九年级上册3.5 圆周角优秀课时练习

这是一份九年级上册3.5 圆周角优秀课时练习，共21页。试卷主要包含了课前检测，考点梳理，重点突破，经典练习，优化提高等内容，欢迎下载使用。

第8讲、圆心角与圆周角
一、课前检测
（一）选择题（共4小题）
1. 若和的度数相等，则下列命题中，正确的是（ ）
A.=
B.与的长度相等
C.所对的弦和所对的弦相等
D.所对的圆心角与所对的圆心角相等
2. 如图，点O是两个同心圆的圆心，大圆的半径OA，OB分别交小圆于点C，D.下列结论中正确的个数有（　　）
①∠OCD=∠OAB； ②AB=CD； ③=
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
3. 如图，A，D是⊙O上的两点，BC是直径.若∠D=35°，则∠OCA的度数是（　　）
A.35° B.55° C.65° D.70°

第3题 第4题
4. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4的大小关系是（ ）
A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3
B．∠4＜∠1=∠3＜∠2
C．∠4＜∠1＜∠3∠2
D．∠4＜∠1＜∠3=∠2




（二）填空题（共2小题）
5. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为______.

第5题 第6题
6. 如图，点A，B，C在⊙O上，延长CO交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为_______.
（三）解答题（共1小题）
7．如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断和是否相等，并说明理由.




二、考点梳理
考点一：圆心角
1. 顶点在圆心的角叫做圆心角.1°圆心角所对的弧叫做1°的弧，n°的圆心角所对的弧就是n°的弧.
2. 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
重要提示：在使用圆心角定理时，一定要注意“在同圆或等圆中”这一前提.
1.证明圆的两条弦相等时，常考虑证两条弦所对的圆心角相等，也考虑利用全等三角形、等角对等边、三线合一以及两条线段都等于第三条线段等方法来证.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.
考点二：圆周角
1. 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角.
2. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
3. 圆周角的两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交.
4. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等（都等于该弧所对的圆心角的一半）；相等的圆周角所对的弧也相等.
三、重点突破
重点一：圆心角
例1．已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为5cm，则弦AB所对的圆周角的度数是_______.
（点拨：根据题意画出图形，有两个角）
例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求的度数.
（点拨：连结CD）







例3. 如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，BE是⊙O的弦，且BE∥CD．求证：= .
(点拨：需推知∠AOC=∠COE即可)



例4. 如图所示，△ABC为等边三角形，BC为⊙O的直径，⊙O分别与AB、AC相交于D、E．
求证：（1）==.
（2）AD=DB，AE=EC.



例5．如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．求证：=.
（点拨：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等）


重点二：圆周角
例1．已知：如图，BC为⊙O的直径，BF为弦，A为的中点，AD⊥BC，垂足为D，AD和BF相交于点E，求证：AE=BE.
（点拨：垂径定理，直角三角形的性质以及弧、弦的关系）




例2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，C是优弧AB上的一点（点C不与点A，B重合）.设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当α=36°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明.






例3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°.以AB为直径的半圆分别交AC，BC于点E，D，求，及的度数.
（点拨：在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所夹弧所对的圆心角度数的一半）






例4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．
（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1=∠2.
(点拨：圆周角定理)







例5．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状；
（2）试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明你的结论.
(点拨：在PC上截取PD=AP)












四、经典练习
A组
（一）选择题（共3小题）
1. 已知，是同圆中的两段弧，且=2，则弦AB与CD的关系是（ ）
A.AB=2CD B.AB＜2CD C.AB＞2CD D.不能确定
2. 已知⊙O的半径为5，弦AB=6，P是AB上任意一点，点C是劣弧的中点，若△POC为直角三角形，则PB的长度（　　）
A.1 B.5 C.1或5 D.2或4
3. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为cm，则弦CD的长为（ ）
A.cm B.3cm
C.cm D.9cm

(二) 填空题（共4小题）
4. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠B=40°，点P在劣弧AC上移动（点P与点A、C不重合），则∠α的变化范围是________.

