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初中数学浙教版九年级上册3.1 圆精品精练
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这是一份初中数学浙教版九年级上册3.1 圆精品精练，共21页。试卷主要包含了课前检测，考点梳理，重点突破，经典练习，优化提高等内容，欢迎下载使用。
第6讲、圆与图形的旋转
一、课前检测
（一）选择题（共5小题）
1. 有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆.
其中正确的是（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CP，CM分别是AB上的高和中线.如果圆A是以点A为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A.点P，M均在圆A内
B.点P、M均在圆A外
C.点P在圆A内，点M在圆A外
D.点P在圆A外，点M在圆A内
3. 如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
第3题图 第4题图
4. 如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABE
B．△ACF
C．△ABD
D．△ADE
5． 已知如图①所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图②，则旋转的牌是（ ）
A．
B．
C．
D．
（二）解答题（共1小题）
6． 如图所示，已知△ABC中，∠BCA=90°，AC=2，BC=3，M为AB的中点.
（1） 以C为圆心，2为半径作⊙C，则点A，B，M与⊙C的位置关系如何？
（2）若以C为圆心，作⊙C，使A，B，M三点至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C，则⊙C的半径r的取值范围是什么？
二、考点梳理
考点一：1.在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线路叫做圆，定点O叫做圆心，线段OP叫做圆的半径.连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
2. 如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有d＞r↔点P在圆外；d=r↔点P在圆上；d＜r↔点P在圆内.
3. 圆上各点到圆心的距离都等于半径.
考点二：1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
2. 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点.
3. 经过一点的圆有无数个，经过两点的圆有无数个.
4. 若平面上A，B，C三点能够确定一个圆，那么A，B，C三点所满足的条件是三点不共线.
考点三：1.一般地，一个图形变为另一个图形，在运动过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的点叫做旋转中心.
2. 图形旋转的性质：
（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等.不改变图形形状和大小.
（2）对应点到旋转中心的距离相等.
（3）当图形旋转的角度为180°时，所得的图形和原图形关于旋转中心成中心对称.
3.旋转作图的步骤：
（1）确定旋转中心、旋转方向及旋转角度；
（2）找出表示图形的关键点；
（3）将图形的关键点与旋转中心连结起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一定角度（等于旋转角），得到关键点的对应点；
（4）按原图形顺次连结这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形.
重要提示：
1. 决定旋转的元素是旋转中心、方向和角度.
2.任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角并且相等.
三、重点突破
重点一：圆
例1．如图，AB是⊙O的直径，D，C两点在⊙O上，AD∥OC，∠DAB=60°，连结AC，则∠DAC等于（ ）
A. 15° B.30° C.45° D.60°
（点拨：∠DAC=∠CAB）
例1图 例2图
例2．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是_________.
（点拨：根据点到圆心的距离与半径的大小关系来进行判断）
例3. 已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，求证：菱形ABCD各边中点M，N，P，Q在以O为圆心的同一个圆上.
(点拨：把问题转化为证明这几个点到某一个定点（圆心）的距离相等)
例4. 如图，△ABC是等边三角形，且边长为2，求△ABC的外接圆⊙O的半径r.
（点拨：构造直角三角形，利用勾股定理）
例5．如图，已知圆上两点A，B，用直尺和圆规求作以AB为一边的圆的内接等腰三角形，这样的三角形能作几个？
（点拨：需要注意分AB是底边与腰两种情况作图）
重点二:图形的旋转
例1．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC=________.
（点拨：图形旋转的性质）
例1图 例2图
例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm.
(点拨：由旋转得到相等的边).
例3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10．求CE的长度.
例4．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠B=90°，DE⊥AB，垂足为E，且DE=EB=5，请用旋转图形的方法求四边形ABCD的面积．
（点拨：根据旋转的性质将四边形ABCD变形为正方形DEBE′）
例5．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E是BC边上的任意两点，且∠DAE=45°．
（1）将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，请在图（1）中画出△ACF．
（2）在（1）中，连接EF，探究线段BD，EC和DE之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
（3）如图2，M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BM+DN=MN，试求∠MAN的大小．
四、经典练习
A组
（一）选择题（共3小题）
1. 对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ）
A.把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B.木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C.将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D.将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
2. 在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.则下列说法中，不正确的是（ ）
A. 当a＜5时，点B在⊙A内 B.当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C.当a＜1时，点B在⊙A外 D.当a＞5时，点B在⊙A外
3. 已知正三角形外接圆半径为，则这个正三角形的边长是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
(二) 填空题（共2小题）
4. 已知矩形的两边长分别为6和8，则矩形的四个顶点在以________为圆心，以________为半径的圆上.
