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初中25.3 解直角三角形精品当堂检测题
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这是一份初中25.3 解直角三角形精品当堂检测题，文件包含沪教版2022-2023学年度第一学期九年级数学254解直角三角形的应用同步测试学生版docx、沪教版2022-2023学年度第一学期九年级数学254解直角三角形的应用同步测试教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
（沪教版）2022-2023学年度第一学期九年级数学25.4 解直角三角形的应用 同步测试
一、单选题
1．（2021九上·舟山期末）如图，明年舟山将再添一个最高颜值城市新地标，新城长峙岛上将矗立起一座摩天轮，其直径为90m，旋转1周用时15min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光，摩天轮转动1周，小明在离地面68m以上的空中有多长时间？（ ）
A．3min B．5min C．6min D．10min
2．（2021九上·镇平县期末）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=θ，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（ ）
A．hsinθ B．hcosθ C．htanθ D．h⋅cosθ
3．（2021九上·莱芜期末）如图，给出了一种机器零件的示意图，其中CE=1米，BF=3米，则AB=（ ）
A．(1+3)米 B．(3−1)米 C．(2−3)米 D．(2+3)米
4．（2021九上·历城期末）如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB=10米，AE=15米，则宣传牌CD的高度是（ ）米
A．20−103 B．20+53 C．15+53 D．153−5
5．（2021九上·历下期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1:3，坝高BC为4m，则AC的长度为（ ）
A．8m B．43m C．83m D．433m
6．（2021九上·莱芜期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高DE=5m，斜坡BC的坡比为5:12，则斜坡BC=（ ）
A．13m B．8m C．18m D．12m
7．（2021九上·平邑期末）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km．某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）
A．4km B．23km C．22km D．（3＋1）km
8．（2022九上·平桂期末）如图，明明家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到这条公路的距离是（ ）
A．2503米 B．250米 C．50033米 D．5002米
9．（2021九上·东莞期末）东莞市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，操控者和教学楼BC的距离为60米，则教学楼BC的高度是（ ）米．
A．60−303 B．303 C．303−30 D．303−15
10．（2021九上·岑溪期末）某水库大坝的横断面是梯形，坝内一斜坡的坡度i＝1∶ 3 ，则这个斜坡的坡角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题
11．（2021九上·长沙期末）大围山野外滑雪场拥有一定倾斜度的高级道、专业练习道.有一段雪道的垂直高度约为200米，它的坡度为i＝1：3，那么这段雪道长约为 米（结果保留根号）.
12．（2021九上·长沙期末）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是 海里.（结果保留根号）
13．（2021九上·泰山期末）一条上山直道的坡度为1:3，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 米．
14．（2021九上·莱芜期末）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面203米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC之间的水平距离为80米，教学楼BC的高度 米．（注：点A、B、C、D都在同一平面上，参考数据：3≈1.7，结果保留整数）．
15．（2021九上·普宁期末）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.1m，则建筑物AB的高度约为 ．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
三、解答题
16．（2021九上·舟山期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC＝18cm，灯臂CD＝33cm，灯罩DE＝20cm，BC⊥AB，CD、DE分别可以绕点C、D上下调节一定的角度．经使用发现：当∠DCB＝140°，且ED∥AB时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面AB的距离．（精确到0.1cm，参考数值：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
17．（2021九上·镇平县期末）如图，某风景区内有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角β为45°，斜坡CD的坡度i＝3∶4，CD＝100米，在观景台C处测得瀑布顶端A的仰角α为37°，若点B、D、E在同一水平线上，求瀑布的落差AB.（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
18．（2021九上·遂宁期末）观音湖湿地公园，城市之湖，遂宁之芯，善美之地，是遂宁的一张美丽名片，其中，临仙阁彩拱翼舒，轩敞郎明，格外耀眼.某数学小组为测量临仙阁高度，作出了如下实验：在湖边观景台A处测得临仙阁顶部C的仰角为38°，沿着坡比为1:5的斜坡AB行走 1526 后至B处，走到临仙阁塔前广场，此时，发现临仙阁的底部D与广场在同一水平线上，并测得临仙阁顶部C的仰角为63°，求塔高.（结果取整数）
参考数据： sin38∘≈0.62,cos38∘≈0.79,tan38∘≈0.78 ， sin63∘≈0.9,cos63∘≈0.0.44tan63∘≈2
