沪科版 初中数学 八年级上册 13.2.2　证　明

沪科版数学八年级上册同步学案

第13章　三角形中的边角关系、命题与证明

13.2　命题与证明

13.2.2　证　明

要  点  讲  解

要点一　基本事实与定理

1. 有些命题是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选定作为判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．

2. 定理是某些真命题的独立表达形式，命题与定理是一般与特殊的关系，并不是每个命题都能形成“定理”，而任何一个“定理”都是命题。

要点二　推理与证明

1. 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理．演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明．

2. (1)利用定义、基本事实和定理进行证明，证明的一般格式是从条件出发，通过因果关系，得到最后的结论．证明要求每一步推理都要以定义、基本事实或定理作为依据．

证明的一般步骤：①审清题意，找出命题中的条件和结论；②如果问题与图形有关，根据题意画出图形，图形要正确且具有一般性，不能画特殊图形；③用数学语言写出“已知”“求证”；④找出证明思路；⑤写出证明过程，每一步都要有理有据；⑥检查表达过程是否正确、完整．

(2)在寻求证明思路的过程中，可以从已知向求证探索，也可以倒过来，从求证向已知追溯，还可以从已知和求证两个方向同时出发．

经典例题　填写下列证明过程中的推理依据：

如图所示，∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，FG⊥AB.求证：CD⊥AB.

证明：∵∠ADE＝∠B，(　　　)

∴DE∥________．(　　　)

∴∠1＝∠3.(　　　)

又∵∠1＝∠2，(　　　)

∴∠2＝∠3.(　　　)

∴GF∥DC.(　　　)

∵AB⊥FG，(　　　)

∴∠5＝90°.(　　　)

∴∠4＝∠5＝90°.(　　　)

∴CD⊥AB.(　　　)

解析：本题要求学生了解证明的一般步骤以及前后结论之间的联系等．运用了等量代换和平行线的性质、判定及垂直的证明等知识．

答案：已知；BC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行；已知；垂直定义；两直线平行，同位角相等；垂直定义．

当  堂  检  测

1. 下列命题属于基本事实的是(　　)

A. 两点之间，线段最短                      B. 同角的补角相等

C. 邻角的平分线互相垂直                    D. 内错角相等，两直线平行

2. “同角或等角的补角相等”是(　　)

A. 补角的定义                              B. 假命题

C. 定理                                    D. 基本事实

3. 下列推理中，错误的是(　　)

A. ∵AB＝CD，CD＝EF，∴AB＝EF

B. ∵∠α＝∠β，∠β＝∠γ，∴∠α＝∠γ

C. ∵a∥b，b∥c，∴a∥c

D. ∵AB⊥EF，EF⊥CD，∴AB⊥CD

4. 如图，若AO⊥CO，BO⊥DO，则∠AOB＝∠COD，推理的理由是(　　)

A. 同角的补角相等                          B. 同角的余角相等

C. AO⊥CO                                 D. BO⊥DO

5. 下列四个命题：①内错角相等，两直线平行；②有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；③过两点有且只有一条直线；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中是定理的是

          (填序号).

6. 完成下面的证明过程，并在括号内填上理由.

已知：如图所示，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD.

求证：AB∥CD.

证明：∵AD∥BC(　    　)，

∴∠1＝        (　                    　)，

又∵∠BAD＝∠BCD(　    　)，

∴∠BAD－∠1＝∠BCD－∠2(　       　)，

即∠3＝∠4，

∴AB∥       (　               　).

7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.图中有与∠A相等的角吗？为什么？

8. 证明下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请说明理由.

(1)大于锐角的角是钝角；

(2)若等腰三角形的周长为16，其中一边长为7，则该等腰三角形的底边长为2.

当堂检测参考答案

1. A  2. C  3. D  4. B

5. ① 

6. 已知  ∠2  两直线平行，内错角相等  已知  等式性质  CD  内错角相等，两直线平行 

7. 解：题图中有与∠A相等的角，为∠1.理由如下：∵CD⊥AB.∴∠ADC＝90°，∠A＋∠2＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠A.

8. 解：(1)假命题.直角也是大于锐角的角.　

(2)假命题.忽视了长为7的边既可以是底边，也可以是腰.若长为7的边为底边，则腰长为＝，此时，另两边的长度为，；若长为7的边为腰，则另一腰的长也为7，则底边长为16－7－7＝2，此时另两边长为7，2.