5. 已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P是线段AB上一点，⊙C经过P点，且半径为r，则r的取值范围是________.
（三） 解答题（共5小题）
6. 已知：不在同一直线上的三点A，B，C（如图），求作一点P，使PA=PB=PC.
7. 如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OC，求∠A的度数.
8. 如图，AB，CD为⊙O的两条直径，E，F分别为OA，OB的中点，求证：四边形CEDF为平行四边形．
9. 由于过度砍伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭.近日，A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正向西北方向转移，如图所示，距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，则A市是否会受到这次沙尘暴的影响？
10. 复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：
“如图①，已知，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC中内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连结BQ、CP则BQ=CP．”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．之后，他将点P移到等腰三角形ABC外，原题中其它条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．
B组
（一）选择题（共5小题）
1．在以AB=10cm为直径的圆上，到点A的距离为5cm的点有（ ）个
A. 无数个 B.1个 C.2个 D.4个
2．将如图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（ ）
A．
B．
C．
D．
3. 如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与点M，N重合，当点P在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（ ）
A.变大 B.变小 C.不变 D.不能确定
第3题图 第4题图 第5题图
4. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A.35° B.40° C.50° D.65°
5. 在如图所示的4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（ ）
A. 点A B.点B C.点C D.点D
（二）填空题（共1小题）
6. 已知⊙O的半径为2，点P到圆心的距离为m，且关于x的方程有实数根，则点P与⊙O的位置关系是_________.
（三） 解答题（共4小题）
7. 已知直线l的解析式为y=x-2和点A（0，-2），B（-1，-3），试判断直线l上是否存在一点P，使P，A，B三点在同一个圆上？为什么？
8．如图，一个长度为8m的梯子AB，它的顶点A向点C滑动的过程中，梯子的两端A，B与墙的底端C构成的三角形的外心与点C的距离是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求出其长度.
9. 如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.
10．如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．
（1）如图1，当n=1时，求正三角形的边长a1；
（2）如图2，当n=2时，求正三角形的边长a2；
（3）如题图，求正三角形的边长an（用含n的代数式表示）
五、优化提高
1. 如图，已知直线l外的两个点A，B，且A，B在直线l的两旁，则经过A、B两点且圆心在直线l上的圆有（ ）
A．0个或1个
B．1个或无数个
C．0个或无数个
D．0个或1个或无数个
2. 如图，点A，D，G，M在半圆上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形.设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（ ）
A．a＞b＞c
B．a=b=c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
3. 若等腰直角三角形外接圆的半径为3，则这个三角形三边的长分别为_________.
4. 如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1，3）、B（-2，-2）、C（4，-2），则△ABC外接圆半径的长度为_______.
5. 如图，△ABC内接⊙O，根据下列条件分别求∠BOC和∠OBC的度数.（1）∠BAC=70°；（2）∠BAC=n°.
参考答案
一、课前检测
1. C
2. C 【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵CP、CM分别是AB上的高和中线，
∴AB•CP=AC•BC，AM=AB=2.5，
∴CP=，
∴AP=1.8，
∵AP=1.8＜2，AM=2.5＞2，
∴点P在圆A内、点M在圆A外.
3. B【解答】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，
∵OP=4，ON=2，
∴N是OP的中点，
∵M为PQ的中点，
∴MN为△POQ的中位线，
∴MN=OQ=×2=1，
∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，
当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，
∴线段OM的最小值为1．
4. B【解答】如图所示：只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是△ACF．
5. A【解答】观察发现，只有是中心对称图形，
∴旋转的牌是．
6.（1）点A在⊙C上 点B在⊙C外 点M在⊙C内 （2）＜r＜3
三、重点突破
重点一：圆
例1. B【解答】∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∵AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠DAB=30°.
例2. 3＜r＜5【解答】连结BD，在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，
则BD==5．
由图可知3＜r＜5．
例3. 【解答】如图，
连接OP，OQ，OM，ON．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=DA，且BD⊥AC．
∵M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴OP=OQ=OM=ON=AB，
∴M，N，P，Q四点在以O为圆心，AB为半径的圆上.
例4．【解答】连接OB，作OD⊥BC于D，如图所示：
则∠ODB=90°，∠OBD=∠ABC=30°，BD=CD=BC=1，
∴OD=BD=，
∴OB=2OD=，
即⊙O的半径为.