19．（2021九上·内江期末）如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度AD.已知测角仪的高度为1.6米，在水平线MD上点M处测得建筑物最高点A的仰角为 22° ，沿MD方向前进24米，达到点N处，测得点A的仰角为 45° ，求建筑物的高度AD.（结果精确到0.1米，参考数据： sin22°≈0.37 ， cos22°≈0.93 ， tan22°≈0.40 ， 2≈1.41 ）
20．（2021九上·兴宁期末）如图，某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度，在古塔左侧的A点处测得古塔顶端D的仰角为30°，然后向古塔底端C前进30米到达点B处，测得古塔顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一水平直线上，求古塔CD的高度．
21．（2021九上·莱芜期末）某校为检测师生体温，在学校门口安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图，身高1.7米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为58°．如果测温门顶部A处距地面的高度AD为3.3米，求小聪在有效测温区间MN的长度约为多少米？（结果保留一位小数，注：额头到地面的距离以身高计，sin58°≈0.8，cos58°≈0.5，tan58°≈1.6．）
22．（2021九上·历下期末）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=37°．求飞机A与指挥台B的距离．【参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75】．
23．（2021九上·全椒期末）如图，一艘快艇A在小岛B的西南方向上相距202海里处，另-艘快艇C在快艇A的正东方向上，而小岛B在快艇C的北偏东32°的方向上，已知快艇A的速度是402海里/时，若快艇A、C同时出发且同时到达小岛B，求快艇C的速度（精确到个位，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）
24．（2021九上·溧阳期末）小王是一名经验丰富的户外搜救人员，某日小王接到搜救任务去山里救助一名受伤的户外运动员；来到这座山的东侧A处，为了方便确定受伤人员具体位置，他在A处向上放出一架无人机搜寻，该无人机以每分钟60m的速度沿着仰角为60°的方向上升，5分钟后升到B处，这时小王通过无人机发现受伤人员在他的正西方向，且从无人机上看，受伤人员在它的俯角为45°方向，求小王与受伤人员间AC的距离.（结果保留根号）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，设C，D两点到地面距离为68m，过C作CE⊥地面于E，B为摩天轮最低点，连接OB交地面于A，延长BO交CD于M，
则OB=90×12=45m，AB=0.5m
连接CD
∵CD//地面内的AE
OA⊥AE
∴OA⊥CD于M
∵AM=CE=68
∴OM=AM-0B-AB=68-45-0.5=22.5
∴cos∠COM=OMOC=22.545=12
∴∠COM=60°
∴∠COD=60°
∴CD⏜的长⊙O的周长=120°360°=13
∵旋转一周共15 min
∴从C到D点共15×13=5 min
故答案为：B.
【分析】由题意，得出相关的一些线段长度，由三角函数，得出cos∠COM的值，得出∠COM的度数，得出∠COD的度数，从而得出满足题意时，在空中的时间为15min的三分之一，从而得出结果。
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AC⊥BC
∴∠ACB=90°
∴∠CAB+∠ABC=90°,∠BCD+∠ABC=90°,
∴∠BCD=∠CAB=θ
∵cos∠BCD=CDBC
∴BC=CDcos∠BCD=hcosθ
故答案为：B.
【分析】根据同角的余角相等，等量代换得∠BCD=∠CAB，由cos∠BCD=CDBC，代入数值即可求出BC得长度。
3．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】作AH⊥EF于H
由图知，BE与水平方向呈30°夹角，BF=3米
∴EF=BF·tan30°=3×33=1米
∵AC与水平方向呈45°夹角
∴△ACH是等腰直角三角形
∴CH=AH=FB=3米
∵CE=1米
∴AB=HF=CF−CH=CE+CF−CH=1+1−3=2−3米
故答案为：C
【分析】由图知，AB=HF=CF-CH=CE+CF-CH,根据已知条件利用解直角三角形求出CE、CF、CH即可。
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】过点B分别作AE、DE的垂线，垂足分别为G、F，如图
在Rt△ABG中，∠BAG=30゜
∴BG=12AB=5米，AG=AB·cos30°=10×32=53（米）
∴EG=AG+AE=(53+15)米
∵BG⊥AE，BF⊥ED，AE⊥ED
∴四边形BGEF是矩形
∴EF=BG=5米，BF=EG=(53+15)米
∵∠CBF=45゜，BF⊥ED
∴∠BCF=∠CBF=45゜
∴CF=BF=(53+15)米
在Rt△DAE中，∠DAE=60゜，AE=15米
∴DE=AE·tan∠DAE=153(米)
∴CD=CF+EF−DE=53+15+5−153=(20−103)米
故答案为：A
【分析】过点B分别作AE、DE的垂线，垂足分别为G、F，由图可知CD=CE-DE=CF+EF-DE,利用解直角三角形求出CF、EF、DE即可。
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】根据题意可知BCAC=13，
∴4AC=13，
解得：AC=43m，
故答案为：B．
【分析】根据坡比的定义即可求得AC。
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么，
∵坝高DE=5m，CF⊥AB，
∴DE=CF=5cm
又斜坡BC的坡比为5:12
∴BF=12cm，
在Rt△BCF中
BC=CF2+BF2
=52+122
=13cm
【分析】过点C作CF⊥AB，垂足为F，根据已知条件解直角三角形。
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】过点A作AD⊥OB，则AD=12OA=2km，根据题意可得：△ABD为等腰直角三角形，则AB=22km.
【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可得AB=22km.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意 ∠AOB=90°−60°=30°， OA=500，
∵AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∴AB=12AO=250米.
故答案为：B.
