初中数学华师大版八年级上册1 命题优质学案

13.5  逆命题与逆定理

1.互逆命题与互逆定理

学习目标：

1．让学生理解互逆命题、互逆定理的概念，通过比较，提高学生的辨析能力；

2．能正确写出一个命题的逆命题，能判断一个命题的逆命题是否是逆定理（重点）；

3．能正确理解互逆命题与互逆定理的联系与区别（难点）．

自主学习

一、知识链接

1._________________叫做命题．

2．命题分为_______和_______，每一个命题都是由_____和_____两部分组成，可以写成“如果……，那么……”的形式．

3．把命题“过平面上一点作已知直线的垂线，有且只有一条直线与这条直线垂直”改写成“如果……，那么……”的形式为_____________________________________________．

4.数学中，有些命题可以从基本事实和其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做__________.

二、新知预习

说出下列命题的条件和结论：

1．两直线平行，内错角相等；    2．内错角相等，两直线平行；

3．若a＝b，则a2＝b2；          4．若a2＝b2，则a＝b.

观察上面几组命题，发现1和2、3和4这两个命题的_____和_____恰好互相换了位置．

【自主归纳】一般来说，在两个命题中，如果一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做_________．如果把其中一个命题叫做________，那么另一个命题叫做它的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题不一定正确．

合作探究

一、探究过程

探究点1：互逆命题

例1指出下列命题的条件和结论，说出它们的逆命题，并判断逆命题的真假．

(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；

条件：_____________________．

结论：_____________________．

逆命题：_______________________________．这个逆命题是___命题．

(2)全等三角形的对应角相等．

条件：____________________．

结论：____________________．

逆命题：____________________________________________．这个逆命题是___命题．

【针对训练】指出下列命题的条件和结论，说出它们的逆命题，并判断逆命题的真假．

(1)如果一个数能被10整除，那么这个数也一定能被5整除；

条件：___________________．

结论：___________________．

逆命题：________________________________．这个逆命题是___命题．

(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

条件：________________________________________．

结论：_________________．

逆命题：________________________________________．这个逆命题是___命题．

【变式题】指出下列命题的条件和结论，说出它们的逆命题，并判断逆命题的真假．

(1)等角对等边；

条件：____________________________．

结论：____________________．

逆命题：___________．这个逆命题是___命题．

(2)等边三角形三条边上的高相等．

条件：_______________________．

结论：_______________．

逆命题：_________________________________________________．这个逆命题是___命题．

探究点2：互逆定理

1．如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做________，其中的一个定理叫做另一个定理的_______．

2．一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．

例2(1)命题：两直线平行，内错角相等；

逆命题：________________________．

因此它们是_________.

(2)命题：_____________________．

逆命题：对顶角相等．

此逆命题是___命题，且是_____．

二、课堂小结

当堂检测

1．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）

A．同位角相等 

B．对顶角相等 

C．等边对等角 

D．全等三角形的面积相等

2．下列命题的逆命题是假命题的是（　　）

A．全等三角形的面积相等              

B．等腰三角形两个底角相等 

C．若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角

D．若a=b，则a3=b3

3．“同位角相等”的逆命题是_________________________．   　

4．我们已经学习了一些定理，例如：①全等三角形的对应边相等；②等腰三角形的两个底角相等；③等边三角形的三个内角相等．   

上述定理中存在逆定理的是　   　（填序号）．

5．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．

（1）全等三角形的对应角相等；

（2）同旁内角互补，两直线平行．

6．写出命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并判断真假.若为真命题，请证明；若为假命题，请举出反例．

参考答案

自主学习

一、知识链接 

1. 表示判断的语句       2．真命题   假命题    条件    结论

3．如果经过平面上的一点作已知直线的垂线，那么有且只有一条直线与这条直线垂直

4．定理  

二、新知预习      条件  结论

【自主归纳】互逆命题   原命题

合作探究

一、探究过程    

探究点1  

例1  （1）一个三角形是直角三角形     它的两个锐角互余       如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形      真

（2）两个三角形是全等三角形     它们的对应角相等      如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等    假

【针对训练】(1)一个数能被10整除   这个数也一定能被5整除    如果一个数能被5整除，那么这个数也一定能被10整除    假

(2)两条直线被第三条直线所截，内错角相等     这两条直线平行     两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么内错角相等      真

【变式题】

(1)在一个三角形中，有两个角相等   这两个角所对的边相等   等边对等角   真  

(2)一个三角形是等边三角形   该三角形三条边上的高相等    如果一个三角形三条边上的高相等，那么这个三角形是等边三角形     真

探究点2     互逆定理      逆定理

例2   (1)内错角相等，两直线平行   互逆定理    (2)相等的角是对顶角   真   定理

二、课堂小结     结论    条件    定理  

当堂检测

1．C   2．A    3．相等的角是同位角    4．①②③

5．解：（1）没有.“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，是假命题.

（2）有.逆定理为：两直线平行，同旁内角互补．

6．解：逆命题是：如果一个三角形一边上的高线和中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题．证明如下：

已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，BD＝DC.

求证：△ABC是等腰三角形.

证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△ADB和△ADC中，

，∴△ADB≌△ADC（SAS）．∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．