例5．【分析】作AB的垂直平分线与圆相交于两点，分别与A、B连接即可，再分别以A、B为圆心，以AB长为半径画弧，与圆相交，然后顺次连接即可．
【解答】如图所示，△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4都是等腰三角形．
重点二：图形的旋转
例1. 105°【解答】连接OQ，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠B=45°，
由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，
∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，
∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，
∴∠OQC=45°，
∵BO：OA=1：，
设BO=1，OA=，
∴AQ=1，则tan∠AQO=，
∴∠AQO=60°，
∴∠AQC=105°．
例2. 42【解答】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，
∴BD=BC=12cm，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=CD=12cm，
在Rt△ACB中，AB==13，
△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm）
例3．【解答】过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，
延长DM到G，使MG=CE，连接BG，
易知四边形BCDM是正方形，
则△BEC与△BGM中，BC＝BM，∠C＝∠BMG＝90°，EC＝GM，
∴△BEC≌△BMG（SAS），
∴∠MBG=∠CBE，BE=BG，
∵∠ABE=45°，
∴∠CBE+∠ABM=∠MBG+∠ABM=45°，
即∠ABE=∠ABG=45°，
在△ABE与△ABG中，BE＝BG，∠ABE＝∠ABG，AB＝AB，
∴△ABE≌△ABG（SAS），
∴AG=AE=10，
设CE=x，则AM=10-x，
AD=12-（10-x）=2+x，DE=12-x，
在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，
∴100=（x+2）2+（12-x）2，
即x2-10x+24=0；
解得：x1=4，x2=6．
故CE的长为4或6.
例4．【解答】把Rt△DEA以绕D按逆时针旋转90°，如图．
∵旋转不改变图形的形状和大小，
∴A与C重合，∠A=∠DCE′，∠E′=∠AED=90°．
在四边形ABCD中，∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠A+∠DCB=180°；，
∴∠DCE′+∠DCB=180°，
即点B、C、E′在同一直线上；
∵∠DEB=∠E′=∠B=90°，
∴四边形DEBE′是矩形，
∴S矩形DEBE′=DE×BE=5×5=25，
∵S矩形DEBE′=S四边形DEBC+S△DCE，
∵S四边形ABCD=S四边形DEBC+S△ADE=S四边形DEBC+S△DCE，
∴S四边形ABCD=S矩形DEBE=25．
故四边形ABCD的面积为25.
例5.【解答】（1）完成图形，
（2）连接EF，
由旋转可知，AF=AD，CF=BD，∠DAF=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠FAE=45°，
在△DAE和△FAE中，AF＝AD，∠DAE＝∠FAE＝45°，AE＝AE，
∴△DAE≌△FAE（SAS），
∴EF=DE，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，
∴EF2=EC2+FC2，
∴DE2=EC2+BD2；
（3）将△ADN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：
由旋转得：∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE=∠D=90°，
∴E，B，M三点共线，
∵BM+DN=MN，
∴ME=MN，
在△AEM和△ANM中，AN＝AE，EM＝MN，AM＝AM，
∴△AEM≌△ANM（SSS），
∴∠MAE=∠MAN=45°．
四、经典练习
A组
1. B【解答】A、把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理，正确；
B、木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原理，故错误；
C、将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，正确；
D、将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理，正确.
2. A【解答】由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，
∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；
当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；
当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．
由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．
3. B【解答】在中心的直角三角形的角为360°÷3÷2=60°，
∴正三角形的边长的一半为：×sin60°=×=，
那么正三角形的边长为3．
4. 对角线的交点 5
5. 2.4≤r≤4
6. 【分析】作出△ABC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边AB、BC的垂直平分线相交于点P.
7.【解答】连接OB，如图，
∵AB=OC，∴AB=BO，
∴∠BOC=∠A，
∴∠EBO=∠BOC+∠A=2∠A，
而OB=OE，得∠E=∠EBO=2∠A，
∴∠EOD=∠E+∠A=3∠A，
而∠EOD=84°，∴3∠A=84°，∴∠A=28°．
8.【解答】证明：∵AB，CD为⊙O的两条直径，
∴OA=OB=OC=OD，
∵E，F分别为OA，OB的中点，
∴OE=OA，OF=OB，∴OE=OF，
∴四边形CEDF为平行四边形
9.【解答】过A作AC⊥BD于C，由题意得AB=400km，
∠DBA=45°，所以AC=BC．
在Rt△ABC中，设AC=BC=x．
由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，所以x2+x2=4002，
所以AC=x=≈282.8（km）．
282.8km＜300km．
所以A市将受到这次沙尘暴的影响.
