初中数学华师大版七年级上册2 多项式精品导学案

2. 多项式

学习目标：

1.理解多项式、整式的概念（重点）；

2.会确定一个多项式的项数和次数（重点、难点）.

重点：理解多项式、整式的概念.

难点：会确定一个多项式的项数和次数.

自主学习

一、知识链接

单项式有关的定义：

1.（1）由____与_____（或_____与_____）的乘积组成的代数式叫做单项式.单独的一个______或一个______也叫单项式.

（2）单项式中的_________叫做这个单项式的系数.单项式中的________________叫做这个单项式的次数.

2. 的系数是__________；次数是______________.

3.列代数式：

(1)长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是        ；

(2)某班有男生x人，女生21人，则这个班共有学生       人；

(3)一个数比数x的2倍小3，则这个数为_________；

(4)鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头      个，脚       只.

二、新知预习

（预习课本P97-98）填空并完成练习：

1. 几个      的和叫做多项式.其中每个单项式叫做多项式的      ；不含字母的项叫 做      .

2.一个多项式含有几项，就叫做      .

3.多项式里，次数      项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的次数是几，这个多项式叫做__________.

4.______和______统称为整式.

练习：指出下列多项式的项数、次数、常数项.

（1）a-1；（2）2ab2+2-ab；（3）-n3m+n+m4+5；（4）-n2+n-m4+π.

合作探究

一、要点探究

探究点1：多项式及其有关概念

问题1   观察下面的式子，它们与单项式有什么不同？

（1）x2＋5；（2）c－d；（3）－a2＋a2b2.

【要点归纳】几个单项式的和叫做多项式.其中每个单项式叫做多项式的项；不含字母的项叫做常数项.一个多项式含有几项，就叫做几项式.

问题2   单项式有次数，那多项式的次数又是什么？

【要点归纳】多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的次数是几，这个多项式叫做__________.

例1  写出下列各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式.

（1）x2－3x＋5；（2）a＋b＋c－d；（3）－a2＋a2b＋2a2b2.

【方法总结】（1）多项式的项包括它的符号；（2）多项式的次数是多项式里次数最高的项的次数，而不是各项次数的和；（3）几次项是指多项式中次数是几的项.

【针对训练】指出下列多项式的常数项，并说明是几次几项式.

（1）5﹣x3y4+x2y2；      （2）xy2﹣7x2+6y﹣．

例2   已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式.

【方法总结】 解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数.然后根据题意，列出方程，求出m的值.

【针对训练】已知关于x的多项式3xm﹣（n+5）x+2是三次二项式，求m+n的值．

例3  若关于x的多项式－5x3－mx2＋（n－1）x－1不含二次项和一次项，求m、n的值.

【方法总结】多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0.

【针对训练】已知关于x、y的多项式（﹣a+1）x2+（﹣2b﹣2）xy﹣x+y不含二次项，求5a﹣8b的值．

探究点2：整  式                                              

例4   在代数式2a＋b，3xy2，，n，－5，，中，整式的个数是(　 　)

A．3   B．4   C．5   D．6

【方法总结】判断一个代数式是整式，注意分母中含有字母的代数式都不是整式

【针对训练】将代数式：①3，②，③，④，⑤，⑥x2，⑦3a＋1，⑧，

⑨－x2＋yz，⑩填入适当的空格中（填序号）：

单项式：___________________________________________________；

多项式：___________________________________________________；

整式：_____________________________________________________.

二、课堂小结  

当堂检测

1．下列式子中，不是整式的是（    ）

A. B. C.0 D.－5m

2．多项式的项数与次数分别是（     ）

A．4，2 B.4，1 C.3，2 D.3，1

3．一个多项式的次数是3，则这个多项式的各项次数（     ）

A．都等于3 B. 都小于3 C.都不少于3 D.都不大于3

4.下列关于的说法正确的是(      )

A.二次项的系数是3                      B.四次三项式  

C.最高次项是                    D.常数项是5

5.多项式－x3y3－3y2＋1是    次    项式，其中最高次项是          ，最高次项系数是          ，常数项是          .

6.若是关于x的一次式,则a =______；若它是关于x的二次二项式,则a =______.

7.已知多项式（k-1）x2+3x|k+2|+2是关于x的三次三项式，求k的值.

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.（1）数   字母   字母  字母   数   字母  

（2）数字因式   所有字母指数的和

2.    5

3.(1)2（a+b）   (2)x+21    (3)2x-3    (4)a+b    2a+4b

二、新知预习

1.单项式    项    常数项    2.几项式

3.最高   几次式       4.单项式   多项式

练习：解：（1）项数为2，次数为1，常数项为-1；

（2）项数为3，次数为3，常数项为+2；

（3）项数为4，次数为4，常数项为+5；

（4）项数为4，次数为4，常数项为+π.

合作探究

一、要点探究

探究点1：多项式及其有关概念

【要点归纳】几次式

例1  解：（1）项数为3，次数为2，是二次三项式；

（2）项数为4，次数为1，是一次四项式；

（3）项数为3，次数为4，是四次三项式.

【针对训练】解：（1）5是常数项，是七次三项式.

（2）﹣是常数项，是三次四项式．

例2   解：因为－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，所以m+2=6.所以m=4.此时该多项式为－5x4＋104x4－4x4y2.

【针对训练】解：因为多项式3xm﹣（n+5）x+2是三次二项式，所以m＝3，n+5＝0.所以n＝﹣5，故m+n＝﹣2．

例3  解：因为多项式－5x3－mx2＋（n－1）x－1不含二次项和一次项，所以-m=0，n-1=0，所以m=0，n=1.

【针对训练】解：因为多项式不含二次项，所以﹣a+1＝0，﹣2b﹣2＝0，所以a＝1，b＝﹣1．所以5a﹣8b＝5×1﹣8×（﹣1）＝5+8＝13．

探究点2：整  式                                              

例4   D

【针对训练】单项式：①④⑤⑥     多项式：③⑦⑧⑨   整式：①③④⑤⑥⑦⑧⑨

二、课堂小结  

单项式   单项式   几项式   字母   次数最高项  几次式  单项式  多项式

当堂检测

1.B  2.A   3.D   4.C  

5.六  三    -1  1

6.2     -3

7.解：∵多项式（k-1）x2+3x|k+2|+2是关于x的三次三项式，

∴|k+2|=3，k-1≠0，解得k=-5．