【分析】先根据方向角的定义得到∠AOB的度数，然后再根据含30°角的直角三角形的性质即可求出AB的长.
9．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】如图，过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，
由题意得：AB=60米，DE=30米，∠DAB=30°，∠DCF=45°，
在Rt△AED中，tan∠DAE=DEAE，
∴AE=DEtan∠DAE=30tan30°=303（米），
∵AB=60米，
∴BE=CF=AB−AE=60−303（米），
∵CF⊥DE，∠DCF=45°，
∴DF=CF=60−303（米），
∴BC=EF=DE−DF=30−(60−303)=303−30．
故答案为：C．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，根据正确的定义求出AE，根据提议求出BE，根据等腰直角三角形的性质求出DF，结合图形计算即可得出答案。
10．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵坡度为i=1∶ 3 ，
∴tanA= 13=33 ，
∵tan30°= 33 ，
∴这个斜坡的坡角为30°.
故答案为：A.
【分析】由坡度的定义可得tanA= 13=33 ，再利用30°的正切值即得结论.
11．【答案】20010
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵i＝BC：AC=1：3，垂直高度BC约为200米，
∴AC=600 （米），
∴这段雪道长 AB=BC2+AC2=2002+6002=20010 （米）.
故答案为： 20010 .
【分析】坡度，就是坡角的正切函数值，据此根据坡度结合BC的值可得AC，然后利用勾股定理求解即可.
12．【答案】206
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，交AC于点D.
由题可知 AB=2×20=40 海里， ∠DAB=(90−70)°+(90−50)°=60° ， ∠ABC=25°+50°=75° .
∴∠C=180°−∠DAB−∠ABC=180°−60−75°=45° ，
∵在 Rt△ABD 中， sin∠DAB=BDAB ，即 sin60°=BD40 ，
∴BD=40×32=203 海里.
∵在 Rt△BCD 中， sin∠C＝BDBC ，即 sin45°=203BC ，
∴BC=20322=206 海里.
故答案为： 206 .
【分析】过点B作BD⊥AC，交AC于点D，由题意可知AB=40海里，∠DAB=(90°-70°)+(90°-50°)=60°，∠ABC=75°，利用内角和定理求出∠C的度数，然后根据三角函数的概念即可求出BD、BC.
13．【答案】1010
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】设上升的高度为x米，
∵上山直道的坡度为1:3，
∴水平距离为3x，
由勾股定理得：x2+(3x)2=1002
解得：x=1010．
故答案为：1010．
【分析】设上升的高度为x米，水平距离为3x，根据勾股定理建立方程x2+(3x)2=1002，求解即可.
14．【答案】14
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】过点D作DE⊥AB于点E，作CF⊥DE于点F，
由题可得：
DE=203， ∠A=30°，∠DCF=45°，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴tan30°=DEAE=33，
∴AE=60，
∵AB=80，
∴BE=80−60=20，
∵∠FEB=∠CBE=∠CFE=90°，
∵四边形BCEF是矩形，
∴CF=BE=20，
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，
∴∠CDF=∠DCF=45°，
∴CF=DF=20，
∴BC=EF=DE−DF=203−20≈20×1.7−20=14米．
故答案为14米．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，作CF⊥DE于点F，由图可得：BC=EF=DE-DF,利用已知条件解直角三角形求出DE、DF即可。
15．【答案】7.1m
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
则四边形DCBE为矩形，
∴DE=BC=5，BE=CD=1.1，
在RtΔADE中，∠ADE=50°，tan∠ADE=AEDE，
则AE=DE⋅tan∠ADE≈5×1.19=5.95(m)，
∴AB=AE+BE=5.95+1.1≈7.1(m)，
故答案为：7.1m．
【分析】先求出DE=BC=5，BE=CD=1.1，再利用锐角三角函数计算求解即可。
16．【答案】解：如图，作DF⊥AB，CG⊥DF
则FG=BC=18，
在 Rt△CDG中， ∠DCG=∠DCB-∠GCB=140°-90°=50°，
DG=CD×sin∠CGD=CD×sin50°≈33×0.77=25.41，
∴DF=DG+FG=25.41+18≈43.4，
答： 此时点D到桌面AB的距离为 43.4cm .
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】作DF⊥AB，CG⊥DF，得出FG=BC，则可求出FG的长，在Rt△DGC中，利用正弦三角函数求出DG长，然后根据线段的和差关系求DF长即可.
17．【答案】解：
∵CEDE=34，
∴设CE＝3x，则DE＝4x
在直角△CDE中，CD＝100
∴（3x）2＋（4x）2＝1002
解得：x＝20
∴CE＝60，DE＝80
在直角△ADB中，
∵∠ADB＝45°，AB⊥BC
∴三角形ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD
作CF⊥AB于F，则四边形CEBF是矩形.
∴CE＝BF＝60，
CF＝BE＝AB＋80
AF＝AB－60，tan37°=AFCF=AB−60AB+80≈0.75
解得AB＝480.