10. 【解答】证明：∵∠QAP=∠BAC
∴∠QAP+∠PAB=∠PAB+∠BAC
即∠QAB=∠PAC
在△ABQ和△ACP中，AQ＝AP，∠QAB＝∠PAC，AB＝AC，
∴△ABQ≌△ACP（SAS），
∴BQ=CP.
B组
1. C【解答】如图所示：到点A的距离为5cm的点有2个．
2. C
3. C【解答】∵直角△PAB中，AB2=PA2+PB2，
又∵矩形PAOB中，OP=AB，
∴PA2+PB2=AB2=OP2．
4. C【解答】∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°．
5. B【解答】∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，
∴连接PP1、NN1、MM1，
作PP1的垂直平分线过B、D、C，
作NN1的垂直平分线过B、A，
作MM1的垂直平分线过B，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转中心是B．
6. 点P在⊙O上或⊙O内
【解答】∵关于x的方程有实数根，
∴△=（）2-4×2×（m-1）≥0，解得m≤2，
即OP≤2，
∵⊙O的半径为2，
∴点P在⊙O上或⊙O内．
7.【解答】直线l上不存在一点P，使P，A，B三点在同一个圆上．理由如下：
∵对于直线y=x-2，
当x=0时，y=-2；当x=-1时，y=-3；
∴A（0，-2），B（-1，-3）都在直线l上，
∵不在同一直线上的三个点确定一个圆，
∴直线l上不存在一点P，使P，A，B三点在同一个圆上．
8.【解答】不发生变化，
理由如下：
∵梯子的两端A，B与墙的底端C构成的三角形为直角三角形，
∴外心和与点C的距离始终为AB，
∴不发生变化，
其长度为×8=4m.
9.【解答】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，
∵OA′•OA=42，
而r=4，OA=8，
∴OA′=2，
∵OB′•OB=42，
∴OB′=4，即点B和B′重合，
∵∠BOA=60°，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=，
∴A′B′=4sin60°=.
10. 【解答】（1）设PQ与B1C1交于点D，连接B1O．
∵△PB1C1是等边三角形，
∴A1D=PB1•sin∠PB1C1=a1•sin60°=a1，
∴OD=A1D-OA1=a1-1，
在△OB1D中，OB12=B1D2+OD2，
∴OD=A1D-OA1=a1-1，
即12=（a1）2+（a1-1）2，
解得a1=；
（2）设PQ与B2C2交于点E，连接B2O．
∵△A2B2C2是等边三角形，
∴A2E=A2B2•sin∠A2B2C2=a2•sin60°=a2，
∵△PB1C1是与△A2B2C2边长相等的正三角形，
∴PA2=A2E=a2，OE=A1E-OA1=a2-1，
在△OB2E中，OB22=B2E2+OE2，
即12=（a2）2+（a2-1）2，解得a2=；
（3）设PQ与BnCn交于点F，连接BnO，
得出OF=A1F-OA1=nan-1，
同理，在△OBnF中，OBn2=BnF2+OF2，
即12=（an）2+（nan-1）2，
解得an=．
五、优化提高
1. D【解答】分三种情况：
①当AB与直线l相交时，线段AB的垂直平分线与直线l的交点有且只有1个，此交点即为圆心，
所以经过A、B两点且圆心在直线l上的圆有1个；
②当AB⊥l，且A、B两点到直线l的距离不相等时，线段AB的垂直平分线与直线l平行，
所以经过A、B两点且圆心在直线l上的圆有0个；
③当A、B两点关于直线l对称时，线段AB的垂直平分线与直线l重合，
所以经过A、B两点且圆心在直线l上的圆有无数个．
2. B【解答】连接OA、OD、OM，如图所示：
则OA=OD=OM，
∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，
∴OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，
∴a=b=c；
3. ，，6
【解答】∵直角三角形的斜边等于外接圆的直径，
而直角三角形外接圆的半径为3，
∴直角三角形的斜边为6，
∵三角形为等腰直角三角形，
∴两直角边都为×6=，
∴这个三角形三边的长分别为，，6．
4. 【解答】设△ABC的外心为M；
∵B（-2，-2），C（4，-2），
∴M必在直线x=1上，
由图知：AC的垂直平分线过（1，0），故M（1，0）；
过M作MD⊥BC于D，连接MB，
Rt△MBD中，MD=2，BD=3，
由勾股定理得：MB=，
即△ABC的外接圆半径为．
5.（1）∠BOC=140°，∠OBC=20°；（2）∠BOC=2n°，∠OBC=（90-n）°
第6讲、圆与图形的旋转
一、课前检测
（一）选择题（共5小题）
1. 有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆.
