浙教版第3章 圆的基本性质3.3 垂径定理精品课时作业

这是一份浙教版第3章 圆的基本性质3.3 垂径定理精品课时作业，共21页。试卷主要包含了课前检测，考点梳理，重点突破，经典练习，优化提高等内容，欢迎下载使用。

第7讲、垂径定理
一、课前检测
（一）选择题（共2小题）
1. 如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2

第1题 第2题
2. 如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，过点O作AC的垂线，交AC于点D.若AB=16，AC=12，则△OBD的面积为（ ）
A. B. C.15 D.30
（二）填空题（共1小题）
3. 已知⊙O的半径为2，弦BC=，A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为________.
（三）解答题（共3小题）
4．某居民区一处圆形水管破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部差距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？


5．如图，⊙O的直径AB和弦CD交于点E，已知AE=8，EB=2，∠CEA=30°，求CD的长.


6. 如图，已知⊙O的弦AB的长为半径OA的倍，C是弧AB的中点，AB，OC交于点P，求证：四边形OACB是菱形.






二、考点梳理
考点一：圆是轴对称图形，每条直径所在的直线都是对称轴，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
考点二：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
三、重点突破
例1．如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（ ）cm
A. B.9 C. D.

例1图 例2图 例3图
例2. 如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径为OC⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是_______cm.
(点拨：作辅助线构造直角三角形)
例3．如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，-4），N（0，-10），函数（x＜0）的图象过点P，则k的值为________.
例4. 如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径r=8，小圆的半径r=6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长．
（点拨：利用勾股定理）



例5．已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O的半径等于6cm，点O到BC的距离为2cm，求AB的长.
（点拨：以圆心与弦的位置关系来确定图形的分类）







例6．如图，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O半径为4cm，MN= cm，OH⊥MN，垂足是点H．
（1）求OH的长度；
（2）求∠ACM的度数.
（点拨：将∠ACM的度数转化到△MOD中∠OMD的度数来求）




例7．如图，在一直径为8米的圆形戏水池中搭有两座浮桥AB，CD.已知C是弧AB的中点，浮桥CD的长为m．设AB，CD交于点P，试求∠APC的度数.
（点拨：将问题转化为求∠OCP）



例8．某公园的圆弧形门的示意图如图所示，已知这个圆弧形门所在的圆的半径为1.5米，圆上A，B两点到水平地面的距离AC=BD=0.4m，AB=1.8m，求圆弧形门的最高点离地面的高度.
（点拨：将问题转化为求圆的半径）






例9．如图，一拱形桥所在弧的水上部分所对的圆心角为120°，半径为5m.一艘6m宽的船装载着一集装箱，已知箱顶宽3.2m，离水面AB高2m，问：此船能过桥洞吗？请说明理由.



例10．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为多少？
(点拨：当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值)




四、经典练习
A组
（一）选择题（共4小题）
1. 下列命题错误的是（ ）
A. 平分弧的直径平分这条弧所对的弦
B.平分弦的直径平分这条弦所对的弧
C.垂直于弦的直径平分这条弦
D.弦的中垂线经过圆心
2. 已知点P是⊙O内一点，⊙O的半径为5，OP=3，在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
3. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若AB=20，CD=16，则线段OE的长为（ ）
A.10 B.8 C.6 D.4

第3题图 第4题图 第6题图
4. 如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（　）
A.2 B. C. D.
(二) 填空题（共4小题）
5. 已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为_________．
6. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，C是弧AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是_______m.
（三） 解答题（共2小题）
7. 如图，⊙O的直径AB平分弦CD，CD=10cm，AP：PB=1:5.求⊙O的半径.





8. 如图，已知等腰三角形ABC的底边BC=10cm，顶角为120°，求它的外接圆的直径.





9. 如图所示，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，以C为圆心，CA为半径的圆交斜边于点D，求AD的长.


10. 如图所示，D、E分别是弧AB、弧AC的中点，DE交AB于M、交AC于N．求证：AM=AN.