第4题 第5题
5. 如图，游乐园的大观览车半径为25米，已知观览车绕圆心O顺时针做匀速运动，旋转一周用12分钟，某人从观览车的最低处（地面A处）乘车，问经过4分钟后，此人距地面CD的高度是_________米（观览处最低处距地面的高度忽略不计）.
6. 如果一条弦将圆分成两段弧，它们的度数之比为3:1，那么此弦的弦心距的长度与与此弦的长度的比为_________.
7. 圆的一条弦把圆分成5:1两部分，如果圆的半径是2cm，那么这条弦的长是______cm.
（三）解答题（共3小题）
8. 如图，已知△ABC内接于⊙O，点A，B，C把⊙O三等分.
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求∠AOB的度数．


9. 如图，在⊙O中半径OA⊥OB，C，D是弧AB的两个三等分点，弦AB分别交OC，OD于E，F点．求证：AE=BF=CD．

10. 如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F是AC上的一点，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC.求证：
（1）CD⊥DF；
（2）BC=2CD．



B组
（一）选择题（共4小题）
1．如图，在菱形ABCD中，AC=AB，以顶点B为圆心，以AB长为半径画圆，延长DC交⊙B于点E，则的度数为（　　）
A.120° B.90° C.60° D.30°

第1题 第3题 第4题
2．若⊙O内的一条弦与直径相交成30°的角，并把直径分成2cm和6cm两段，则这条弦的弦心距为（ ）
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
3. 如图，AB为⊙O的直径，它把⊙O分成上下两个半圆，从上半圆的一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（ ）
A. 到CD的距离保持不变 B.位置不变
C.等分 D.随点C的移动而移动
4. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB≠AC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交⊙O于点D，E，且BD=CE，则∠A等于（　　）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
（二）填空题（共4小题）
5. 如图，用四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A，B，O是小正方形的顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB的度数为_______.

第5题 第6题
6. 如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC=130°，AD，CB的延长线相交于点P，则∠P的度数为________.

7. 如图，点A、B是⊙O上两点，AB=16，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF=________.

第7题 第8题
8. 如图，A、B、C、D为⊙O上四点，AB、DC交于E点，AD、BC交于点F．若∠E=36°，∠F=30°，则∠A的度数为________.
（三）解答题（共3小题）
9. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=2∠A，BM平分∠ABC交外接圆于点M，ME∥BC交AB于点E.试判断四边形EBCM的形状，并加以证明．

10．（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，求∠MON的度数．
（2）图②、③、…④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、…正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON；则图②中∠MON的度数是_______，图③中∠MON的度数是_______；…由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是_______．





五、优化提高
1. 如图，扇形OAB的圆心角为124°，C是弧上一点，则∠ACB=______.

2. 已知：点A（0，4），B（0，-6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，则点C坐标为________.
3. 已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是的中点.
（1）如图1，求证：OP∥BC；
（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．


4. 已知：如图，⊙O中的弦AB与弦CD交于点P，点M、N分别是AB、CD的中点，=，求证：△PMN是等腰三角形．


5. 我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧．则圆心角AOB的度数等于它所对的弧AB的度数记为：∠AOB=．由此可知：命题“圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半．”是真命题，请结合图1给予证明（不要求写己知、求证．只需直接证明），并解决以下的问题（1）和问题（2）．
问题（1）：如图2，⊙0的两条弦AB、CD相交于圆内一点P，求证：∠APC=（+）；
问题（2）：如图3，⊙0的两条弦AB、CD相交于圆外一点P．问题（1）中的结论是否成立？如果成立，给予证明；如果不成立，写出一个类似的结论（不要求证明）










参考答案
一、课前检测
1. D
2. B【解答】①∵OC=OD，OA=OB，
∴∠OCD=，∠OAB=，
∴∠OCD=∠OAB，故①正确；
②∵CD＜AB，故②错误；
③∵与不是等圆或同圆中的弧，
∴≠，故③错误．
3. B【解答】∵∠AOC=2∠D，∠D=35°，
∴∠AOC=2∠D=2×35°=70°，
在等腰△OAC中，∵OA=OC，∠AOC=70°，
∴∠OCA==55°.
4. B【解答】如图，利用圆周角定理可得：∠1=∠3=∠5=∠6，
根据三角形的外角的性质得：∠5＞∠4，∠2＞∠6，
∴∠4＜∠1=∠3＜∠2.
5. 50°【解答】连接CD，
∵∠A=25°，
∴∠B=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=50°，
∴的度数为50°．
6. 110°【解答】∵∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，
∴∠BDC=∠BOC-∠B=100°-30°=70°，
∴∠ADC=180°-∠BDC=110°.




