沪教版（五四学制）初中数学 八年级上册 -第9讲：期中复习学案-教师版(1)

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期中复习


内容分析




本讲整理了关于前两章二次根式和一元二次方程的相关练习，以帮助同学们巩固所学．

知识结构










选择题



【练习1】 下列各式中，是二次根式的有几个（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【难度】★
【答案】D
【解析】、、、是二次根式，注意对二次根式的判断，尤其 注意对默认取值范围的式子是否是二次根式的判断，故选D．
【总结】考查二次根式的判断，一个式子是二次根式需满足以下条件：①开平方根；②被开方数为非负数；特别需要注意，对于含有字母的式子，题目未说明，默认取值范围是全体实数，在字母取值范围内的任意值，都必须使得式子有意义．




【练习2】 使等式成立的条件是（ ）
A．a为任意的实数，且b B．a为任意的实数，且b
C． D．
【难度】★
【答案】C
【解析】，由，可知，同时注意把握二次根式的非负性和分式形
式式子分母不能为0的特征，故选C．
【总结】考查二次根式的性质和化简，．





【练习3】 下列说法中正确的是（ ）
A．的有理化因式一定是
B．的有理化因式是
C．
D．
【难度】★
【答案】D
【解析】根据有理化因式的定义，有理化因式是使二次根式两个二次根式的乘积为有理数的
式子，可知B错误，D正确；同时有理化因式不只一个，可知A错误；C选项不是二
次根式的运算性质，分母不能拆开，C错误．
【总结】考查有理化因式的含义和运算性质．



【练习4】 下列方中，是关于x的一元二次方程的是 （ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】A
【解析】考查一元二次方程的概念，B选项是二元二次方程，C选项中不能确定二次项系数
是否为0，即不一定是一元二次方程，D选项化简整理得，消去了二次项，
是一元一次方程，故选A．
【总结】考查一元二次方程的定义，满足以下几个条件，只含有一个未知数，未知项最高次
数为2，整式方程，二次项系数不能为0．


【练习5】 方程的判别式是（ ）
A．大于0 B． 小于0 C． 大于或小于0 D． 等于0
【难度】★
【答案】D
【解析】根据一元二次方程的一般形式，，，，根据一元二次方程根的
判别式的的基本含义，，故选D．
【总结】考查一元二次方程根的判别式，化为一般形式写出相应系数计算即可．


【练习6】 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a
的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】D
【解析】依题意可得，解得：且．
【总结】考查根据一元二次方程根的情况得到方程根的判别式的情况，注意二次项系数不能
为0的隐含条件．


【练习7】 下列结论中正确的是（ ）
A．和互为有理化因式 B．不是最简二次根式
C． D．
【难度】★★
【答案】D
【解析】根据有理化因式的概念，与的乘积不是有理数，A错误；不含有分
数和可开方出来的数字或字母，是最简二次根式，B错误；，
其绝对值为的相反数，即为，C错误；同时，可
知D正确．
【总结】考查二次根式相关性质和概念的综合．

【练习8】 的值是（ ）
A．正数 B． 负数 C．非负数 D． 可为正可为负
【难度】★★
【答案】B
【解析】依题意可得，化简过程如下：
原式，故选B．
【总结】考查二次根式的化简计算．

【练习9】 已知，则x的值为（ ）
A．1 B． 2 C．任意实数 D．
【难度】★★
【答案】D
【解析】，结合去绝对值
分类讨论，可知，，可得，故选D．
【总结】考查二次根式的性质，再结合性质进行化简计算即可．

【练习10】 已知的值（ ）
A．9 B． C．3 D． 5
【难度】★★
【答案】C
【解析】，，则．
【总结】考查二次根式的代值计算，利用式子变形简化计算过程．

【练习11】 用配方法解下列方程，配方错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】配方，两边同加上7，即可得平方，化为．
【总结】考查一元二次方程的配方法的配方过程．


【练习12】 下列说法中正确的是（ ）
（1）方程是关于x的一元二次方程；
（2）当一元二次方程的常数项为0时，0必定是方程的一根；
（3）当一元二次方程的一次项系数等于0时，方程有两个互为相反数的实数根；
（4）当常数项与二次项系数的乘积是负数时，一元二次方程必定有两个相等的实数根．
A．1个 B．2个 C． 3个 D． 4个
【难度】★★
【答案】A
【解析】方程不能确定二次项系数是否为0，不能确定是一元二次方程，（1）
错误；常数项为0，即为，解得，，
（2）正确；一次项系数为0，即为，不确定、与
的大小关系，与0的大小关系不能确定，不能确定方程是否有实数根，（3）
错误；常数项与二次项乘积为负数时，恒成立，则方程有两不等实根，
（4）错误，故选A．
【总结】考查一元二次方程根的判别式确定方程相关解得情况，根据题目条件确定根的判别
式与0的大小关系即可直接进行判断．