答：瀑布的落差约为480米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】由题意设CE＝3x，则DE＝4x，在直角△CDE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求得x的值，在直角△ADB中，易得三角形ABD是等腰直角三角形，所以AB=BD，作CF⊥AB于F，则四边形CEBF是矩形，则CE＝BF，由线段的构成可将CF和AF用含AB的代数式表示出来，在直角三角形ACF中，根据锐角三角函数tan∠ACF=AFCF可得关于AB的方程，解方程可求解.
18．【答案】解：延长AF，CD交于点E，
∵AB的坡比为1:5 ，
∴BFAF=15 ，即： AF=5BF ，
又∵AB=BF2+AF2=1526 ，
∴BF=15m,AF=75m
∵tan63∘=CDBD≈2
∴CD=2BD
设 BD=xm ，则 CD=2xm ， FE=xm ，
在 Rt△ACE 中， tan∠CAE=tan38°=CEAE=2x+15x+75≈0.78 ，
解得： x≈35.65
∴CD=2×35.65=71.3≈71m
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长AF、CD交于点E，根据AB的坡比可得AF=5BF，由勾股定理以及AB的值可得BF、AF，根据tan63°的值可得CD=2BD，设BD=xm，则CD=2xm，FE=xm，根据∠CAE的正切函数可得x的值，进而可得CD.
19．【答案】解：延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝24米，DE＝CN＝BM＝1.6米，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x米，
∴BE＝24+x，
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°＝ AEBE ＝ x24+x ≈0.40，
解得：x＝16，
∴AD＝AE+ED＝16+1.6＝16.6（米），
答：建筑物的高度约为16.6米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，根据矩形的性质可得BC＝MN＝24米，DE＝CN＝BM＝1.6米，易得△ACE是等腰直角三角形，则CE＝AE，设AE＝CE＝x米，则BE＝24+x，根据三角函数的概念可得x的值，然后根据AD＝AE+ED进行计算.
20．【答案】解：由题意可知，AB=30，∠C=90°，∠A=30°，∠DBC=45°，
在Rt△BCD中，∠BDC=180°－90°－∠DBC=45°=∠DBC，
∴BC=CD．
设CD=x，则BC=x，AC=30+x，
在Rt△ACD中，
tan30°=CDAC=x30+x=33．
解得x=153＋15，
答：古塔CD的高度为（153＋15）米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先求出 BC=CD，再利用锐角三角函数求出x=153＋15， 最后作答即可。
21．【答案】解：如图延长BC交AD于点E
∵BM=CN，CN⊥DM，BM⊥DM
∴BM∥CN
∴四边形BCNM是平行四边形
∵∠CNM=∠BMN=90°
∴四边形BCNM是矩形
同理：四边形CEDN是矩形
∴DE=CN=BM=1.7米
∵AD=3.3米
∴AE=3.3−1.7=1.6米
在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=58°
∵tan∠ACE=AECE
∴CE=AEtan∠ACE=1.6tan58°≈1.0
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，∠ABE=45°
∵tan∠ABE=AEBE
∴BE=AEtan∠ABE=1.6tan45°≈1.6
∴MN=BC=BE−CE=1.6−1.0≈0.6米
答：小聪在有效测温区间MN的长度为0.6米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 延长BC交AD于点E ，则MN=BC=BE−CE，利用已知条件解直角三角形求出BE、CE即可。
22．【答案】解：在△ABC中，∵∠C=90°
∴sinB=ACAB，
∵∠B=∠α=37°，AC=1200m，
∴sin37°=1200AB，
∴AB=1200sin37°≈12000.6=2000(m)，
答：飞机A与指挥台B的距离约为2000米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 由图可知∠B=∠α=37°，解直角三角形即可求出AB。
23．【答案】解：作BD⊥AC垂足为D，
∵AB=202vA=402，
∴快艇A到达B的时间为202÷402=0.5（小时）
在Rt△ABD中 sin45°=BDAB，
∴BD=AB⋅sin45°=202×22=20，
在Rt△BCD中 sin58°=BDBC
BC=BDsin58°=200.85≈23.5，
vC=23.5÷0.5=47（海里/时）
答：快艇C的速度为47海里/时．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】作BD⊥AC，垂足为D，根据题意可得AB=202，vA=402，求出快艇A到达B的时间，根据 BD=AB⋅sin45°， BC=BDsin58°得BD、BC，据此可得快艇C的速度.
24．【答案】解：过点B向AC的延长线作垂线，垂足为D，如下图所示：
由题意可知 ∠BCD=45° ， ∠BAD=60° ， AB=5×60=300m ，
∵ 在 RtΔABD 中， sin∠BAD=BDAB=32 ， cos∠BAD=ADAB=12 ，
∴BD=1503m ， AD=150m ，
∵ 在 RtΔBCD 中， tan∠BCD=BDCD=1 ，
∴CD=1503m ，
∴AC=CD−AD=1503−150m .
