沪科版 初中数学 八年级上册 13.1.3　三角形中几条重要线段

沪科版数学八年级上册同步学案

第13章　三角形中的边角关系、命题与证明

13.1　三角形中的边角关系

13.1.3　三角形中几条重要线段

要  点  讲  解

要点一　三角形的角平分线

1. 定义：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

2. 如图所示，AD是△ABC的角平分线，∠1＝∠2＝∠BAC⇔∠BAC＝2∠1＝2∠2.

3. 三角形角平分线的画法：

三角形角平分线的画法与角的平分线画法相同．

(1)一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形内部，且相交于一点，这个点叫做三角形的内心．

(2)三角形的角平分线是线段，而通常所说的角的平分线是射线．

要点二　三角形的中线

1. 定义：三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．

2. 一个三角形有三条中线，都在三角形内部，且相交于一点，这个点叫做三角形的重心．

3. 三角形的中线是线段，而非直线或射线，如图中的AD.

AD是△ABC的边BC上的中线⇔BD＝DC＝BC⇔BC＝2BD＝2DC.

4. AD是△ABC的中线⇒C△ABD－C△ACD＝AB－AC(AB>AC)，S△ABD＝S△ACD.

要点三　三角形的高

1. 定义：从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫做三角形的高．

2. 几何语言表述：如图(1)所示，AD是△ABC的边BC上的高；或AD⊥BD，垂足为点D；或点D在BC上，且∠BDA＝∠CDA＝90°.

3. 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形高的画法分别如图(1)，(2)，(3)所示．

(1)锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，三角形的三条高所在直线交于一点，这个点叫做三角形的垂心．

(2)锐角三角形的三条高交于三角形内部一点，如图(1)所示；直角三角形的三条高交于直角顶点，如图(2)所示，其中直角边AB上的高是直角边BC，直角边BC上的高是直角边AB，斜边AC上的高是线段BD；钝角三角形的三条高所在直线交于三角形外部一点，如图(3)所示．

(3)三角形的高是线段，而通常所说的垂线是直线．

经典例题1　如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，D，E为AC上的两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，则下列说法中不正确的是(　　　)

A．BC是△ABE的高                           B．BE是△ABD的中线

C．BD是△EBC的角平分线                     D．∠ABE＝∠EBD＝∠DBC

解析：根据三角形的高、中线、角平分线的定义对各选项分析判断，选项A，B，C正确．由BD是△EBC的角平分线，得∠EBD＝∠DBC，由BE是中线，可知∠ABE不一定等于∠EBD，所以选项D不正确．

答案：D

要点四　定义

能明确界定某个对象含义的语句叫做定义．

(1)定义必须是严密的，一般避免使用含糊不清的词语，如“可能”“大约”“差不多”等．

(2)正确的定义能把被定义的事物或名词与其他事物或名词区分开来．

经典例题2　下列语句中，属于定义的是(　　　)

A．两点之间，线段最短

B．平行于同一条直线的两条直线互相平行

C．点到直线的距离就是该点到这条直线的垂线段的长度

D．三角形的高、角平分线和中线都是线段

解析：正确理解定义的内涵是解答此题的关键，明确定义是将被定义的事物或名词与其他事物或名词区分开来的语句．

答案：C

易错易混警示　对三角形的高理解不清而出错

由三角形的中线、角平分线及高的定义可知，它们均为具有特定意义的线段，而非射线或直线．

经典例题3　如图甲所示，画钝角△ABC的高BE.

解析：“高BE”意味着从点B出发，作∠B的对边AC上的垂线段，且点E为垂足．由于高BE在△ABC外部，所以需要延长CA，以便得到垂足点E.

答案：从点B向CA的延长线画垂线段，垂足为点E，如图乙所示．

点拨：作高时要避免如图所示的四种错误画法：

这四种错误的原因都是对三角形高的定义理解不清：

图(1)错在把三角形高与垂线定义混淆，把“线段”画成“射线”；

图(2)错在未抓住“垂直”这一重要特征；

图(3)错在没有过点B画AC的垂线段，虽然与AC垂直，但不是△ABC的高；

图(4)错在没有向AC边画垂线段．

当  堂  检  测

1. 如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是(　　)

A. BD是△ABC的角平分线                     B. CE是△BCD的角平分线

C. ∠3＝∠ACB                               D. CE是△ABC的角平分线

第1题                               第2题

2. 如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则下列说法错误的是(　　)

A. AE＝AC             B. AB＝2BF             C. BD＝DC          D. AD＝CF

3. 下列不属于定义的是(　　)

A. 两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离

B. 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形

C. 同角的余角相等

D. 由不等号连接的式子叫做不等式

4. 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是(　　)

A. AC是△ABC的高                             B. DE是△BCD的高

C. DE是△ABE的高                             D. AD是△ACD的高

第4题                                  第5题

5. 如图所示，BD为△ABC的高，∠C＝30°，∠ABD＝40°，则∠A的度数为         .

6. 如图所示，画出△ABC的三条高线.

7. 如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.

(1)猜想：△ABD与△ADC的面积有何关系？并简要说明理由；

(2)在△BED中作BD边上的高；

(3)若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BDE中BD边上的高为多少？

当堂检测参考答案

1. D  2. D  3. C  4. C

5. 50° 

6. 解：如图所示.

7. 解：(1)△ABD与△ADC的面积相等.理由如下：如图，过A作AF⊥BC于点F.因为AD为△ABC的中线，所以BD＝CD.因为S△ABD＝BD·AF，S△ACD＝CD·AF，所以S△ABD＝S△ADC.　

(2)如图，过E作EG⊥BC于点G，则线段EG是△BED的边BD边上的高.　

(3)因为S△ABC＝40，AD是△ABC的中线，所以S△ABD＝20.因为BE为△ABD的中线，所以S△BDE＝10，即BD·EG＝10.所以EG＝4.