其中正确的是（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CP，CM分别是AB上的高和中线.如果圆A是以点A为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A.点P，M均在圆A内
B.点P、M均在圆A外
C.点P在圆A内，点M在圆A外
D.点P在圆A外，点M在圆A内
3. 如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
第3题图 第4题图
4. 如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABE
B．△ACF
C．△ABD
D．△ADE
5． 已知如图①所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图②，则旋转的牌是（ ）
A．
B．
C．
D．
（二）解答题（共1小题）
6． 如图所示，已知△ABC中，∠BCA=90°，AC=2，BC=3，M为AB的中点.
（1） 以C为圆心，2为半径作⊙C，则点A，B，M与⊙C的位置关系如何？
（2）若以C为圆心，作⊙C，使A，B，M三点至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C，则⊙C的半径r的取值范围是什么？
二、考点梳理
考点一：1.在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线路叫做圆，定点O叫做圆心，线段OP叫做圆的半径.连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
2. 如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有d＞r↔点P在圆外；d=r↔点P在圆上；d＜r↔点P在圆内.
3. 圆上各点到圆心的距离都等于半径.
考点二：1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
2. 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点.
3. 经过一点的圆有无数个，经过两点的圆有无数个.
4. 若平面上A，B，C三点能够确定一个圆，那么A，B，C三点所满足的条件是三点不共线.
考点三：1.一般地，一个图形变为另一个图形，在运动过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的点叫做旋转中心.
2. 图形旋转的性质：
（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等.不改变图形形状和大小.
（2）对应点到旋转中心的距离相等.
（3）当图形旋转的角度为180°时，所得的图形和原图形关于旋转中心成中心对称.
3.旋转作图的步骤：
（1）确定旋转中心、旋转方向及旋转角度；
（2）找出表示图形的关键点；
（3）将图形的关键点与旋转中心连结起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一定角度（等于旋转角），得到关键点的对应点；
（4）按原图形顺次连结这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形.
重要提示：
1. 决定旋转的元素是旋转中心、方向和角度.
2.任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角并且相等.
三、重点突破
重点一：圆
例1．如图，AB是⊙O的直径，D，C两点在⊙O上，AD∥OC，∠DAB=60°，连结AC，则∠DAC等于（ ）
A. 15° B.30° C.45° D.60°
（点拨：∠DAC=∠CAB）
例1图 例2图
例2．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是_________.
（点拨：根据点到圆心的距离与半径的大小关系来进行判断）
例3. 已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，求证：菱形ABCD各边中点M，N，P，Q在以O为圆心的同一个圆上.
(点拨：把问题转化为证明这几个点到某一个定点（圆心）的距离相等)
例4. 如图，△ABC是等边三角形，且边长为2，求△ABC的外接圆⊙O的半径r.
（点拨：构造直角三角形，利用勾股定理）
例5．如图，已知圆上两点A，B，用直尺和圆规求作以AB为一边的圆的内接等腰三角形，这样的三角形能作几个？
（点拨：需要注意分AB是底边与腰两种情况作图）
重点二:图形的旋转
例1．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC=________.
（点拨：图形旋转的性质）
例1图 例2图
例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm.
(点拨：由旋转得到相等的边).
例3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10．求CE的长度.
例4．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠B=90°，DE⊥AB，垂足为E，且DE=EB=5，请用旋转图形的方法求四边形ABCD的面积．
（点拨：根据旋转的性质将四边形ABCD变形为正方形DEBE′）
例5．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E是BC边上的任意两点，且∠DAE=45°．
（1）将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，请在图（1）中画出△ACF．
（2）在（1）中，连接EF，探究线段BD，EC和DE之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
（3）如图2，M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BM+DN=MN，试求∠MAN的大小．
四、经典练习
A组
（一）选择题（共3小题）
1. 对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ）
A.把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B.木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C.将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D.将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
2. 在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.则下列说法中，不正确的是（ ）
A. 当a＜5时，点B在⊙A内 B.当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C.当a＜1时，点B在⊙A外 D.当a＞5时，点B在⊙A外
3. 已知正三角形外接圆半径为，则这个正三角形的边长是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
(二) 填空题（共2小题）
4. 已知矩形的两边长分别为6和8，则矩形的四个顶点在以________为圆心，以________为半径的圆上.