【练习13】 a、b是方程的两实根，则的值为（ ）
A．2011 B．2012 C．2013 D．2014
【难度】★★
【答案】B
【解析】a、b是方程的两实根，则有，即得，
由韦达定理，可得：，则有，故选B．
【总结】考查一元二次方程根的定义和与一元二次方程根相关韦达定理的综合应用，注意利
用整体思想或者方程的降次也可解题．
【练习14】 多项式进行因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★★
【答案】C
【解析】令，公式法或配方法可解得：，，即得

，故选C．
【总结】考查一元二次方程在实数范围的因式分解，在对应一元二次方程有实数根的前提下，
的应用．



【练习15】 已知a、b、c是正数，若关于的一元二次方程有实根，那么方
程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．不确定
【难度】★★
【答案】A
【解析】方程有实数根，可知，得，对方程
，，可知方程有两个不
相等的实数根，故选A．
【总结】考查根据一个方程根的情况判定其它方程根的情况，只需根据题目条件得到相应字
母关系得出方程根的情况即可．





填空题



【练习16】 填空：
（1）=_____________；
（2）若最简二次根式是同类二次根式，则______；
（3）的有理化因式是______．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）根据二次根式非负性，得，即得；
（2） 与是同类二次根式，则，解得，得；
（3） 的有理化因式，改变中间计算符号即可，即为．
【总结】考查二次根式相关概念．


【练习17】 填空：
（1）若最简二次根式是同类二次根式，则x=______；
（2）若最简二次根式是同类二次根式，则=__________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）10
【解析】（1）与是同类二次根式，则有，解得：，，
二次根式为最简二次根式，可知应舍去，即得；
（2）依题意可得，解得：，即得：．
【总结】考查同类二次根式的概念，注意题目是否说明为最简二次根式．


【练习18】 若关于x的一元二次方程有一个根为0 ，则a的值为______．
【难度】★
【答案】．
【解析】方程有一根为0，则有，根据二次方程二次项系数
不能为0，可知，即得：．
【总结】考查一元二次方程解得概念，注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件．


【练习19】 （1）不解方程，判断关于x的一元二次方程的根的
情况____________；
（2）若在实数范围内可以因式分解，则m的取值范围是 ____________．
【难度】★
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）．
【解析】（1）方程根的判别式恒成
立，可知方程有两个不相等的实数根；
（2）可分解因式，则关于的方程有实数根，则有
，得：．
【总结】考查一元二次方程根的判别式的相关应用．



【练习20】 二次项系数是2，且两根分别是的一元二次方程是_______．
【难度】★★
【答案】
【解析】根据二次三项式的因式分解，可得对应的二次三项式即可分解为
，对应放即为．
【总结】考查根据一元二次方程的根对应二次三项式的因式分解，也可利用韦达定理解决本
题．



【练习21】 因式分解：
（1）=________________；
（2）____________．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）十字相乘法分解因式即可得；
（2）令，解得：，，方程可分解为对应
的形式，即为．
【总结】考查二次三项式的因式分解，对相应的方程求解即可．


【练习22】 某种药品原价是5元，降价两次后，现价是4.05元，则平均每次降价率是______．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设平均每次降价率为，依题意可得，解得：（舍），，
即得降价率为．
【总结】考查一元二次方程的应用中的增长率问题．


【练习23】 某厂计划今年的产值为a比前年翻一番，且这两年的增长率相同，设它的增长率是x，则连续三年的总产值是______．
【难度】★★
【答案】
【解析】依题意可得，即得，则去年产值为，则
连续三年总产值为．
【总结】考查一元二次方程的应用中的增长率问题．


【练习24】 =____________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】，则，由二次根式的非负性，可得：，，
得，，则有，，，
可得．
【总结】考查二次根式的双重非负性和二次根式计算性质的结合应用，．


【练习25】 ，那么y的值______．
【难度】★★
【答案】4
【解析】依题意可得，，则有，由
，可得，即得：．
【总结】考查二次根式的计算，本题要注意观察，对式子进行因式分解即可．



【练习26】 比较大小：①； ②．
【难度】★★
【答案】①>；②>．
【解析】①平方得，，，可得：；
②，即可得．
【总结】考查二次根式的大小比较，通常采用平方法和作差法进行比较．



