沪科版九年级上册第21章 二次函数与反比例函数21.5 反比例函数精品第2课时教案及反思

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第21章 二次函数与反比例函数
21.5　反比例函数
第2课时 反比例函数的图象与性质
教学目标
1.学会用描点法作反比例函数的图象，能结合函数图象进行探索.
2.理解并掌握反比例函数的性质，会应用反比例函数的性质解决问题.
3.理解反比例函数k的几何意义，并会应用其解决问题.
教学重难点
重点：反比例函数的图象和性质，比例系数k的几何意义.
难点：应用反比例函数的性质解决问题.
教学过程
复习巩固
【问题】
1.反比例函数的概念？
一般地，表达式形如y＝ (k常数，且k≠0)的函数叫做反比例函数.
2.你还记得作函数图象的一般步骤吗？
列表,描点,连线.
探究新知
【尝试】在坐标系中画出反比例函数y＝ 和y＝-的图象.
1.列表：
x
…
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
…

…
-1
-1.2
-1.5
-2
-3
-6
6
3
2
1.5
1.2
1
…

…
1
1.2
1.5
2
3
6
-6
-3
-2
-1.5
-1.2
-1
…

【思考】取值时应注意什么？
注意：
1.列表：①列表时自变量取值要均匀和对称；②x≠0；③自变量取整数，能方便计算和描点.
2.描点.
3.连线.连线时，要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性.
　　　
【问题】(小组讨论，老师引导)从上面所作的图象中，比较y＝ 和y＝-的图象有什么共同特征？
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.
有两条对称轴：直线y＝x和y＝-x.对称中心是：原点.
【活动】(小组讨论)1.反比例函数图象的特点：
反比例函数的图象是由两支双曲线组成的，因此称反比例函数y＝ 的图象为双曲线.
图象的两个分支都可以无限延伸，并无限接近x轴和y轴，但永远不与它们相交.
2.函数图象分别位于哪几个象限？
当k>0时,两支双曲线分别位于第一、三象限内；
当k<0时,两支双曲线分别位于第二、四象限内.
3.反比例函数图象上点的对称性.
如果点P(x0，y0)在函数y＝的图象上，那么点P(-x0，-y0)也在函数y＝ 的图象上.
【归纳】列表填写：
y＝
k>0
k<0
图象

每一象限内，图象自左向右下降

每一象限内，图象自左向右上升
性质
函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小
函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大
【问题】(小组讨论)已知反比例函数y＝ .
(1)如果这个函数图象经过点(-3,5),求k的值；
(2)如果这个函数图象在它所处的每个象限内,函数y随x的增大而减小,求k的取值范围.
【思考】(小组合作，老师指导)
解　(1)因为函数图象经过点(-3,5),代入函数的表达式 ,
得5＝ ,解得k＝-7.
(2)根据题意,有2k-1>0，
解得k> .
【反思】反比例函数图象的增减性主要由谁决定？
【练一练】已知反比例函数y＝ 的图象在第一、三象限，反比例函数y＝ 在x>0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是_______.
答案：-2 【探究】(师生互动，总结结论)
在反比例函数y＝ 的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写表格：

y＝
S1的值
S2的值
S1与S2的关系
猜想与k的关系
P(2，2)，Q(4，1)
4
4
S1＝S2
S1＝S2＝k

【思考】(激发学生思考)你从中能发现什么结论？
如图，过双曲线y＝ 上任意一点P(x，y)分别作 x 轴、y 轴的垂线PM，PN，连接 OP.

S矩形OMPN＝PM·PN＝|x|·|y|＝|x·y|.
∵ y＝，∴ x·y＝k，
∴S矩形OMPN＝|k|，S△OPN＝S△OPM＝ .
【尝试】如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数y＝的图象的一支经过矩形对角线的交点P,则该反比例函数的表达式是( )
A.y＝　　　　B.y＝　　　　C.y＝　　　　D.y＝

解析：过点P作PD⊥OB（图略）.
由反比例函数的几何意义可知，
S△OPD＝ ，即 ，解得k＝±1.
又因为反比例函数图象在第一象限，所以k>0，所以k＝1,故选C.
【答案】C
课堂练习
1.函数y＝的图象在第_______象限，在每一象限内，y随x的增大而_______.
2.函数y＝ 的图象在第______象限，在每一象限内，y随x 的增大而_______.
3.函数 ，当x>0时，图象在第____象限，y随x的增大而_________.
4.已知函数y＝(m+1) 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是( )
A.2 B.-2 C.±2 D.
5.已知反比例函数y＝，下列结论不正确的是( )
A.图象经过点(1，1)　　　　B.图象在第一、三象限
C.当x>1时，0 6.如图，A是反比例函数y＝ 的图象上的一点，AB⊥x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是( )

A.3 B.-3 C.6 D.-6
7.已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，y随x的增大如何变化？
(2)点B(3，4)，C，D(2，5)是否在这个函数的图象上？

参考答案
1.一、三　减小 2.二、四　增大 3.一 减小
4.B 5.D 6.C
7.解：(1)因为点A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限.
在每个象限内，y随x的增大而减小.
(2)设这个反比例函数的表达式为y＝.
因为点A(2，6)在其图象上，所以点A的坐标满足y＝，即6＝ ，解得k＝12.
所以，这个反比例函数的表达式为y＝.
因为点B，C的坐标都满足y＝ ，点D的坐标不满足y＝.
所以点B，C在函数y＝的图象上，点D不在这个函数的图象上.
课堂小结
反比例函数的图象和性质
形状：反比例函数的图象是由两支双曲线组成的，因此称反比例函数的图象为双曲线.
位置：当k>0时,两支双曲线分别位于第一、三象限内；
当k<0时,两支双曲线分别位于第二、四象限内.
反比例函数中比例系数k的几何意义
过双曲线 ?＝ 上任意一点 ?分别作 ? 轴、? 轴的垂线 ??，??，连接 ?? .
则S矩形OMPN＝|k|，S△OPM＝S△OPN＝.

布置作业
教材P48第4题.
板书设计
反比例函数的图象与性质
y＝
k>0
k<0
图象

每一象限内，图象自左向右下降

每一象限内，图象自左向右上升
性质
函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小
函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大
比例系数k的几何意义
S矩形OMPN＝|k|，S△OPM＝S△OPN＝ .

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