5. 已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P是线段AB上一点，⊙C经过P点，且半径为r，则r的取值范围是________.
（三） 解答题（共5小题）
6. 已知：不在同一直线上的三点A，B，C（如图），求作一点P，使PA=PB=PC.
7. 如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OC，求∠A的度数.
8. 如图，AB，CD为⊙O的两条直径，E，F分别为OA，OB的中点，求证：四边形CEDF为平行四边形．
9. 由于过度砍伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭.近日，A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正向西北方向转移，如图所示，距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，则A市是否会受到这次沙尘暴的影响？
10. 复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：
“如图①，已知，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC中内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连结BQ、CP则BQ=CP．”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．之后，他将点P移到等腰三角形ABC外，原题中其它条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．
B组
（一）选择题（共5小题）
1．在以AB=10cm为直径的圆上，到点A的距离为5cm的点有（ ）个
A. 无数个 B.1个 C.2个 D.4个
2．将如图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（ ）
A．
B．
C．
D．
3. 如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与点M，N重合，当点P在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（ ）
A.变大 B.变小 C.不变 D.不能确定
第3题图 第4题图 第5题图
4. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A.35° B.40° C.50° D.65°
5. 在如图所示的4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（ ）
A. 点A B.点B C.点C D.点D
（二）填空题（共1小题）
6. 已知⊙O的半径为2，点P到圆心的距离为m，且关于x的方程有实数根，则点P与⊙O的位置关系是_________.
（三） 解答题（共4小题）
7. 已知直线l的解析式为y=x-2和点A（0，-2），B（-1，-3），试判断直线l上是否存在一点P，使P，A，B三点在同一个圆上？为什么？
8．如图，一个长度为8m的梯子AB，它的顶点A向点C滑动的过程中，梯子的两端A，B与墙的底端C构成的三角形的外心与点C的距离是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求出其长度.
9. 如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.
10．如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．
（1）如图1，当n=1时，求正三角形的边长a1；
（2）如图2，当n=2时，求正三角形的边长a2；
（3）如题图，求正三角形的边长an（用含n的代数式表示）
五、优化提高
1. 如图，已知直线l外的两个点A，B，且A，B在直线l的两旁，则经过A、B两点且圆心在直线l上的圆有（ ）
A．0个或1个
B．1个或无数个
C．0个或无数个
D．0个或1个或无数个
2. 如图，点A，D，G，M在半圆上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形.设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（ ）
A．a＞b＞c
B．a=b=c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
3. 若等腰直角三角形外接圆的半径为3，则这个三角形三边的长分别为_________.
4. 如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1，3）、B（-2，-2）、C（4，-2），则△ABC外接圆半径的长度为_______.
5. 如图，△ABC内接⊙O，根据下列条件分别求∠BOC和∠OBC的度数.（1）∠BAC=70°；（2）∠BAC=n°.
参考答案
一、课前检测
1. C
2. C 【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵CP、CM分别是AB上的高和中线，
∴AB•CP=AC•BC，AM=AB=2.5，
∴CP=，
∴AP=1.8，
∵AP=1.8＜2，AM=2.5＞2，
∴点P在圆A内、点M在圆A外.
3. B【解答】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，
∵OP=4，ON=2，
∴N是OP的中点，
∵M为PQ的中点，
∴MN为△POQ的中位线，
∴MN=OQ=×2=1，
∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，
当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，
∴线段OM的最小值为1．
4. B【解答】如图所示：只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是△ACF．
5. A【解答】观察发现，只有是中心对称图形，
∴旋转的牌是．
6.（1）点A在⊙C上 点B在⊙C外 点M在⊙C内 （2）＜r＜3
三、重点突破
重点一：圆
例1. B【解答】∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∵AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠DAB=30°.
例2. 3＜r＜5【解答】连结BD，在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，
则BD==5．
由图可知3＜r＜5．
例3. 【解答】如图，
连接OP，OQ，OM，ON．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=DA，且BD⊥AC．
∵M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴OP=OQ=OM=ON=AB，
∴M，N，P，Q四点在以O为圆心，AB为半径的圆上.
例4．【解答】连接OB，作OD⊥BC于D，如图所示：
则∠ODB=90°，∠OBD=∠ABC=30°，BD=CD=BC=1，
∴OD=BD=，
∴OB=2OD=，
即⊙O的半径为.