【练习27】 已知关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范
围是____________．
【难度】★★
【答案】且．
【解析】方程有实数根，即得，得，同时
根据一元二次方程二次项系数不为0和二次根式的非负性，得，
由此可得且．
【总结】考查一元二次方程根的判别式确定方程根的情况，注意题目隐含条件．


【练习28】 若实数满足的值是____________．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】，方程两根均为正数，满足题意，可得．
【总结】考查完全平方式的应用，时，可视作．


【练习29】 计算=______．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】原式

【总结】考查二次根式的分母有理化，结果类似裂项求和，只剩首项和末项．



【练习30】 （1）设 是关于x的方程 的两个实数根，则的
值为______________；
（2）设 是关于x的方程 的两个实数根，是关于x的
方程的两实数根，则______________．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）根据韦达定理，可得，，则；
（2）、是方程的两根，则有，，、是
方程的两根，则，
，得，．
【总结】考查一元二次方程根的韦达定理的应用．



【练习31】 当整数k=_______，关于x的一元二次方程的两根均是
整数．
【难度】★★★
【答案】1或5．
【解析】方程根为整数，则方程为完全平方
数，3以上任意两个平方数之间的差大于5，可知，或，
或，当且仅当时为整数，此时或方程解为
，可知为奇数时方程解为整数，由此可知或．
【总结】考查方程的整数解的情况，只需方程的根的判别式为完全平方数即可．






解答题



【练习32】 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）原式
；
（2） 原式；
（3） 原式．
【总结】考查二次根式的化简及计算．

【练习33】 计算：
（1）； （2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）原式=；
（2） 原式；
（3） 原式．
【练习34】 用指定的方法解方程．
（1）（直接开平方法）；
（2）（因式分解法）；
（3）（配方法）；
（4）（公式法） ．
【难度】★★
【答案】（1），；（2），；
（3），；（4），．
【解析】（1）整理得：，直接开平方法得：，
解得：，；
（2）展开整理得，即，解得：，；
（3）移项得，系数化为1，得：，配方，得：，
解得：，；
（4），，，则有，由此可得
，．
【总结】考查一元二次方程的四种解法．


【练习35】 用适当的方法解关于x方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1），；（2），；（3），．
【解析】（1）移项得，即为，直接开平方法得，解得：，；
（2） 整理变形得，因式分解得，
即，解得：，；
（3） 因式分解得，解得：，．
【总结】考查对一元二次方程解法的综合求解应用．


【练习36】 已知关于x的方程，请判断方程的根的情况 ．
【难度】★★
【答案】当时，方程的根为；当时，方程有两个实数根．
【解析】时，，方程为一元一次方程，方程有唯一解
当，即时，为一元二次方程，，
此时，无论m取何值，方程均有两个实数根．
【总结】考查对方程的分类讨论思想的应用．


【练习37】 已知一个两位数，个位数字比十位数字大2，且这两个数字的乘积为15，求这
个两位数．
【难度】★★
【答案】35
【解析】设这个两位数十位数字为，则各位数字为，依题意可得，
解得：（舍），，则个位数字为5，这个两位数为35．
【总结】考查一元二次方程的应用，数位问题，一个条件作设，一个条件求解．



【练习38】 从一块长300厘米，宽200厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方
框的四周宽度相同，并且小长方形的面积是原来铁片面积的三分之一，求这个宽度 ．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设这个宽度为，依题意可得：，
解得：，，由，可得：，取．
【总结】考查一元二次方程解应用题，根据题意列出方程即可求解．


【练习39】 某商场出售一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调
查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商品要保证每天盈利6000元，如果你是商场老板，那么每千克应涨价多少? 
【难度】★★
【答案】10元．
【解析】设每千克应涨价元，依题意得，整理成一般式即为
，解得：（舍），，即每千克水果涨价10元．
【总结】考查一元二次方程解应用题，总利润=单个利润×销量．


【练习40】 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根：
（1）求m的取值范围；
（2）当．
【难度】★★
【答案】（1）且；（2）．
【解析】（1）方程有两不等实根，即得，得，
同时根据一元二次方程二次项系数不为0和二次根式的非负性，得，
由此可得且；
（2），得，由，可知，
则有．
【总结】考查一元二次方程根的判别式确定方程根的情况，注意题目隐含条件．
【练习41】 若实数x、y满足：的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】根据二次根式被开方数的非负性，可得，得，则有，，
原式=，代入即为．
【总结】考查二次根式的化简计算，先化简再代值计算．