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点B向AC的延长线作垂线，垂足为D，由题意可知∠BCD=45°，∠BAD=60°，AB=300m，根据三角函数的概念可得BD、AD、CD的值，然后根据AC=CD-AD进行计算.
（沪教版）2022-2023学年度第一学期九年级数学25.4 解直角三角形的应用 同步测试
一、单选题
1．（2021九上·舟山期末）如图，明年舟山将再添一个最高颜值城市新地标，新城长峙岛上将矗立起一座摩天轮，其直径为90m，旋转1周用时15min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光，摩天轮转动1周，小明在离地面68m以上的空中有多长时间？（ ）
A．3min B．5min C．6min D．10min
2．（2021九上·镇平县期末）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=θ，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（ ）
A．hsinθ B．hcosθ C．htanθ D．h⋅cosθ
3．（2021九上·莱芜期末）如图，给出了一种机器零件的示意图，其中CE=1米，BF=3米，则AB=（ ）
A．(1+3)米 B．(3−1)米 C．(2−3)米 D．(2+3)米
4．（2021九上·历城期末）如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB=10米，AE=15米，则宣传牌CD的高度是（ ）米
A．20−103 B．20+53 C．15+53 D．153−5
5．（2021九上·历下期末）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1:3，坝高BC为4m，则AC的长度为（ ）
A．8m B．43m C．83m D．433m
6．（2021九上·莱芜期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高DE=5m，斜坡BC的坡比为5:12，则斜坡BC=（ ）
A．13m B．8m C．18m D．12m
7．（2021九上·平邑期末）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km．某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）
A．4km B．23km C．22km D．（3＋1）km
8．（2022九上·平桂期末）如图，明明家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到这条公路的距离是（ ）
A．2503米 B．250米 C．50033米 D．5002米
9．（2021九上·东莞期末）东莞市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，操控者和教学楼BC的距离为60米，则教学楼BC的高度是（ ）米．
A．60−303 B．303 C．303−30 D．303−15
10．（2021九上·岑溪期末）某水库大坝的横断面是梯形，坝内一斜坡的坡度i＝1∶ 3 ，则这个斜坡的坡角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题
11．（2021九上·长沙期末）大围山野外滑雪场拥有一定倾斜度的高级道、专业练习道.有一段雪道的垂直高度约为200米，它的坡度为i＝1：3，那么这段雪道长约为 米（结果保留根号）.
12．（2021九上·长沙期末）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是 海里.（结果保留根号）
13．（2021九上·泰山期末）一条上山直道的坡度为1:3，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 米．
14．（2021九上·莱芜期末）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面203米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC之间的水平距离为80米，教学楼BC的高度 米．（注：点A、B、C、D都在同一平面上，参考数据：3≈1.7，结果保留整数）．
15．（2021九上·普宁期末）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.1m，则建筑物AB的高度约为 ．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
三、解答题
16．（2021九上·舟山期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC＝18cm，灯臂CD＝33cm，灯罩DE＝20cm，BC⊥AB，CD、DE分别可以绕点C、D上下调节一定的角度．经使用发现：当∠DCB＝140°，且ED∥AB时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面AB的距离．（精确到0.1cm，参考数值：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
17．（2021九上·镇平县期末）如图，某风景区内有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角β为45°，斜坡CD的坡度i＝3∶4，CD＝100米，在观景台C处测得瀑布顶端A的仰角α为37°，若点B、D、E在同一水平线上，求瀑布的落差AB.（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
18．（2021九上·遂宁期末）观音湖湿地公园，城市之湖，遂宁之芯，善美之地，是遂宁的一张美丽名片，其中，临仙阁彩拱翼舒，轩敞郎明，格外耀眼.某数学小组为测量临仙阁高度，作出了如下实验：在湖边观景台A处测得临仙阁顶部C的仰角为38°，沿着坡比为1:5的斜坡AB行走 1526 后至B处，走到临仙阁塔前广场，此时，发现临仙阁的底部D与广场在同一水平线上，并测得临仙阁顶部C的仰角为63°，求塔高.（结果取整数）
参考数据： sin38∘≈0.62,cos38∘≈0.79,tan38∘≈0.78 ， sin63∘≈0.9,cos63∘≈0.0.44tan63∘≈2
19．（2021九上·内江期末）如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度AD.已知测角仪的高度为1.6米，在水平线MD上点M处测得建筑物最高点A的仰角为 22° ，沿MD方向前进24米，达到点N处，测得点A的仰角为 45° ，求建筑物的高度AD.（结果精确到0.1米，参考数据： sin22°≈0.37 ， cos22°≈0.93 ， tan22°≈0.40 ， 2≈1.41 ）