例5．【分析】作AB的垂直平分线与圆相交于两点，分别与A、B连接即可，再分别以A、B为圆心，以AB长为半径画弧，与圆相交，然后顺次连接即可．
【解答】如图所示，△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4都是等腰三角形．
重点二：图形的旋转
例1. 105°【解答】连接OQ，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠B=45°，
由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，
∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，
∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，
∴∠OQC=45°，
∵BO：OA=1：，
设BO=1，OA=，
∴AQ=1，则tan∠AQO=，
∴∠AQO=60°，
∴∠AQC=105°．
例2. 42【解答】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，
∴BD=BC=12cm，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=CD=12cm，
在Rt△ACB中，AB==13，
△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm）
例3．【解答】过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，
延长DM到G，使MG=CE，连接BG，
易知四边形BCDM是正方形，
则△BEC与△BGM中，BC＝BM，∠C＝∠BMG＝90°，EC＝GM，
∴△BEC≌△BMG（SAS），
∴∠MBG=∠CBE，BE=BG，
∵∠ABE=45°，
∴∠CBE+∠ABM=∠MBG+∠ABM=45°，
即∠ABE=∠ABG=45°，
在△ABE与△ABG中，BE＝BG，∠ABE＝∠ABG，AB＝AB，
∴△ABE≌△ABG（SAS），
∴AG=AE=10，
设CE=x，则AM=10-x，
AD=12-（10-x）=2+x，DE=12-x，
在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，
∴100=（x+2）2+（12-x）2，
即x2-10x+24=0；
解得：x1=4，x2=6．
故CE的长为4或6.
例4．【解答】把Rt△DEA以绕D按逆时针旋转90°，如图．
∵旋转不改变图形的形状和大小，
∴A与C重合，∠A=∠DCE′，∠E′=∠AED=90°．
在四边形ABCD中，∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠A+∠DCB=180°；，
∴∠DCE′+∠DCB=180°，
即点B、C、E′在同一直线上；
∵∠DEB=∠E′=∠B=90°，
∴四边形DEBE′是矩形，
∴S矩形DEBE′=DE×BE=5×5=25，
∵S矩形DEBE′=S四边形DEBC+S△DCE，
∵S四边形ABCD=S四边形DEBC+S△ADE=S四边形DEBC+S△DCE，
∴S四边形ABCD=S矩形DEBE=25．
故四边形ABCD的面积为25.
例5.【解答】（1）完成图形，
（2）连接EF，
由旋转可知，AF=AD，CF=BD，∠DAF=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠FAE=45°，
在△DAE和△FAE中，AF＝AD，∠DAE＝∠FAE＝45°，AE＝AE，
∴△DAE≌△FAE（SAS），
∴EF=DE，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，
∴EF2=EC2+FC2，
∴DE2=EC2+BD2；
（3）将△ADN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：
由旋转得：∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE=∠D=90°，
∴E，B，M三点共线，
∵BM+DN=MN，
∴ME=MN，
在△AEM和△ANM中，AN＝AE，EM＝MN，AM＝AM，
∴△AEM≌△ANM（SSS），
∴∠MAE=∠MAN=45°．
四、经典练习
A组
1. B【解答】A、把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理，正确；
B、木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原理，故错误；
C、将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，正确；
D、将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理，正确.
2. A【解答】由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，
∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；
当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；
当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．
由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．
3. B【解答】在中心的直角三角形的角为360°÷3÷2=60°，
∴正三角形的边长的一半为：×sin60°=×=，
那么正三角形的边长为3．
4. 对角线的交点 5
5. 2.4≤r≤4
6. 【分析】作出△ABC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边AB、BC的垂直平分线相交于点P.
7.【解答】连接OB，如图，
∵AB=OC，∴AB=BO，
∴∠BOC=∠A，
∴∠EBO=∠BOC+∠A=2∠A，
而OB=OE，得∠E=∠EBO=2∠A，
∴∠EOD=∠E+∠A=3∠A，
而∠EOD=84°，∴3∠A=84°，∴∠A=28°．
8.【解答】证明：∵AB，CD为⊙O的两条直径，
∴OA=OB=OC=OD，
∵E，F分别为OA，OB的中点，
∴OE=OA，OF=OB，∴OE=OF，
∴四边形CEDF为平行四边形
9.【解答】过A作AC⊥BD于C，由题意得AB=400km，
∠DBA=45°，所以AC=BC．
在Rt△ABC中，设AC=BC=x．
由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，所以x2+x2=4002，
所以AC=x=≈282.8（km）．
282.8km＜300km．
所以A市将受到这次沙尘暴的影响.
