初中数学沪教版 (五四制)九年级上册24.7 向量的线性运算优秀综合训练题

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（沪教版）2022-2023学年度第一学期九年级数学24.7 向量的线性运算 同步测试
一、单选题
1．已知 m=3a−23b ， n=12b+14a ，那么 m−4n 等于（　　）
A．2a−83b B．4a−43b C．2a−43b D．4a−83b
2．（2019九上·闵行期末）已知：点C在线段AB上，且AC = 2BC，那么下列等式一定正确的是（　　）
A．AC+2BC=43AB B．AC−2BC=0
C．|AC+BC|=|BC| D．|AC−BC|=|BC|
3．（2016九上·浦东期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是边AB，CD的中点，AD= 12 BC， BC = a ，那么 EF 等于（　　）
A．32a B．−32a C．34a D．−34a
4．（2022·徐汇模拟）如图， ▱ABCD 的对角线AC和BD交于点O，下列选项中错误的是（）

A．AB=DC B．OA+OC=0
C．|OB|=|OD| D．AC=2AO
5．（2022·平凉模拟）我们规定：若 a=(x1，y1) ， b=(x2，y2) ，则 a⋅b=x1x2+y1y2 .例如 a=(1，3) ， b=(2，4) ，则 a⋅b=1×2+3×4=2+12=14 .已知 a=(x+1，x−1) ， b=(x−3，4) ，且 −2≤x≤3 ，则 a⋅b 的最小值是（　　）
A．-6 B．-8 C．-9 D．-7
6．（2021九上·金山期末）点G是△ABC的重心，设AB=a，AC=b，那么AG关于a和b的分解式是（　　）
A．12a+12b B．12a−12b C．13a+13b D．13a−13b．
7．（2021九上·罗庄期中）阅读理解：设 a=(x1，y1)，b=(x2，y2) ，若 a⊥b ，则 a⋅b=0 ，即 x1⋅x2+y1⋅y2=0 ，已知 a =(-2，x+1)， b =(3，x+2)，且 a⊥b ，则x的值为（　　）
A．2或-2 B．1或-4 C．-1或4 D．1
8．（2020九下·金山月考）已知在△ABC中，AD是中线，设 AB=m,AD=n ，那么向量 BC 用向量 m,n 表示为（　　）
A．2m−2n B．2m+2n C．2n−2m D．n−m
9．（2019八下·嘉定期末）已知四边形 ABCD 是矩形，点 O 是对角线 AC 与 BD 的交点.下列四种说法：①向量 AO 与向量 OC 是相等的向量；②向量 OA 与向量 OC 是互为相反的向量；③向量 AB 与向量 CD 是相等的向量；④向量 BO 与向量 BD 是平行向量．其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2020·谯城模拟）已知：点C在线段AB上，且AC = 2BC，那么下列等式一定正确的是（　　）
A．AC+2  BC=43AB
B．AC−2  BC=0
C．|  AC+BC |=|  BC  |
D．|  AC−BC  |=|  BC  |
二、填空题
11．（2021九上·崇明期末）如图，在平行四边形ABCD中，点M是边CD中点，点N是边BC的中点，设AB=a，BC=b，那么MN可用a，b表示为　 　．

12．（2021九上·静安期末）如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点G，如果AD=a，BE=b，那么BC=　 　（用含向量a，b的式子表示）

13．（2021九上·青浦期末）计算：3a→−2(a→−2b→)=　 　．
14．（2021九上·杨浦期末）已知 a的长度为 2，b的长度为 4 ， 且b和a方向相反，用向量a表示向量b=　 　．
15．（2021九上·嘉定期末）已知向量a、b、x满足2(a−x)=3(b−x)，试用向量a、b表示向量x，那么x=　 　．
三、解答题
16．（2021九上·金山期末）如图，已知：四边形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，CMMB=CNND=2，设AB=a，AD=b．
求向量MN关于a、b的分解式．

17．（2021九上·奉贤期中）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，点E、F分别是AD、AC的中点，设 AC ＝ a ， AB ＝ b ，用 a 、 b 的线性组合表示向量 EF ．

18．（2019九上·普陀期中）如图，已知两个不平行的向量 a 、 b .先化简，再求作： (72a+b)−(32a+2b) .（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量）

19．（2018九上·金山期末）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，设 AB=a ， AD=b ，求向量 MN 关于 a 、 b 的分解式．