B组
（一）选择题（共4小题）
1．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

第1题 第2题 第3题 第4题
2． 如图所示，在圆O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为（ ）
A.19 B.16 C.18 D.20
3. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，CE⊥CD，垂足为点C，且交AB于点E，DF⊥CD，垂足为点D，且交AB于点F，则（ ）
A.AE=BF B.AE＞BF C.AE＜BF D.不能确定
4. 如图，在⊙O中，AB，AC是相互垂直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，且AB=8cm，AC=6cm，那么⊙O的半径OA长为（　　）cm.
A.4 B.5 C.6 D.8
（二）填空题（共4小题）
5. 从圆上一点作互相垂直的两条弦，若它们与圆心的距离分别为6cm和10cm，则两条弦的长分别为__________.

6. 如图，AB、AC是⊙O的弦，OE⊥AB、OF⊥AC，垂足分别为E、F．如果EF=3.5，那么BC=________.

第6题 第7题 第8题
7．如图，AB是半圆⊙O的直径，点E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D．已知BC=8cm，DE=2cm，则AB的长为_______cm.
8. 如图，矩形ABCD与⊙O交于点A，B，F，E，DE=1cm，EF=3cm，则AB=_______cm.
（三）解答题（共2小题）
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，作OE⊥AC于E，OD⊥AB于D，连结DE，你认为DE与BC有什么关系？请说明理由.




10．如图，两条公路EF和PQ在点O处交汇，∠QOF=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=220m，如果公路上的汽车行驶时，周围200米以内会受噪音影响，那么一汽车在公路EF上沿OF的方向行驶时，居民楼是否会受影响？如果这辆汽车的速度是每小时72千米，居民楼受影响的时间约为多少秒？（≈1.732，精确到0.1秒）




五、优化提高
1. 将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水部分的面积是（　　）cm2
A. B.

C. D.
2. 课堂上，师生一起探究知识，可以用圆柱形管子的内径去测量球的半径.小明回家后把小皮球置于保温杯口上（内径AD的长为8cm），经过思考找到了测量方法，并画出了草图（如图）．请你根据图中的数据，帮助小明计算小皮球的半径.




3. 如图，AB是半圆O的直径，BC是弦，点P从点A开始，沿AB向点B以1cm/s的速度移动，若AB长为10cm，点O到BC的距离为4cm．
（1）求弦BC的长；
（2）问经过几秒后△BPC是等腰三角形？





4. 如图，已知AB、CD是⊙O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且∠AMN=∠CNM.求证：弧AB=弧CD.








5. 如图，在半径为3的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=2时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的范围.







参考答案
一、课前检测
1. C【解答】根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，
此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，
连接OA，AM=AB=4，
由勾股定理知，OM=3．
2. A
3. 1或3【解答】如图所示：
∵⊙O的半径为2，弦BC=，点A是⊙O上一点，且AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴BD=BC=，
在Rt△OBD中，
∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，
解得OD=1，
∴当如图1所示时，AD=OA-OD=2-1=1；
当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．
4.【解答】如图，过O作OC⊥AB于C，连接AO，
∴AC=AB=×60=30，
CO=AO-10，
在Rt△AOC中，AO2=AC2+OC2，
AO2=302+（AO-10）2解得AO=50cm．
∴内径为2×50=100cm．
5. 【解答】∵AE=8cm，EB=2cm，
∴OA=（8cm+2cm）÷2=5cm，
∴OE=5cm-2cm=3cm，
过点O作OF⊥CD于F，可得∠OFE=90°，即△OEF为直角三角形，
∵∠CEA=30°，
∴OF=OE=cm，
连接OC，
在Rt△COF中，CD=2CF=2cm.
6.【解答】证明：∵C为弧AB的中点，OC为半径，
∴PA=PB，AB⊥OC，
∵AP=AB=AO，
∴OP=，
∴PC=OC，即OP=PC，
∴四边形OACB是平行四边形，
又∵AB⊥OC，
∴四边形OACB是菱形.
三、重点突破
例1. C【解答】连接OA、OB、OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°，
∵在Rt△ADO和Rt△BCO中
∵OA＝OB，AD＝BC，
∴Rt△ADO≌Rt△BCO，
∴OD=OC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，
设AD=acm，则OD=OC=DC=AD=acm，
在△AOD中，由勾股定理得：OA=OB=OE=cm，
∵小正方形EFCG的面积为16cm2，
∴EF=FC=4cm，
在△OFE中，由勾股定理得：()2=42+(a+4)2，
解得：a=-4（舍去），a=8，
=（cm）.