20．（2021九上·兴宁期末）如图，某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度，在古塔左侧的A点处测得古塔顶端D的仰角为30°，然后向古塔底端C前进30米到达点B处，测得古塔顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一水平直线上，求古塔CD的高度．
21．（2021九上·莱芜期末）某校为检测师生体温，在学校门口安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图，身高1.7米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为58°．如果测温门顶部A处距地面的高度AD为3.3米，求小聪在有效测温区间MN的长度约为多少米？（结果保留一位小数，注：额头到地面的距离以身高计，sin58°≈0.8，cos58°≈0.5，tan58°≈1.6．）
22．（2021九上·历下期末）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=37°．求飞机A与指挥台B的距离．【参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75】．
23．（2021九上·全椒期末）如图，一艘快艇A在小岛B的西南方向上相距202海里处，另-艘快艇C在快艇A的正东方向上，而小岛B在快艇C的北偏东32°的方向上，已知快艇A的速度是402海里/时，若快艇A、C同时出发且同时到达小岛B，求快艇C的速度（精确到个位，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）
24．（2021九上·溧阳期末）小王是一名经验丰富的户外搜救人员，某日小王接到搜救任务去山里救助一名受伤的户外运动员；来到这座山的东侧A处，为了方便确定受伤人员具体位置，他在A处向上放出一架无人机搜寻，该无人机以每分钟60m的速度沿着仰角为60°的方向上升，5分钟后升到B处，这时小王通过无人机发现受伤人员在他的正西方向，且从无人机上看，受伤人员在它的俯角为45°方向，求小王与受伤人员间AC的距离.（结果保留根号）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，设C，D两点到地面距离为68m，过C作CE⊥地面于E，B为摩天轮最低点，连接OB交地面于A，延长BO交CD于M，
则OB=90×12=45m，AB=0.5m
连接CD
∵CD//地面内的AE
OA⊥AE
∴OA⊥CD于M
∵AM=CE=68
∴OM=AM-0B-AB=68-45-0.5=22.5
∴cos∠COM=OMOC=22.545=12
∴∠COM=60°
∴∠COD=60°
∴CD⏜的长⊙O的周长=120°360°=13
∵旋转一周共15 min
∴从C到D点共15×13=5 min
故答案为：B.
【分析】由题意，得出相关的一些线段长度，由三角函数，得出cos∠COM的值，得出∠COM的度数，得出∠COD的度数，从而得出满足题意时，在空中的时间为15min的三分之一，从而得出结果。
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AC⊥BC
∴∠ACB=90°
∴∠CAB+∠ABC=90°,∠BCD+∠ABC=90°,
∴∠BCD=∠CAB=θ
∵cos∠BCD=CDBC
∴BC=CDcos∠BCD=hcosθ
故答案为：B.
【分析】根据同角的余角相等，等量代换得∠BCD=∠CAB，由cos∠BCD=CDBC，代入数值即可求出BC得长度。
3．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】作AH⊥EF于H
由图知，BE与水平方向呈30°夹角，BF=3米
∴EF=BF·tan30°=3×33=1米
∵AC与水平方向呈45°夹角
∴△ACH是等腰直角三角形
∴CH=AH=FB=3米
∵CE=1米
∴AB=HF=CF−CH=CE+CF−CH=1+1−3=2−3米
故答案为：C
【分析】由图知，AB=HF=CF-CH=CE+CF-CH,根据已知条件利用解直角三角形求出CE、CF、CH即可。
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】过点B分别作AE、DE的垂线，垂足分别为G、F，如图
在Rt△ABG中，∠BAG=30゜
∴BG=12AB=5米，AG=AB·cos30°=10×32=53（米）
∴EG=AG+AE=(53+15)米
∵BG⊥AE，BF⊥ED，AE⊥ED
∴四边形BGEF是矩形
∴EF=BG=5米，BF=EG=(53+15)米
∵∠CBF=45゜，BF⊥ED
∴∠BCF=∠CBF=45゜
∴CF=BF=(53+15)米
在Rt△DAE中，∠DAE=60゜，AE=15米
∴DE=AE·tan∠DAE=153(米)
∴CD=CF+EF−DE=53+15+5−153=(20−103)米
故答案为：A
【分析】过点B分别作AE、DE的垂线，垂足分别为G、F，由图可知CD=CE-DE=CF+EF-DE,利用解直角三角形求出CF、EF、DE即可。
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】根据题意可知BCAC=13，
∴4AC=13，
解得：AC=43m，
故答案为：B．
【分析】根据坡比的定义即可求得AC。
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么，
∵坝高DE=5m，CF⊥AB，
∴DE=CF=5cm
又斜坡BC的坡比为5:12
∴BF=12cm，
在Rt△BCF中
BC=CF2+BF2
=52+122
=13cm
【分析】过点C作CF⊥AB，垂足为F，根据已知条件解直角三角形。
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】过点A作AD⊥OB，则AD=12OA=2km，根据题意可得：△ABD为等腰直角三角形，则AB=22km.
【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可得AB=22km.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意 ∠AOB=90°−60°=30°， OA=500，
∵AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∴AB=12AO=250米.
故答案为：B.
【分析】先根据方向角的定义得到∠AOB的度数，然后再根据含30°角的直角三角形的性质即可求出AB的长.