20．已知：如图，△ABC中，点D是AC边上的一点，且AD：DC=2：1．
=
（1）设BA→=a→，BC→=b→，先化简，再求作：-2a→-b→--3a→-32b→；
（2）用xa→+yb→（x、y为实数）的形式表示BD→．
四、综合题
21．（2021九上·崇明期末）如图，在△ABC中，点F为△ABC的重心，联结AF并延长交BC于点D，联结BF并延长交AC于点E．

（1）求S△DEFS△ABF的值；
（2）如果AB=a，AC=b，用a，b表示BE和AF．
22．（2021九上·虹口期末）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使CE=BC，联结AE交DC于点F，设AB=a，AD=b．

（1）用向量a、b表示DE；
（2）求作：向量AF分别在a、b方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论）
23．（2021九上·青浦期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE、BD相交于点F，BF=3DF．

（1）求AE：ED的值；
（2）如果DC=a，EA=b，试用a、b表示向量CF．
24．（2020九上·杨浦期末）如图，已知在梯形ABCD中，AB//CD，AB=12，CD=7，点E在边AD上， DEAE=23 ，过点E作EF//AB交边BC于点F.

（1）求线段EF的长；
（2）设 AB=a ， AD=b ，联结AF，请用向量 a,b 表示向量 AF .

答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵m=3a−23b ， n=12b+14a ，
∴m−4n = 3a−23b−4(12b+14a)=3a−23b−2b−a=2a−83b ．
故答案为：A．
【分析】根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．
2．【答案】C
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：

∵AC＝2BC，
∴BC＝ 13 AB，AC＝ 23 AB，
∴AC=23AB,BC=−13AB ，
∴AC+2BC=23AB−23AB=0 ，选项A不符合题意；
AC−2BC=23AB+23AB=43AB ，选项B不符合题意；
|AC+BC|=|23AB−13AB|=13AB,|BC|=13AB ，选项C一定符合题意；
|AC−BC|=|23AB+13AB|=AB ．选项D不符合题意；
ABD等式不成成立,选项C等式符合题意.
故答案为：C．
【分析】由AC＝2BC，可得BC＝ 13 AB，AC＝ 23 AB，据此逐一分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】梯形中位线定理；向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，点E、F分别是边AB、CD的中点，
∴EF= 12 （AD+BC），
∵AD= 12 BC，
∴EF= 34 BC，
∵BC=a ，
∴ ．
故选C．
【分析】首先根据梯形的中位线的性质，求得EF= 34 BC，又由 BC=a ，即可求得 EF 的值．
4．【答案】B
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵▱ABCD 的对角线AC和BD交于点O，
∴AB=CD，OA=OC=12AC，OB=OD ，AB∥CD
∴AB 和 DC 大小相同、方向相同，
∴AB=DC ，A选项不符合题意；
∵OA 和 OC 大小相同、方向相反，
∴OA+OC=0 ，故B选项符合题意；
∵OB 和 OD 的模相等
∴|OB|=|OD| ，C选项不符合题意；
∵AC 和 AO 方向相同， AC=2AO
∴AC=2AO ，D选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形的性质和三角形法则逐项判断即可。
5．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；向量的线性运算
【解析】【解答】解：根据题意知： a→⋅b→=（x+1）(x−3)+4（x−1）=(x+1)2−8 .
所以当x＝﹣1时， a→⋅b→=（−1+1）2−8=−8 .即 a→⋅b→ 的最小值是﹣8.
故答案为：B.
【分析】根据向量的乘法法则可得 a→⋅b→=(x+1)(x-3)+4(x-1)=(x+1)2-8，然后根据二次函数的性质可得最小值.
6．【答案】C
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于点D．

∵点G为重心，
∴点D为BC中点．
又∵AB=a，AC=b，
∴2AD=AB+AC=a+b，即AD=12a+12b，
∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，
∴AGAD=23，
∴AG=23AD=23(12a+12b)=13a+13b．
故答案为：C．

【分析】连接AG并延长，交BC于点D．根据AB=a，AC=b，得出AD=12a+12b，再根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】定义新运算；向量的线性运算
【解析】【解答】解：由 a⊥b ，则 a⋅b=0 ，即 x1⋅x2+y1⋅y2=0 ， a =(-2，x+1)， b =(3，x+2)，且 a⊥b ，
可得 −2×3+(x+1)(x+2)=0 ，
解方程得， x1=1 ， x2=−4 ，
故答案为：B．

【分析】根据向量垂直的定义，列出关于x的方程，通过解该方程求x的值即可。
8．【答案】C
【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算
【解析】【解答】∵AB=m,AD=n ，
∴BD=AD−AB=n−m ，
∵AD是△ABC中线，
∴BC=2BD=2n−2m ，
故答案为：C.