例2. 50【解答】如图，连接OA，
∵CD=10cm，AB=60cm，
∵CD⊥AB，
∴OC⊥AB，
∴AD=AB=30cm，
∴设半径为r，则OD=r-10，
根据题意得：r2=（r-10）2+302，
解得：r=50．
∴这个车轮的外圆半径长为50cm．


例3. 28【解答】过P作PQ⊥y轴，与y轴交于Q点，连接PM，则Q为MN的中点，
∵M（0，-4），N（0，-10），
∴OM=4，ON=10，
∴MN=10-4=6，
∴MQ=NQ=3，OQ=OM+MQ=4+3=7，
在Rt△PMQ中，PM=5，MQ=3，
根据勾股定理得：PQ==4，
∴P（-4，-7），
代入反比例函数（x＜0）得：k=-4×（-7）=28．
例4．【解答】（1）证明：作OE⊥AB，则AE=BE，CE=DE，
故BE-DE=AE-CE；
即AC=BD；

（2）解：连接OC，OA，
∵OE⊥AB且OE⊥CD，
∴OE=4，CE=DE，
∴DE=CE=，
AE=，
∴AC=AE-CE=.
例5.【解答】分两种情况：
（1）假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形，
∵AB=AC
∴点A是优弧BC的中点
∵OD⊥BC且AB=AC
根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连接BO
∵BO=6，OD=2
∴BD=，
在Rt△ADB中，AD=DO+AO=6+2=8
∴AB=cm；
（2）若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，
如图添加辅助线及求出BD=
在Rt△ADB中，AD=AO-DO=6-2=4
∴AB=cm．
综上所述AB=cm或cm. 


例6.【解答】连接MO交弦AB于点E，
（1）∵OH⊥MN，O是圆心，
∴MH=MN，
又∵MN=cm，
∴MH=cm，
在Rt△MOH中，OM=4cm，
∴OH=（cm）；
（2）∵M是弧AB的中点，MO是半径，
∴MO⊥AB           
∵在Rt△MOH中，OM=4cm，OH=2cm，
∴OH=MO，
∴∠OMH=30°，
∴在Rt△MEC中，∠ACM=90°-30°=60°．

例7.【解答】作OM⊥CD于点M，连接OC．
则CM=CD=×=，
在直角△OMC中，sinO=，
∴∠O=60°，
∵C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB．
∴在直角△OMC和直角△PNC中，∠C=∠C，∠OMC=∠PNC=90°，
∴∠APC=∠O=60°．
例8.【解答】过圆心点O作OF⊥CD，交AB于点E，交圆的上部于点M，
∵OE⊥AB，
∴AE==0.9m，
设圆O的半径为R，则OE=R-AC=R-0.4，
在Rt△OAE中，AE2+OE2=OA2，
即0.92+（R-0.4）2=R2，
解得：R=1.2125．
则圆弧形门的最高点离地面的高度=OM+OE+EF=1.2125+1.2125-0.4+0.4=2.425m
答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度为2.425m.





例9.【解答】能．
理由：如图所示，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥CD于点F，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOE=60°，
∴∠OAB=30°．
∵OA=5m，
∴OK=m，
∴OF=2+=m．
在Rt△OCF中，
∵OC=5m，OF=m，
∴CF=，
∴CD=2CF=＞3.2，
∴此船能过桥洞.