7.【解答】=，
理由：连接AE．
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，
∴∠GAF=∠FAE，
∴=.
三、重点突破
重点一：圆心角
例1. 30°或150°
【解答】如图：在优弧AB上取点C，连接AC，BC，在劣弧上取点D，连接AD，BD，
∵⊙O的半径为5cm，弦AB的长为5cm，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=∠AOB=30°，
∴∠D=180°-∠C=150°．
∴弦AB所对的圆周角的度数是：30°或150°．
例2. 52°【解答】连结CD，如图，
∵∠C=90°，∠A=26°，
∴∠B=64°，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠B=64°，
∴∠BCD=180°-64°-64°=52°，
∴的度数为52°．
例3.【解答】证明：连接OE，
∵BE∥CD，
∴∠COE=∠E，∠BOD=∠B，
∵OB=OE，
∴∠B=∠E，
∴∠COE=∠BOD，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=∠COE，
∴= .
例4．【解答】（1）如图所示，连接OD，OE，
∵OB=OD=OE=OC，∠B=∠C=60°
∴△BOD与△COE都是等边三角形
∴∠BOD=∠COE=60°
∠DOE=180°-∠BOD-∠COE=60°
∴∠DOE=∠BOD=∠COE
∴==．
（2）连接BE，CD，
∵∠BOD=∠COE=60°
∴∠BCD=30°，∠EBC=30°，
∴DC平分∠ACB，BE平分∠ABC，
∴AD=DB，AE=EC.
例5.【解答】证明：连结OC、OD，如图，
∵AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，
∴OM=ON，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OMC=∠OND=90°，
在Rt△OMC和Rt△OND中，OM＝ON，OC＝OD，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴∠COM=∠DON，
∴=.
重点二：圆周角
例1.【解答】证明：连AF，AB，AC．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵∠C=∠F，
∴∠BAD=∠F，
∵A为的中点，
∴∠ABF=∠F，
∴∠BAD=∠ABF，
∴BE=AE.




例2．【解答】（1）连OB，则OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=36°
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=108°
∴β＝∠C＝∠AOB＝54°；

（2）α与β之间关系是α+β=90°．
证明：连OB，则OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=α
∴∠AOB=180°-2α
∴β=∠C=∠AOB=（180°-2α）=90°-α．
∴α+β=90°．
例3.【解答】连接BE、AD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-40°=50°，
AD⊥BC，
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=20°，
∴由圆周角定理得：弧BD所对的圆心角的度数是2∠DAB=40°，
弧DE所对的圆心角的度数是2∠DAE=40°，
弧AE的度数是180°-40°-40°=100°
例4.【解答】（1）∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=39°，
∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
（2）证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，
∴∠1=∠2.
例5.【解答】（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是弧BC所对的圆周角，∠ABC与∠APC是弧AC所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；故答案为：等边三角形；

（2）在PC上截取PD=AP，如图，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，∠APB＝∠ADC，∠ABP＝∠ACD，AP＝AD，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP
四、经典练习
A组
1. B【解答】取的中点E，连接AE、BE，
∴弧AE=弧BE，
∵=2，
∴∠AOB=2∠COD，
∴弧AE=弧BE=弧CD，
∵AE+BE＞AB，
∴2CD＞AB，
∴AB＜2CD.
2. C【解答】∵点C是劣弧的中点，
∴OC垂直平分AB，
∴DA=DB=3，
∴OD==1，
若△POC为直角三角形，只能是∠OPC=90°，
则△POD∽△CPD，
∴，
∴PD2=4×1=4，
∴PD=2，
∴PB=3-2=1，
根据对称性得，
当P在OC的左侧时，PB=3+2=5，
∴PB的长度为1或5.