【分析】根据向量的三角形法则求出 BD ，即可得到 BC .
9．【答案】C
【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算
【解析】【解答】解：如图：

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，
∴①向量 AO 与向量 OC 是相等的向量，符合题意．
②向量 OA 与向量 OC 是互为相反的向量，符合题意．
③向量 AB 与向量 CD 是相等的向量；不符合题意．
④向量 BO 与向量 BD 是平行向量．符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可．
10．【答案】C
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：

∵AC＝2BC，
∴BC＝ 13 AB，AC＝ 23 AB，
∴AC=23AB，BC=−13AB ，
∴AC+2BC=23AB−23AB=0 ，选项A不符合题意；
AC−2BC=23AB+23AB=43AB ，选项B不符合题意；
|AC+BC |=|23AB−13AB|=13AB,|BC|=13AB ，选项C一定符合题意；
|AC−BC|=|23AB+13AB|=AB ．选项D不符合题意；ABD等式不成成立,选项C等式符合题意.
故答案为：C．
【分析】由已知点C在线段AB上，AC＝2BC，故可以知道C点是线段AB的一个三等分点，且靠近B点，所以有BC＝ 13 AB．
11．【答案】12a−12b
【知识点】平面向量及其表示；向量的线性运算
【解析】【解答】∵BC=b，
∴CB=−b．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=a，
∵点M是边CD中点，点N是边BC的中点，
∴MC=12AB=12a，CN=12CB=−12b，
∴MN=MC+CN=12a+(−12b)=12a−12b．
故答案为：12a−12b．

【分析】先根据中位线定理求出MC=12AB=12a，CN=12CB=−12b，再根据平面向量的加减运算法则求解。
12．【答案】23a+43b
【知识点】相似三角形的判定与性质；向量的线性运算
【解析】【解答】解：连接DE

∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，
∴AE=EC，BD=DC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB，
∴△DEG∽△ABG，
∴DEAB=DGAG=EGBG=12，
∴AG=2DG，BG=2EG，
∴GD=13AD=13a，−23BE=−23b，
∴BD=GD−GB=13a−(−23b)=13a+23b，
∴BC=2BD=23a+43b，
故答案为：23a+43b．

【分析】先证明△DEG∽△ABG，再利用相似三角形的性质可得DEAB=DGAG=EGBG=12，所以GD=13AD=13a，−23BE=−23b，再利用向量的线性运算可得BC=2BD=23a+43b。
13．【答案】a+4b
【知识点】实数与向量相乘运算法则；向量的线性运算
【解析】【解答】解：原式=3a→−2(a→−2b→)，
=a+4b，
故答案是：a+4b．
【分析】利用合并同类项法则计算求解即可。
14．【答案】−2a
【知识点】平行向量定理；向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵a的长度为2，b的长度为 4 ， 且b和a方向相反，
∴b=−2a，
故答案为：−2a．
【分析】根据a的长度为2，b的长度为 4 ， 且b和a方向相反，求解即可。
15．【答案】3b−2a
【知识点】向量的线性运算
【解析】【解答】解：∵2(a−x)=3(b−x)，
∴2a−2x=3b−3x，
∴3x−2x=3b−2a，
∴x=3b−2a．
故答案为：3b−2a．
【分析】先求出2a−2x=3b−3x，再求出3x−2x=3b−2a，最后求解即可。
16．【答案】解：连接BD．

∵CMMB=CNND=2，
∴MN∥BD，MNBD=23，
∴MN=23BD，
∵AB=a，AD=b，
∴BD=b−a，
∴MN=23b−23a．
【知识点】向量的线性运算
【解析】【分析】连接BD．根据CMMB=CNND=2，得出MN=23BD，再根据AB=a，AD=b，得出BD=b−a，即可得出结果。
17．【答案】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴AD=12(AB+AC) ．
∵点E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF=EA+AF ， AE=12AD=14AB+14AC
∴EF=−14AB−14AC+12AC=14AC−14AB=14a−14b ．
【知识点】向量的线性运算
【解析】【分析】根据平面向量的线性计算及三角形法则求解即可。
18．【答案】解： (72a+b)−(32a+2b)
= 72a+b−32a−2b
= 2a−b .
如图 AC 即为所求．

