数学八年级上册3 角平分线优秀学案设计

13.5  逆命题与互逆定理

3.角平分线

学习目标：

1.理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理.（重点）

2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论并应用.（难点）

自主学习

一、知识链接

我们知道角是轴对称图形，它的对称轴就是角平分线所在的直线，试着在下图中画出∠ABC的对称轴BD.

二、新知预习

在上图的BD上取一点H，点H在∠ABC的内部，作HE⊥AB，HF⊥BC，求证：HE=HF.

合作探究

一、探究过程

探究点1：角平分线的性质定理

问题   根据上述的作图及证明，你认为过角平分线上一点向角的两边作垂线，这两条垂线有什么关系？

【要点归纳】角平分线的性质定理   角平分线上的点到角两边的距离 ___    .

例1    如图，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF．

例2    如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)

A．6         

B．5          

C．4         

D．3

【方法总结】利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．

【针对训练】如图，OP是∠MON的平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连接BC，AB＝10cm，CA＝4cm．则△OBC的面积为       cm2．

探究点2：角平分线的性质定理的逆定理

问题   写出角平分线性质定理的逆命题，它是真命题还是假命题？

【要点归纳】角平分线的性质定理的逆定理  

角的内部到角两边距离相等的点在角的        上.

例3    如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．

【方法总结】证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是利用角平分线的性质定理的逆定理．

【针对训练】

如图，已知△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．（提示：作辅助线如图所示）

二、课堂小结

当堂检测

1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， 且DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF=______度，BE=________ .

第1题图            第2题图            第3题图           第4题图

2.如图，在△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是______.

3.如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是________．

4.如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝　  　°．

5.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．下面给出四个结论，①DA平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有(　　)

A．1个                

B．2个   

C．3个               

D．4个

6.如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．

参考答案

自主学习

一、知识链接 

解：对称轴如下图所示：

二、新知预习

证明：由作图知BD平分∠ABC，∴∠FBH=∠EBH，∵EH⊥AB，HF⊥BC，∴∠BEH=∠BFH，∵BH=BH，∴△BEH≌△BFH，∴EH=FH.

合作探究

一、探究过程    

探究点1   

【要点归纳】相等

例1   证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝CF．

例2   D

【针对训练】20

探究点2  

【要点归纳】平分线

例3  证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD=90°．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线．

【针对训练】证明：分别过D作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF．同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠EAG平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．

二、课堂小结  

PE   相等

当堂检测 

1.60   BF     2.3      3.42      4.35      5.D

6.证明：连接AD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，∴∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD=CD．