3. B 【解答】∵∠CDB=30°，
∴∠COB=30°×2=60°．
又∵⊙O的半径为cm，
∴CE=sin60°=×=，
∴CD=×2=3（cm）．
4. 0°＜α＜80°【解答】∵点P在劣弧 AC上移动，
∴当点P与点C重合时，α最小值=0°；
而∠AOC=2∠B=80°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
当点P与点A重合时，α最大值=∠AOC=80°，
∵点P不与点A、C重合，
∴α的变化范围是0°＜α＜80°．
5. 【解答】根据题意，可知：此人运动到了圆的三等分点处，设为点B，则∠AOB=120°，
作BC⊥AD于C，OE⊥BC于E，则CE=OA=25m，
在Rt△BOE中，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得BE=m，
则此人距地面AD的高度是米．
6. 1:2
7．2【解答】连接OA，OB，过O作OD⊥AB．
∵一条弦把圆分成5：1两部分，
∴∠AOB=60°，
∴∠2=∠1=30°；
又∵OD⊥AB，OA=2cm，
∴AD=OA=1cm，
∴AB=2AD=2cm．
8.【解答】（1）△ABC为等边三角形；
∵△ABC内接于圆O，点A，B，C把圆O的周长三等分，
∴弧AB=弧AC=弧BC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC为等边三角形；
（2）∵弧AB=弧AC=弧BC，
∴∠BOC=∠AOC=∠AOB，
∴∠AOB=360°÷3=120°．

9. 【解答】连接AC、BD，
∵C，D是弧AB的三等分点，
∴AC=CD=BD，∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，
在△ACO与△DCO中，
∵OA＝OD，∠AOC＝∠DOC，OC＝OC，
∴△ACO≌△DCO（SAS），
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD==75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC，
∴AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD，
∴AE=BF=CD．
10. 【解答】证明：（1）∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，∠ADB=∠ABD．
∵∠ACB=∠ADB，∠ACD=∠ABD，
∴∠ACB=∠ADB=∠ABD=∠ACD．
∴∠ADB=（180°-∠BAD）÷2=90°-∠DFC．
∴∠ADB+∠DFC=90°，即∠ACD+∠DFC=90°，
∴CD⊥DF．
（2）过F作FG⊥BC于点G，
∵∠ACB=∠ADB，
又∵∠BFC=∠BAD，
∴∠FBC=∠ABD=∠ADB=∠ACB．
∴FB=FC．
∴FG平分BC，G为BC中点，∠GFC=∠BAD=∠DFC，
∵在△FGC和△DFC中，∠GFC＝∠DFC，FC＝FC，∠ACB＝∠ACD，
∴△FGC≌△DFC（ASA），
∴CD=GC=BC．
∴BC=2CD．






