5，
∴x=22，
经检验：x=22是原方程的根，
∴CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9(m)，
∴灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9m．
【解析】设BF=x m，根据题意可得：DE=FG=1.5m，然后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.【答案】解：(1)过点A作AC⊥OP，垂足为C，
由题意得：
∠AOP=90°−∠NOA=30°，
在Rt△AOP中，OA=200海里，
∴AC=12OA=100(海里)，
∴灯塔A到航线OP的距离为100海里；
(2)在Rt△AOP中，OA=200海里，∠AOC=30°，
∴OC=OA⋅cos30°=200×32=100(海里)，
∵∠∠OAB=15°，
∴∠ABC=∠AOC+∠OAB=45°，
在Rt△ABC中，AC=100海里，
∴BC=ACtan45∘=100(海里)，
∴OB=CO−BC=(1003−100)海里，
∴该轮船沿航行路线OP从O处航行到B处所用的时间=1003−10050≈1.5(小时)，
∴该轮船沿航行路线OP从O处航行到B处所用的时间约为1.5小时．
【解析】(1)过点A作AC⊥OP，垂足为C，根据题意可得∠AOP=30°，然后在Rt△AOP中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，即可解答；
(2)在Rt△AOP中，利用锐角三角函数的定义求出OC的长，再利用三角形的外角求出∠ABC=45°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】(1)4t；
(2)如图2中，当点H落在BC上时．
∵QH//AC，
∴QHAC=BQBA，
∴4t3=5−3t5，
∴t=1529．
(3)①如图3中，当0
②如图4中，当35≤t≤53时，重叠部分是四边形ACMQ，
S=QM+AC2⋅CM=35(5−3t)+32⋅[4−45(5−3t)]=−5425t2+365t.
(4)①如图5中，∵S△HEF：S五边形EQAPF=1：7，CD//PQ，
∴EF是△HPQ的中位线．
∵cos∠A=ADAC=ACAB=35，
∴AD=95，
∵QH//AC，
∴∠DQE=∠A，
∴cos∠DQE=cos∠A=35，
∴DQQE=35，
∴95−3t2t=35，
∴t=37．
②如图6中，当S△ADC：S五边形CDQHP=1：7时，CD是△APQ的中位线．
∴AQ=2AD，
∴3t=2×95，
∴t=65．
综上所述，满足条件的t的值为37或65s.
【解析】解：(1)如图1中，
在Rt△ACB中，∵AC=3，AB=5，∠C=90°，
∴BC=52−32=4，
∵AP=5t，sinA=BCAB=PQPA，
∴45=PQ5t，
∴PQ=4t，AQ=AP2−PQ2=3t．
故答案为4t．
(2)见答案；
(3)见答案；
(4)见答案；
(1)利用勾股定理求出BC，再根据sinA=BCAB=PQPA，构建方程即可解决问题；
(2)如图2中，因为QH//AC，可得QHAC=BQBA，由此构建方程即可解决问题；
(3)飞两种情形分别求解：①如图3中，当0
本题考查几何变换综合题、平行四边形的性质、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的射线思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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