例10. 【解答】连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
∵AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，
∴BE=AB=4，CF=CD=3，
∴OE=，
OF=，
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在Rt△BCH中根据勾股定理得到BC=，即PA+PC的最小值为.
四、经典练习
A组
1. B
2. C【解答】如图，过P作弦AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA；
Rt△OAP中，OP=3，OA=5；
根据勾股定理，得AP=4；
∴AB=2AP=8；
故过点P的弦的长度都在8～10之间；
因此弦长为8、9、10；
当弦长为8、10时，过P点的弦分别为弦AB和过P点的直径，分别有一条；
当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；
故弦长为整数的弦共有4条．

3. C【解答】因为20÷2=10，所以CO=10，
又因为CD=16，弦CD⊥AB，
所以CE=16÷2=8
102-82=36
所以OE=6
4. C【解答】作OD⊥AB于D，连接OA．
∵OD⊥AB，OA=2，
∴OD=OA=1，
在Rt△OAD中
AD=，
∴AB=2AD=.

5. 2cm或14cm【解答】①当弦MN和EF在圆心同侧时，如图1，
∵MN=12cm，EF=16cm，
∴CE=8cm，CF=6cm，
∵OE=OM=10cm，
∴CO=6cm，OD=8cm，
∴EF=OF-OE=2cm；
②当弦MN和EF在圆心异侧时，如图2，
∵MN=12cm，EF=16cm，
∴CE=8cm，CF=6cm，
∵OE=OM=10cm，
∴CO=6cm，OD=8cm，
∴EF=OF+OE=14cm；
故答案为：2cm或14cm.

6. 250【解答】设半径为r，
则OD=r-CD=r-50，
∵OC⊥AB，
∴AD=BD=AB，
在直角三角形AOD中，AO2=AD2+OD2，
即r2=（×300）2+（r-50）2=22500+r2+2500-100r，
r=250m．
答：这段弯路的半径是250m.
7.【解答】连接CO，设圆的半径为r，
∵直径AB平分弦CD，
∴AB垂直CD，
∵AP：PB=1：5，
∴设AP=k，PB=5k，则有AB=AP+PB=6k，
∴OA=3k，PO=OA-AP=3k-k=2k，
∴PO=OA=r，
∴r2=52+（r）2，
整理得：r2=45，解得：r=．
8.【解答】连接OA交BC于D，
∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，
∴∠AOC=∠BOA，
∵OB=OC，
∴BD=DC，OA⊥BC，
∴由垂径定理得：BD=DC=5cm，
∠OAC=∠BAC=×120°=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠DCO=90°-60°=30°
∴OC=2OD，
设OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a2+52=（2a）2，a=，
∴OC=2a=，
∴外接圆的直径=2OC=（cm）．
9.【解答】过C作CE⊥AB于E，
∵CE⊥AB，CE过圆心C，
∴AD=2AE．
∵△ABC中，∠C是直角，AC=5cm，BC=12cm，
∴由勾股定理得：AB=13cm，
由射影定理得：AC2=AE×AB，
∴AE=，
∴AD=2AE=cm.
10. 【解答】证明：连接DO，EO，∵D是弧AB中点，E是弧AC中点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC．
又∵∠EDO=∠DEO，
∴∠DMB=180°-∠EDO-90°，∠ENC=180°-90°-∠DEO．
∴∠DMB=∠ENC．
而∠AMN=∠DMB，∠ENC=∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM．
∴AM=AN.