【知识点】向量的加法法则；向量的线性运算
【解析】【分析】首先利用平面向量的加减运算法则化简原式，再利用三角形法则画出图形．
19．【答案】解：连接BD,
∵点M、N分别是边DC、BC的中点，∴MN是△BCD的中位线，
∴MN∥BD，MN= 12 BD，
∵DB=AB-AD=a−b ，
∴MN=12a−12b
【知识点】向量的线性运算
【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，又由点M、N是边DC、BC的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得向量MN；
20．【答案】（1）-2a→-b→--3a→-32b→=a→+12b→.
（2）CA→=-a→+b→，DA→=23-a→+b→， BD→=BA→-DA→=a→-23-a→+b→=53a→-23b→.
【知识点】实数与向量相乘运算法则；向量的线性运算
【解析】【分析】（1）根据向量的加减法运算法则计算；（2）根据向量的加减法运算法则计算.
21．【答案】（1）解：∵F是三角形ABC的重心，
∴D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB，DE∥AB，
∴△ABF∽△DEF，
∴S△DEFS△ABF=(DEAB)2=14；

（2）解：∵F是△ABC的重心，
∴D、E分别是BC、AC的中点，
∵AB=a，AC=b，
∴AE=12AC=12b，
∴BE=AE−AB=12b−a，
∵△ABF∽△DEF，
∴BFEF=ABDE=2，
∴EF=12BF，
∴BF=23BE，
∴BF=23BE=13b−23a，
∴AF=AB+BF=13a+13b．
【知识点】相似三角形的判定与性质；向量的线性运算
【解析】【分析】（1）根据三角形重心的定义可知 DE是△ABC的中位线，根据中位线的性质得出DE∥AB， 且 DE=12AB， 再证明 △ABF∽△DEF， 根据相似三角形的性质即可求出答案；
（2）由已知 AE=12AC=12b， 再利用三角形法则可求出 BE=AE−AB=12b−a， 再根据三角形重心的性质得出 BF=23BE，再利用三角形法则即可得出答案。
22．【答案】（1）解：连接AC，
∵在平行四边形ABCD中，
∴AD∥CB，AD=CB，
∵CE=BC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE∥AC，
DE=AC=AB+AD=a+b；
（2）解：过点F作FM∥AB交AB于M，则向量AD、AM是向量AF分别在a、b方向上的分向量．

【知识点】平行四边形的性质；向量的线性运算
【解析】【分析】（1）利用三角形法则解决问题即可；
（2）利用平行四边形法则解决问题即可。
23．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC．
∴BCED=BFDF．
∵BF=3DF，
∴BFDF=3．
∴BCED=3．
∴ADED=3，即AE：ED=2．
（2）解：∵AE：ED=2：1，
∴DE=12EA．
∵EA=b，
∴DE=12b．
∵CE=DE−DC，
∴CE=12b−a．
∵AD//BC，
∴CFCE=BFBD．
∵BF=3DF，
∴BFBD=34．
∴CFCE=34．
∴CF=34CE．
∴CF=34(12b−a)=38b−34a．
【知识点】平行四边形的性质；平行线分线段成比例；向量的线性运算
【解析】【分析】（1）先求出 BCED=BFDF． 再求出 BCED=3，最后计算求解即可；
（2）先求出 DE=12b，再求出 CFCE=34，最后求解即可。
24．【答案】（1）解：过D作BC的平行线分别交EF于M，AB于G，

∵DEAE=23 ,∴DEAD=25 .
又∵EF∥AB，AB∥CD，AB=12，CD=7，
∴CD=MF=GB=7，
∴AG=5.
∵EMAG=DEAD=25,
∴EM= 25 AG=2.
∴EF=EM+MF=9．
（2）解：∵AB=a ， AD=b ，由（1）知，
AE=35AD=35b,EF=912AB=34a,∴AF=AE+EF=35b+34a.
【知识点】平行线分线段成比例；平面向量及其表示；向量的线性运算
【解析】【分析】(1)过D作BC的平行线分别交EF于M，AB于G，由DE：AE=2：3，即可求得 DEAD=25 ，然后在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=12，CD=7，根据平行线分线段成比例定理，即可求得EF的长．(2)根据（1）中的比例关系写出向量即可.