9．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】如图，过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，
由题意得：AB=60米，DE=30米，∠DAB=30°，∠DCF=45°，
在Rt△AED中，tan∠DAE=DEAE，
∴AE=DEtan∠DAE=30tan30°=303（米），
∵AB=60米，
∴BE=CF=AB−AE=60−303（米），
∵CF⊥DE，∠DCF=45°，
∴DF=CF=60−303（米），
∴BC=EF=DE−DF=30−(60−303)=303−30．
故答案为：C．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，根据正确的定义求出AE，根据提议求出BE，根据等腰直角三角形的性质求出DF，结合图形计算即可得出答案。
10．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵坡度为i=1∶ 3 ，
∴tanA= 13=33 ，
∵tan30°= 33 ，
∴这个斜坡的坡角为30°.
故答案为：A.
【分析】由坡度的定义可得tanA= 13=33 ，再利用30°的正切值即得结论.
11．【答案】20010
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
∵i＝BC：AC=1：3，垂直高度BC约为200米，
∴AC=600 （米），
∴这段雪道长 AB=BC2+AC2=2002+6002=20010 （米）.
故答案为： 20010 .
【分析】坡度，就是坡角的正切函数值，据此根据坡度结合BC的值可得AC，然后利用勾股定理求解即可.
12．【答案】206
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，交AC于点D.
由题可知 AB=2×20=40 海里， ∠DAB=(90−70)°+(90−50)°=60° ， ∠ABC=25°+50°=75° .
∴∠C=180°−∠DAB−∠ABC=180°−60−75°=45° ，
∵在 Rt△ABD 中， sin∠DAB=BDAB ，即 sin60°=BD40 ，
∴BD=40×32=203 海里.
∵在 Rt△BCD 中， sin∠C＝BDBC ，即 sin45°=203BC ，
∴BC=20322=206 海里.
故答案为： 206 .
【分析】过点B作BD⊥AC，交AC于点D，由题意可知AB=40海里，∠DAB=(90°-70°)+(90°-50°)=60°，∠ABC=75°，利用内角和定理求出∠C的度数，然后根据三角函数的概念即可求出BD、BC.
13．【答案】1010
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】设上升的高度为x米，
∵上山直道的坡度为1:3，
∴水平距离为3x，
由勾股定理得：x2+(3x)2=1002
解得：x=1010．
故答案为：1010．
【分析】设上升的高度为x米，水平距离为3x，根据勾股定理建立方程x2+(3x)2=1002，求解即可.
14．【答案】14
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】过点D作DE⊥AB于点E，作CF⊥DE于点F，
由题可得：
DE=203， ∠A=30°，∠DCF=45°，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴tan30°=DEAE=33，
∴AE=60，
∵AB=80，
∴BE=80−60=20，
∵∠FEB=∠CBE=∠CFE=90°，
∵四边形BCEF是矩形，
∴CF=BE=20，
在Rt△DCF中，∠DFC=90°，
∴∠CDF=∠DCF=45°，
∴CF=DF=20，
∴BC=EF=DE−DF=203−20≈20×1.7−20=14米．
故答案为14米．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，作CF⊥DE于点F，由图可得：BC=EF=DE-DF,利用已知条件解直角三角形求出DE、DF即可。
15．【答案】7.1m
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
则四边形DCBE为矩形，
∴DE=BC=5，BE=CD=1.1，
在RtΔADE中，∠ADE=50°，tan∠ADE=AEDE，
则AE=DE⋅tan∠ADE≈5×1.19=5.95(m)，
∴AB=AE+BE=5.95+1.1≈7.1(m)，
故答案为：7.1m．
【分析】先求出DE=BC=5，BE=CD=1.1，再利用锐角三角函数计算求解即可。
16．【答案】解：如图，作DF⊥AB，CG⊥DF
则FG=BC=18，
在 Rt△CDG中， ∠DCG=∠DCB-∠GCB=140°-90°=50°，
DG=CD×sin∠CGD=CD×sin50°≈33×0.77=25.41，
∴DF=DG+FG=25.41+18≈43.4，
答： 此时点D到桌面AB的距离为 43.4cm .
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】作DF⊥AB，CG⊥DF，得出FG=BC，则可求出FG的长，在Rt△DGC中，利用正弦三角函数求出DG长，然后根据线段的和差关系求DF长即可.
17．【答案】解：
∵CEDE=34，
∴设CE＝3x，则DE＝4x
在直角△CDE中，CD＝100
∴（3x）2＋（4x）2＝1002
解得：x＝20
∴CE＝60，DE＝80
在直角△ADB中，
∵∠ADB＝45°，AB⊥BC
∴三角形ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD
作CF⊥AB于F，则四边形CEBF是矩形.
∴CE＝BF＝60，
CF＝BE＝AB＋80
AF＝AB－60，tan37°=AFCF=AB−60AB+80≈0.75
解得AB＝480.
