华师大版八年级上册2 直角三角形的判定优质学案设计

2.直角三角形的判定

学习目标：

1.掌握勾股定理逆定理的概念（重点）；

2.让学生理解勾股数的概念，并牢记勾股数，学会勾股定理的使用技巧；

3.利用勾股定理的逆定理解决实际问题（难点）.

自主学习

一、知识链接

1.勾股定理的内容是什么？

2. 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：

① a＝3，b＝4；c=_____；   ② a＝2.5，b＝6；c=_____；   ③ a＝4，b＝7.5，c=_____.

二、新知预习

1.画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）.

     A.3、4、3 ；  B.3、4、5； C.3、4、6； D.6、8、10.

2.判断:通过测量角度，判断上述你所画的三角形的形状.             

     A._________      B.__________   C._________   D._________

3.找规律:根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出最长边（c）的平方与其他两边（a，b）的平方和之间的关系.                                           

     A._________      B.__________   C._________   D._________

合作探究

一、探究过程

探究点1：勾股定理的逆定理

活动   有以下三组数，分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.

问题   算一算上面边长的平方之间的关系，结合形状的判断，你发现了什么？

猜测  如果三角形的三边长a,b,c满足___________,那么这个三角形是_________三角形.

验证  下面我们根据全等进行证明.

已知：△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．

求证：△ABC是直角三角形.．

证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，

      则A′B′2=_______+________ 。

            ∵a2+b2=c2，∴A′B′=_______.  

      在△ABC和△A′B′C′中，

                 A′C′=AC，

                 B′C′=BC，                      

                 ______=_______,

      ∴△ABC____△A′B′C′(________) .

      ∴∠C____∠C′_____90°， 即△ABC是__________三角形.

【要点归纳】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.

特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.

例1若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，判断△ABC的形状.

【方法总结】已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.

【针对训练】

1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）

A．2，3，4         B．3，4，6         C．5，12，13         D．4，6，7

2.已知a、b、c是△ABC的三边长，若|a﹣b|+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是　     　．

例2   某木工做了一个长方形的门框，AB=1.5m，AD=2m，测得BD=2.6m．若∠DAB=90°，则符合要求，请问他做的门框符合要求吗？说明理由.

探究点2：勾股数

【概念提出】 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.

【典例精析】

例3    下面各组a、b、c，是勾股数的是　     　．（填序号）

①a＝7，b＝24，c＝25      ②a＝5，b＝13，c＝12

③a＝4，b＝5，c＝6       ④a＝0.5，b＝0.3，c＝0.4

【方法总结】根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.

二、课堂小结

当堂检测

1.下列各组数是勾股数的是                                     (      )

  A.3，4，7             B.6，10，8        C.1.5，2，2.5       D.1，3，5

2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形           (     ) 

 A.是直角三角形                            B.可能是锐角三角形

 C.可能是钝角三角形                        D.不可能是直角三角形

3.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是（       ）

 A.锐角三角形               B.钝角三角形               

 C.直角三角形                D.等腰三角形

4.若a，b，c满足（a﹣5）2+|b﹣12|+＝0，则以a，b，c为边的三角形面积是　    　．

5.一个三角形的三边长分别为15cm,20cm,25cm，则该三角形最长边上的高是          cm.

6. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝.

（1）求AD的长；

（2）求证：△ABC是直角三角形．

拓展提升

7.若△ABC的三边长a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状，并说明理由.

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

2.① 5   ②6.5    ③8.5

二、新知预习

1.画图略.

2.锐角三角形    直角三角形   钝角三角形   直角三角形

3.a²+b²＞c²    a²+b²=c²   a²+b²＜c²    a²+b²=c²

合作探究

一、探究过程    

探究点1： 

猜测   a²+b²=c²   直角

验证    A′C′2     B′C′2      c   A′B′   AB   ≌   SSS   =   =   直角       

例1 解：设a=3k，b=4k，c=5k，且k≠0，则a2+b2=9k2+16 k2=25k2=c2.∴a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形．

【针对训练】

1.C  2.等腰直角三角形

例2   解：不符合，理由如下：因为1.52+22=6.25，2.62=6.76，所以AB2+AD2≠BD2，因此△ABD不满足直角三角形的条件，所以∠DAB≠90°.所以不符合要求.

探究点2：

例3   ①②

课堂小结

正整数

当堂检测 

1.B  2.A  3.C  4.30  5.12

6.（1）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴AD＝＝＝.

（2）证明：由（1）知AD＝，同理可得BD＝，∴AB＝AD+BD＝5．∵32+42＝52，∴BC2+AC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形．

7.解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c可以变形为（a-3）²+（b-4）²+（c-5）²=0.即a=3，b=4，c=5.∵a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形．