B组
1. D【解答】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
∵⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，
∴BC=AB=4（cm），OB=5cm，
∴OC==3（cm），
∴3cm≤OP≤5cm，
∵OP的长是整数，
∴OP=3的点只有一个，OP=4的点有2个，OP=5的点有2个，
∴满足条件的点P有5个．
2. D【解答】延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；
∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；
∴△ADB为等边三角形；
∴BD=AD=AB=12；∴OD=4，
又∵∠ADB=60°，
∴DE=OD=2；∴BE=10；
∴BC=2BE=20.
3. A
4. B【解答】AB=8cm，AC=6cm，
∴AD=4，AE=3，
∵四边形OEAD是矩形，
∴OA=5．
5. 20cm，12cm
【解答】如图所示，
∵AB⊥BC，OM⊥AB，ON⊥BC，OM=10，ON=6，
∴四边形MBNO是矩形，
∴AB=2ON=12cm，BC=2OM=20cm．
6. 7【解答】∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴E为AB的中点，F为AC的中点，即EF为△ABC的中位线，
∴EF=BC，又EF=3.5，则BC=2EF=7．
7. 10【解答】∵E是弧BC的中点，∴OE⊥BC，
∴BD=BC=×8=4（cm），
设OB=xcm，则OD=OE-DE=（x-2）cm，
在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，
∴x2=（x-2）2+42，
解得：x=5，
∴OB=5cm，
∴AB=10cm．
8. 5【解答】∵DE=1，∴CF=1，
∵EF=3，∴DC=5，
∴AB=5.
9. DE平行且等于BC.
【解答】证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴AE=EC，AD=BD.
∴DE平行且等于BC.
10.【解答】过点A作AD⊥EF，
∵∠QOF=30°，AO=200米，
∴AD=AO•sin30°=200×=100米＜200米，
∴居民楼会受到影响；
连接AB，
∵OA=200米，AD⊥OB，
∴OB=2DO，
∵在Rt△AOD中，AO=200米，AD=100米，
∴OD=米，
∴OB=米，
∵这辆汽车的速度是每小时72千米=20米/秒，
∴17.3秒．
答：居民楼受影响的时间约为17.3秒.
五、优化提高
1. A 【解答】作OD⊥AB于C，交小⊙O于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
在RT△AOC中，sin∠OAC=，
∴∠OAC=30°，∴∠AOB=120°，AC=，
∴AB=，
∴杯底有水部分的面积=S扇形-S△AOBcm2.
2.【解答】连OD，设圆的半径为r，
∵EG=20-12=8，
∴OG=8-r，
∵AD=8，AD⊥EF，
∴GD=4，
∴DG2+OG2=DO2，
即42+（8-r）2=r2，解得：r=5，
答：小皮球的半径为5cm.
3.【解答】（1）作OD⊥BC于D，由垂径定理知，点D是BC的中点，BD=BC，
∵OB=AB=5，OD=4，
由勾股定理得，BD=3，
∴BC=2BD=6cm；
（2）设经过t秒后，△BPC是等腰三角形，
①当PC为底边时，有BP=BC，10-t=6，解得：t=4（秒）；
②当BC为底边时，有PC=PB，P点与O点重合，此时t=5（秒）；
③当PB为底边时，有PC=BC，连接AC，作CE⊥AB于E，
则BE=，AE=，
∵AB是直径，
∴△ABC是直角三角形，
根据勾股定理AC==8，
由AC2-AE2=BC2-BE2，
64-（）2=36-（）2，
解得：t=2.8（秒）．
综上，经过4秒或5秒或2.8秒时，△BPC是等腰三角形.
4.【解答】证明：连接OM，ON，OA，OC，
∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=AB，CN=CD，
∵∠AMN=∠CNM，
∴∠NMO=∠MNO，即OM=ON，
在Rt△AOM与Rt△CON中，
∵OM=ON，OA=OC，，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴AM=CN，∴AB=CD，
∴弧AB=弧CD.
5.【解答】（1）如图（1），
∵OD⊥BC，∴BD＝BC=×2=1．
∵∠BDO=90°，OB=3，BD=1，∴OD＝，
即线段OD的长为.
（2）存在，DE保持不变．
理由：连接AB，如图（2），
∵∠AOB=90°，OA=OB=3，
∴AB＝
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE=AB＝，
∴DE保持不变．               
（3）过D作DF⊥OE于F，连接OC，如图（3）．
∵∠BDO=90°，BD=x，OB=3，∴OD=，
∵OB=OC=OA，OD⊥BC，OE⊥AC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=∠AOB=45°，即∠DOE=45°．
在Rt△DFO中，
∵∠DOF=45°，OD=，
∴DF=OD•sin45°=，OF=OD•cos45°=，
在Rt△DEF中，∵DE=，DF=，
∴EF=，∴OE=OF+EF=，
∴y=DF•OE=（0＜x＜）.