10. 【解答】证明：∵∠QAP=∠BAC
∴∠QAP+∠PAB=∠PAB+∠BAC
即∠QAB=∠PAC
在△ABQ和△ACP中，AQ＝AP，∠QAB＝∠PAC，AB＝AC，
∴△ABQ≌△ACP（SAS），
∴BQ=CP.
B组
1. C【解答】如图所示：到点A的距离为5cm的点有2个．
2. C
3. C【解答】∵直角△PAB中，AB2=PA2+PB2，
又∵矩形PAOB中，OP=AB，
∴PA2+PB2=AB2=OP2．
4. C【解答】∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°．
5. B【解答】∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，
∴连接PP1、NN1、MM1，
作PP1的垂直平分线过B、D、C，
作NN1的垂直平分线过B、A，
作MM1的垂直平分线过B，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转中心是B．
6. 点P在⊙O上或⊙O内
【解答】∵关于x的方程有实数根，
∴△=（）2-4×2×（m-1）≥0，解得m≤2，
即OP≤2，
∵⊙O的半径为2，
∴点P在⊙O上或⊙O内．
7.【解答】直线l上不存在一点P，使P，A，B三点在同一个圆上．理由如下：
∵对于直线y=x-2，
当x=0时，y=-2；当x=-1时，y=-3；
∴A（0，-2），B（-1，-3）都在直线l上，
∵不在同一直线上的三个点确定一个圆，
∴直线l上不存在一点P，使P，A，B三点在同一个圆上．
8.【解答】不发生变化，
理由如下：
∵梯子的两端A，B与墙的底端C构成的三角形为直角三角形，
∴外心和与点C的距离始终为AB，
∴不发生变化，
其长度为×8=4m.
9.【解答】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，
∵OA′•OA=42，
而r=4，OA=8，
∴OA′=2，
∵OB′•OB=42，
∴OB′=4，即点B和B′重合，
∵∠BOA=60°，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=，
∴A′B′=4sin60°=.
10. 【解答】（1）设PQ与B1C1交于点D，连接B1O．
∵△PB1C1是等边三角形，
∴A1D=PB1•sin∠PB1C1=a1•sin60°=a1，
∴OD=A1D-OA1=a1-1，
在△OB1D中，OB12=B1D2+OD2，
∴OD=A1D-OA1=a1-1，
即12=（a1）2+（a1-1）2，
解得a1=；
（2）设PQ与B2C2交于点E，连接B2O．
∵△A2B2C2是等边三角形，
∴A2E=A2B2•sin∠A2B2C2=a2•sin60°=a2，
∵△PB1C1是与△A2B2C2边长相等的正三角形，
∴PA2=A2E=a2，OE=A1E-OA1=a2-1，
在△OB2E中，OB22=B2E2+OE2，
即12=（a2）2+（a2-1）2，解得a2=；
（3）设PQ与BnCn交于点F，连接BnO，
得出OF=A1F-OA1=nan-1，
同理，在△OBnF中，OBn2=BnF2+OF2，
即12=（an）2+（nan-1）2，
解得an=．
五、优化提高
1. D【解答】分三种情况：
①当AB与直线l相交时，线段AB的垂直平分线与直线l的交点有且只有1个，此交点即为圆心，
所以经过A、B两点且圆心在直线l上的圆有1个；
②当AB⊥l，且A、B两点到直线l的距离不相等时，线段AB的垂直平分线与直线l平行，
所以经过A、B两点且圆心在直线l上的圆有0个；
③当A、B两点关于直线l对称时，线段AB的垂直平分线与直线l重合，
所以经过A、B两点且圆心在直线l上的圆有无数个．
2. B【解答】连接OA、OD、OM，如图所示：
则OA=OD=OM，
∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，
∴OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，
∴a=b=c；
3. ，，6
【解答】∵直角三角形的斜边等于外接圆的直径，
而直角三角形外接圆的半径为3，
∴直角三角形的斜边为6，
∵三角形为等腰直角三角形，
∴两直角边都为×6=，
∴这个三角形三边的长分别为，，6．
4. 【解答】设△ABC的外心为M；
∵B（-2，-2），C（4，-2），
∴M必在直线x=1上，
由图知：AC的垂直平分线过（1，0），故M（1，0）；
过M作MD⊥BC于D，连接MB，
Rt△MBD中，MD=2，BD=3，
由勾股定理得：MB=，
即△ABC的外接圆半径为．
5.（1）∠BOC=140°，∠OBC=20°；（2）∠BOC=2n°，∠OBC=（90-n）°
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