数学八年级上册12.5 因式分解优质第1课时学案设计

12.5  因式分解

第1课时 因式分解及提公因式法分解因式

学习目标：

1.理解因式分解的意义和概念（重点），因式分解与整式乘法的区别和联系.

2.理解并掌握提公因式法，并能熟练地运用提公因式法分解因式.（难点）

自主学习

一、知识链接

填一填：x（x+1）=          ；  3a(a+2)=            ；     m(a+b+c)= __________.

二、新知预习

想一想：根据上面三个等式，将下列式子写成两个式子相乘的形式：

x2+x=（___）（______）； 3a2+6a=（_____）（_______）；  ma+mb+mc=（____）（_________）.

合作探究

一、探究过程

探究点1：因式分解

思考1：“想一想”中的三个式子从左到右的变化有什么共同的特点？

【要点归纳】把一个多项式化成               的形式，叫做多项式的            .

思考2：通过观察“填一填”“想一想”中的式子，你发现因式分解与整式乘法有什么联系？

例1下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)

①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；

③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．

A．1个           B．2个           C．3个           D．4个

【方法总结】判断变形过程是否为因式分解：一看等式右边是否为几个整式的积的形式，二看等式左边是否为多项式．

【针对训练】在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有___________. （填序号）

①24x2y=3x ·8xy；   ②am+bm+c=m(a+b)+c；     ③x2-1=(x+1)(x-1) ；   

④(2x+1)2=4x2+4x+1；    ⑤2x+4y+6z=2(x+2y+3z)；    ⑥x2+x=x2(1+) .

探究点2：公因式

思考：式子ma+mb+mc中，ma=    ·    ，mb=    ·    ，mc=    ·    ，它们共同的因式为       .

【要点归纳】多项式中的每一项都含有的相同的因式，称之为         .

问题：如何确定一个多项式的公因式？

找一找：3x 2 - 6 xy的公因式.

(1)  多项式3x 2 - 6 xy有____项，分别为__________、_________，它们的系数分别是______、_______，系数的最大公约数是__________，它们含有的共同字母是_________，该字母的指数分别为______、_____.

(2)  该多项式的公因式为______________.

【方法总结】正确找出多项式的公因式的步骤：

1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的_______________.

2.定字母：字母取多项式各项中都含有的字母.

3.定指数：相同字母的指数取各项中______的一个，即字母最_____次数. 

【针对训练】将下列各多项式的公因式填在横线上.

(1) 3x+6y  ___________;     (2)ab-2ac  ___________; 

(3) a2 - a3   ___________ ;     (4 )9m2n-6mn ___________;

(5)-6x2y-8xy 2  ___________;  (6)4(m+n) 2 +2(m+n)  ___________;

探究点3：用提公因式法分解因式

【概念提出】将多项式的       提出来，写成两个因式的     的形式，这种因式分解的方法，叫做              .

例2把下列各式分解因式：

(1)8a3b2＋12ab3c；      (2)- x2+xy-xz；      (3)2a(b＋c)－3(b＋c)； 

【方法总结】提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.

【针对训练】

1.下列是某同学分解因式的结果，对的画“√”，错的画“×”，并改正.

(1)分解因式 12xy3+18xy2=3xy(4y2 + 6y).  ____________，

正解：________________________________；

(2)分解因式3x2 - 6xy+x =x(3x-6y).____________， 

正解：________________________________；

(3) (a＋b)(a－b)－a+b=(a＋b)(a－b－1)____________，

正解：________________________________.

【易错归纳】 (1)提取公因式后，多项式中各项还含有公因式．(2)提取公因式后，漏掉另一个因式是1的项；(3)找公因式时符号出错.

例3运用提公因式法进行简便运算：

（1）2×97+8×97；      （2）1.25×77+0.25×77-2.5×77.

例4先因式分解，再求值：m（a-3）-2n（3-a），其中a=1，m=0.6，n=0.2.

【针对训练】

当a，b互为相反数时，代数式a2+ab-2的值为（　　）

A．2             B．0            C．-2                   D．-1

二、课堂小结

当堂检测

1.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）

A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 

B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 

C．x2﹣2y2＝（x+2y）（x﹣2y） 

D．（x﹣1）（x﹣2）﹣2＝x（x﹣3）

2．把多项式（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）提取公因式（x﹣2）后，余下的部分是（　　）

A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3

3.下列多项式的分解因式，正确的是（　　）

A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）

B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）

C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z）    

D．a2b+5ab-b=b（a2+5a）

4．因式分解：

（1）3xy﹣6y＝　  　；

（2）a2b+b﹣2ab2＝　    　；

（3）3x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝　          　.

5.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则整式M等于____________.

6.简便计算：

(1) 1.99×1.98+1.99×0.02；                 (2)(-2)101+(-2)100.

7.若ab＝2，2a+b＝6，求多项式-4a3b2-2a2b3的值；

8．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+2ab＝c+2bc，判断△ABC的形状．

参考答案

自主学习

一、知识链接

填一填：x²+x    3a²+6a    ma+mb+mc    

二、新知预习

想一想：x   x+1   3a   a+2   m   a+b+c

合作探究

一、探究过程

探究点1：

思考1：解：三个式子都是从几个式子相加变成几个式子相乘.

【要点归纳】几个整式的积    因式分解  

思考2：解：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．

例1  B   

【针对训练】③⑤

探究点2：

思考：m   a   m    b   m    c     m

【要点归纳】公因式

找一找：（1）2  3x 2  - 6 xy   3  -6   3   x   2   1    （2）3x

【方法总结】最大公约数     次数最小     低

【针对训练】（1）3   （2）a  （3）a²  （4）3mn （5）-2xy  （6）2(m+n)

探究点3：

【概念提出】公因式    积    提公因式法

例2   解：（1）原式=4ab²（2a²+3bc）.  （2）原式=-x（x-y+z）.   （3）原式=（b+c）（2a-3）.

【针对训练】1.（1）×   6xy2(2y+3)     （2） ×    x(3x-6y+1)   

（3）×    （a-b）（a+b-1）

例3  解：（1）原式=（2+8）×97=970.（2）原式=（1.25+0.25-2.5）×77=-77.

例4  解：原式=（m+2n）（a-3）=（0.6+0.2×2）×（1-3）=  -2.

【针对训练】C

二、课堂小结  

 整式乘法    系数    字母     指数

当堂检测 

1.   D     2.D    3.B   

4.（1）3y（x﹣2）   （2）b（a2+1﹣2ab）   （3）（x﹣2）（3x+1） 

5.3a(x－y)2     6.解：（1）原式=3.98.    （2）原式=-2100.

7.解：∵ab＝2，2a+b＝6，∴-4a3b2-2a2b3＝-2a2b2（2a+b）＝-2×22×6＝-48．

8.解：∵a+2ab＝c+2bc，∴a﹣c+2ab﹣2bc＝0，即（a﹣c）（2b+1）＝0．∵a，b，c是△ABC的边长，∴b＞0，∴2b+1≠0，∴a﹣c＝0，∴a＝c，即△ABC是等腰三角形.