答：瀑布的落差约为480米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】由题意设CE＝3x，则DE＝4x，在直角△CDE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求得x的值，在直角△ADB中，易得三角形ABD是等腰直角三角形，所以AB=BD，作CF⊥AB于F，则四边形CEBF是矩形，则CE＝BF，由线段的构成可将CF和AF用含AB的代数式表示出来，在直角三角形ACF中，根据锐角三角函数tan∠ACF=AFCF可得关于AB的方程，解方程可求解.
18．【答案】解：延长AF，CD交于点E，
∵AB的坡比为1:5 ，
∴BFAF=15 ，即： AF=5BF ，
又∵AB=BF2+AF2=1526 ，
∴BF=15m,AF=75m
∵tan63∘=CDBD≈2
∴CD=2BD
设 BD=xm ，则 CD=2xm ， FE=xm ，
在 Rt△ACE 中， tan∠CAE=tan38°=CEAE=2x+15x+75≈0.78 ，
解得： x≈35.65
∴CD=2×35.65=71.3≈71m
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长AF、CD交于点E，根据AB的坡比可得AF=5BF，由勾股定理以及AB的值可得BF、AF，根据tan63°的值可得CD=2BD，设BD=xm，则CD=2xm，FE=xm，根据∠CAE的正切函数可得x的值，进而可得CD.
19．【答案】解：延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝24米，DE＝CN＝BM＝1.6米，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x米，
∴BE＝24+x，
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°＝ AEBE ＝ x24+x ≈0.40，
解得：x＝16，
∴AD＝AE+ED＝16+1.6＝16.6（米），
答：建筑物的高度约为16.6米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，根据矩形的性质可得BC＝MN＝24米，DE＝CN＝BM＝1.6米，易得△ACE是等腰直角三角形，则CE＝AE，设AE＝CE＝x米，则BE＝24+x，根据三角函数的概念可得x的值，然后根据AD＝AE+ED进行计算.
20．【答案】解：由题意可知，AB=30，∠C=90°，∠A=30°，∠DBC=45°，
在Rt△BCD中，∠BDC=180°－90°－∠DBC=45°=∠DBC，
∴BC=CD．
设CD=x，则BC=x，AC=30+x，
在Rt△ACD中，
tan30°=CDAC=x30+x=33．
解得x=153＋15，
答：古塔CD的高度为（153＋15）米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先求出 BC=CD，再利用锐角三角函数求出x=153＋15， 最后作答即可。
21．【答案】解：如图延长BC交AD于点E
∵BM=CN，CN⊥DM，BM⊥DM
∴BM∥CN
∴四边形BCNM是平行四边形
∵∠CNM=∠BMN=90°
∴四边形BCNM是矩形
同理：四边形CEDN是矩形
∴DE=CN=BM=1.7米
∵AD=3.3米
∴AE=3.3−1.7=1.6米
在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=58°
∵tan∠ACE=AECE
∴CE=AEtan∠ACE=1.6tan58°≈1.0
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，∠ABE=45°
∵tan∠ABE=AEBE
∴BE=AEtan∠ABE=1.6tan45°≈1.6
∴MN=BC=BE−CE=1.6−1.0≈0.6米
答：小聪在有效测温区间MN的长度为0.6米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 延长BC交AD于点E ，则MN=BC=BE−CE，利用已知条件解直角三角形求出BE、CE即可。
22．【答案】解：在△ABC中，∵∠C=90°
∴sinB=ACAB，
∵∠B=∠α=37°，AC=1200m，
∴sin37°=1200AB，
∴AB=1200sin37°≈12000.6=2000(m)，
答：飞机A与指挥台B的距离约为2000米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 由图可知∠B=∠α=37°，解直角三角形即可求出AB。
23．【答案】解：作BD⊥AC垂足为D，
∵AB=202vA=402，
∴快艇A到达B的时间为202÷402=0.5（小时）
在Rt△ABD中 sin45°=BDAB，
∴BD=AB⋅sin45°=202×22=20，
在Rt△BCD中 sin58°=BDBC
BC=BDsin58°=200.85≈23.5，
vC=23.5÷0.5=47（海里/时）
答：快艇C的速度为47海里/时．
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】作BD⊥AC，垂足为D，根据题意可得AB=202，vA=402，求出快艇A到达B的时间，根据 BD=AB⋅sin45°， BC=BDsin58°得BD、BC，据此可得快艇C的速度.
24．【答案】解：过点B向AC的延长线作垂线，垂足为D，如下图所示：
由题意可知 ∠BCD=45° ， ∠BAD=60° ， AB=5×60=300m ，
∵ 在 RtΔABD 中， sin∠BAD=BDAB=32 ， cos∠BAD=ADAB=12 ，
∴BD=1503m ， AD=150m ，
∵ 在 RtΔBCD 中， tan∠BCD=BDCD=1 ，
∴CD=1503m ，
∴AC=CD−AD=1503−150m .
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点B向AC的延长线作垂线，垂足为D，由题意可知∠BCD=45°，∠BAD=60°，AB=300m，根据三角函数的概念可得BD、AD、CD的值，然后根据AC=CD-AD进行计算.
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