【练习42】 设，，求的值．
【难度】★★
【答案】15．
【解析】，，得
原式．
【总结】考查代数式的计算，对式子进行相应变形．


【练习43】 （1）已知的值；
（2）已知的值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）2．
【解析】（1）原式=；
（2）由，可得，则有．
【总结】考查式子的代值计算，先化简整理再代值．


【练习44】 已知的两个根，求的值．
【难度】★★
【答案】5
【解析】的两根，根据韦达定理，可得，满足方程，
则有，可得，由此可得
．
【总结】考查一元二次方程的韦达定理，注意方程的解得含义，满足方程，可以进行方程降
次的应用解题．

【练习45】 已知和 是关于的方程的两个根，求p、q
的值．
【难度】★★
【答案】或．
【解析】根据一元二次方程韦达定理，可得：，，
代入即得，解得：，，由此可得或，
且这两组解都满足，即得．
【总结】考查一元二次方程韦达定理的应用，注意韦达定理的前提是方程有实数根．

【练习46】 如图，要建一个面积为96平方米的养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着围墙，
7米
河道
墙
墙离河道7米，另三边用27米的篱笆围成，且在一边留1米的空隙为门（门板用其他的材料做），求这个长方形的两个邻边长．
【难度】★★
【答案】和．
【解析】设与墙相邻的长方形边长为，
则另一边长为，
依题意可得：，
解得：，，根据题意有，则，，
即长方形两邻边长分别为和．
【总结】考查一元二次方程解应用题，注意题目的隐含条件．



【练习47】 已知关于x的方程，
（1）求证：无论k取任意实数，方程总有实根；
（2）若等腰三角形ABC的一条边长为1，另两条边恰好是这个方程的两个根，求三角形ABC的周长．
【难度】★★★
【答案】（1）略；（2）5．
【解析】（1）证明：，，，则有
恒成立，可知方程总有实数根；
（2）由，解得:，，对应三角形为等腰三角形，
则有或，同时根据三角形三边关系，可知，得，则有，
三角形周长为．
【总结】考查一元二次方程根的判别式的应用，注意题目隐含条件．


【练习48】 小资料，财政预计，三峡工程投资需要2039亿元，由静态投资901亿元，贷款
利息成本为a亿元，物价上涨价差（a+360）亿元三部分组成．但事实上，因国家调整利率，使贷款利息减少了15.4%，因物价上涨幅度比预测要低，使物价上涨的差价减少了18.7%，则：
（1）因利息调整和物价上涨幅度因素使三峡工程总投资减少多少亿（精确到1亿元）；
（2）若2014年三峡电站的发电量为392亿度，预计2016年的发电量为573亿度，这两年的发电量年平均增长率相同，求此平均增长率．
【难度】★★★
【答案】（1）200；（2）．
【解析】（1）由题意可得，解得：，则减少的总投资额为
亿元；
（2）设平均增长率为，依题意可得，解得：，，
即这个平均增长率越为．
【总结】考查一元二次方程应用中的增长率问题．


【练习49】 某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定位10
万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺交各种费用5000元 ．
（1）当每件商铺的年租金定位13万元时，能租出多少间?
（2）当每间商铺的年租金定为多少万时，该公司的年收益为275万元?
【难度】★★★
【答案】（1）24；（2）或15万元．
【解析】（1）根据题意，可租出商铺间数为间；
（2）设年租金定为万元，依题意可得，整理得
，解得：，，即租金为或15万元．
【总结】考查一元二次方程解应用题．



【练习50】 有一根直尺的短边2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，
它的斜边长12cm．如图12，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合．将直尺沿AB方向平移(如图13)，设平移的长度为xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为．
（1）当x=0时(如图12)，S=_____________；当x = 10时，S =______________．
（2）当0＜x≤4时(如图13)，求S关于x的函数关系式S=___________；
（3）当4＜x＜6时，求S关于x的函数关系式，S=________________；
（4）当6＜x≤10时，求S关于x的函数关系式，S=__________________ ；
图12
D
E
F
C
B
A
（同学可在图14、图15中画草图）
（5）求出当x为何值时，阴影部分S的面积为．
【难度】★★★
【答案】（1）2，2；（2）；（3）；（4）；
（5）5．
【解析】（1）时，重叠部分为等腰直角三角形，
；时，重叠部分为等腰直角三角形，
；
（2） 当时，重叠部分为直角梯形，
则有；
（3）当时，重叠部分为不规则五边形，
则有；


；
（4）当时，重叠部分为直角梯形，
则有；
（5） 或时，，
当时，，则有，整理得：，
解得：，即时，阴影部分面积为．
【总结】考查阴影部分面积的多解性问题，注意观察阴影部分的性质进行分类讨论，用割补
法计算阴影部分面积即可．