沪科版 初中数学 八年级上册 14.2.2　两角及其夹边分别相等的两个三角形

沪科版数学八年级上册同步学案

第14章　全等三角形

14.2　三角形全等的判定

14.2.2　两角及其夹边分别相等的两个三角形

要  点  讲  解

要点　运用“角边角”判定两个三角形全等及其简单应用

1. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简记为“角边角”或“ASA”．

2. 应用格式：如图，在△ABC和△DEF中，

∵∴△ABC≌△DEF(ASA)．

(1)“ASA”中的“S”必须是两个“A”所夹的一边；

(2)利用“ASA”定理说明两个三角形全等时，一定要按角→边→角的顺序找条件．

经典例题　已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B.求证：AE＝CF.

解析：要证AE＝CF，只需先证出AF＝CE.由AD∥CB，根据“两直线平行，内错角相等”证出∠A＝∠C，结合已知AD＝CB，∠D＝∠B证出△ADF≌△CBE，根据“全等三角形对应边相等”证出AF＝CE，然后两边同时加上线段EF即可证出结论．

证明：∵AD∥CB，

∴∠A＝∠C.

又∵AD＝CB，∠D＝∠B，

∴△ADF≌△CBE(ASA)，

∴AF＝CE.

∴AF＋EF＝CE＋EF，

即AE＝CF.

点拨：在两个三角形的背景下证明两条线段相等，通常考虑利用全等三角形的性质来解决．不是三角形的边可以运用线段的和差关系转化到两个三角形中来解决．

当  堂  检  测

1. 如图，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，下列条件中能使△ABC≌△DEF的是(　　)

A. ∠E＝∠B              B. ED＝BC            C. AB＝EF          D. AF＝CD

第1题                                 第2题

2. 如图，AB平分∠CAD，若要用“ASA”判定△ACP≌△ADP，则需增加的一个条件是(　　)

A. AC＝AD                                      B. ∠APC＝∠APD

C. AP＝AC                                      D. ∠CAP＝∠DAP

3. 如图，AD，BC相交于点O，∠1＝∠2，∠CAB＝∠DBA，下列结论中，错误的是(　　)

A. ∠C＝∠D               B. AC＝BD            C. OC＝OB          D. BC＝AD

第3题                                 第4题

4. 如图所示，D是AB上一点，DF交AC于点E，AE＝EC，可以帮助我们最终判定AD＝CF的条件是(　　)

A. BC∥DF                 B. ∠B＝∠F            C. DB＝CE           D. CF∥AB

5. 如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BD＝CD，需先证△AEB≌△AEC，根据是       .

第5题                               第6题

6. 如图所示，AB＝AC，∠B＝∠C，就可得△ACE≌△ABD.其理论根据是          .其中图里的隐含条件是             .

7. 如图，在新修的小区中，有一条“Z”字形的绿色长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一小亭E，M，F，且E，M，F在一条直线上，M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段        的长度.理由是先证明               ，从而由全等三角形的对应边相等得出.

8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E是AB边上两点，且DE＝BC，过D作DF⊥AB，过E作EF∥BC.求证：△ACB≌△FDE.

9. 已知如图，要测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′＝∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长，正确吗？为什么？

当堂检测参考答案

1. D  2. B  3. C  4. D

5. ASA 

6. ASA  ∠A是公共角 

7. ME  △BME≌△CMF 

8. 证明：∵DF⊥AB，∴∠EDF＝90°.又∵∠C＝90°，∴∠C＝∠EDF.∵EF∥BC，∴∠B＝∠DEF.在△ACB和△FDE中，∴△ACB≌△FDE(ASA).

9. 解：正确，理由如下：在测量过程中，∵AC⊥AB，∴∠CAB＝∠CAB′＝90°.∵∠ACB′＝∠ACB，AC＝AC，∴△CAB≌△CAB′.∴AB＝AB′.∴测量方案正确.