B组
1. C【解答】连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=BC，
∵AC=AB，∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，∴∠BCE=∠ABC=60°，
∵BE=BC，
∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC=60°，
∴的度数为60°.
2. A 【解答】
∵AF=2cm，BF=6cm，∴OF=2cm，
∵∠OEF=90°，∠EFO=30°，
∴OE=1cm，
3. B【解答】不发生变化．
连接OP，
∵OP=OC，
∴∠P=∠OCP，
∵∠OCP=∠DCP，
∴∠P=∠DCP，
∴CD∥OP，
∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴弧AP=弧BP，
∴点P为弧AB的中点不变.
4. B【解答】连接AD、BE，
∵BD=CE
∴弧BD=弧CE，∴∠BAD=∠EBC，
∵∠BAD=∠CAD+∠CAB，∠EBC=∠ABE+∠ABD+∠CBD，
∴∠CAD+∠CAB=∠ABE+∠ABD+∠CBD，
∵∠CAD=∠CBD（同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠CAB=∠ABD+∠ABE，
∵∠ABE=∠ACE（同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠CAB=∠ABD+∠ACE（等量代换）
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB
∴∠CAB=（∠ABC+∠ACB），∴∠ABC+∠ACB=2∠CAB
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠CAB+2∠CAB=180°，
3∠CAB=180°
∴∠CAB=60°．
5. 45°【解答】由题意知，∠AOB=90°，且A，B，P均位于⊙O的上，所以有∠APB=∠AOB=45°．
6. 40°【解答】设AB与CD交于点E，
∵AB⊥CD，
∴∠AED=∠CEB=90°，
∵圆心角∠AOC=130°，
∴∠ADC=∠ABC=65°，
∴∠BAD=∠DCB=90°-65°=25°，
∵∠ADC=∠P+∠DCP，
∴∠P=65°-25°=40°．
7. 8【解答】∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，
∴AE=PE，PF=BF，
∴EF是△APB的中位线，
∴EF∥AB，EF=AB=8；
8. 57°【解答】∵在△ABF和△ADE中
∠A+∠ABF+∠F=180°，∠A+∠E+∠ADE=180°，
∴∠A+∠ABF+∠F+∠A+∠E+∠ADE=180°+180°=360°，
∵∠ADE+∠ABF=180°，
∴2∠A+∠E+∠F=180°，
∴2∠A=180°-36°-30°=114°，
∴∠A=57°．
9.【解答】四边形EBCM是菱形，
理由：∵BM平分∠ABC交外接圆于点M，∴∠EBM=∠CBM=∠ABC，
∵∠ABC=2∠A，∴∠A=∠ABM=∠CBM，
∵∠A=∠BMC，∴∠ABM=∠BMC=∠CBM，∴BE∥CM，BC=CM，
∵ME∥BC，∴四边形EBCM是菱形．
10. 【解答】（1）连接OB、OC；
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴OB=OC，∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=∠OBA=30°，
在△OBM和△OCN中，OB＝OC，∠OBM＝∠OCN，BM＝CN，
∴△OBM≌△OCN（SAS），
∴∠MOB=∠NOC，
∴∠MON=∠BOC=120°；
（2）同理在图②中可求得∠MON=∠BOC=90°，
在图③中可求得∠MON=∠BOC==72°，
∴在n边形图中，∠MON=∠BOC=.
五、优化提高
1. 118°
【解答】如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，
∵∠AOB=124°，
∴∠ADB=∠AOB=×124°=62°．
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ACB=180°-62°=118°．

2. （12,0）
【解答】设线段BA的中点为E，
∵点A（0，4），B（0，-6），
∴AB=10，E（0，-1）．
如图所示，过点E在第四象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，则
易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=5；
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，
∵∠BCA为⊙P的圆周角，
∴∠BCA=∠BPA=45°，即则点C即为所求．
过点P作PF⊥x轴于点F，则OF=PE=5，PF=OE=1，
在Rt△PFC中，PF=1，PC=5，
由勾股定理得：CF==7，
∴OC=OF+CF=5+7=12，
∴点C坐标为（12，0）.










3.【解答】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，
∵P是弧ABC的中点，∴PH⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，∴OP∥BC.
（2）如图2，
∵P是弧AC的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，
∴∠PAO=∠PCO，
当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，
∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，
∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，
在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，
即∠PAO=36°，
当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，
∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，
∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，
在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．
综上所述，∠A的度数为36°或（）°．
4.【解答】证明：连结OM，ON，OA，OD，
∵=，∴=，∴AB=CD，
∵点M、N分别是AB、CD的中点，
∴∠OMA=∠OMP=90°，∠OND=∠ONP=90°，AM=AB，DN=CD，
∴AM=DN，
∵OA=OD，
在Rt△OMA和Rt△OND中，OM=，ON=，
∴OM=ON，∴∠OMN=∠ONM，∴∠PMN=∠PNM，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形．
5.【解答】证明：∵∠APB=∠AOB，又∠AOB=，
∴即圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半．
（1）连BC，则∠APC=∠PCB+∠PBC
∠PCB的度数等于弧BD的度数的一半，∠PBC的度数等于弧AC的度数的一半，
∠APC=（+）；
（2）问题（1）中的结论不成立．
类似的结论为：∠BPC=（-）．