初中沪教版 (五四制)26.2 特殊二次函数的图像精品随堂练习题

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（沪教版）2022-2023学年度第一学期九年级数学26.1 特殊二次函数的图像 同步测试
一、单选题
1．（2021九上·舒城期末）二次函数y=-（x+2）2+1的顶点坐标为（ ）
A．（-2，1） B．（2，1） C．（2，-1） D．（-2，-1）
2．（2021九上·全椒期末）抛物线y=3(x−1)2+8的顶点坐标为（　　）
A．(1，8) B．(−1，8) C．(−1，−8) D．(1，−8)
3．（2021九上·丰台期末）抛物线y=(x−4)2+1的对称轴是（　　）
A．x=4 B．x=1 C．x=−1 D．x=−4
4．（2021九上·中山期末）抛物线y＝（x﹣1）2＋2的顶点坐标是（　　）
A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
5．（2021九上·天河期末）抛物线y＝2（x+1）2不经过的象限是（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
6．（2021九上·朝阳期末）对于二次函数y=−(x−1)2的图象的特征，下列描述正确的是（　　）
A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上
7．（2021九上·温州月考）二次函数y=(x−2)2−5的对称轴为（　　）
A．直线x＝5 B．直线x＝2 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝﹣5
8．（2021九上·淮滨月考）二次函数y＝12（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　）
A．向上，直线x＝4，（4，5）
B．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5）
C．向上，直线x＝4，（4，﹣5）
D．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5）
9．（2021九上·舟山月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，把它内部及边上的横、纵坐标均为整数的点称为整点，点P为抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点（m为整数），当点P在正方形OABC内部或边上时，抛物线下方（包括边界）的整点最少有（　　）

A．3个 B．5个 C．10个 D．15个
10．（2021九上·龙凤期中）二次函数 y=−3(x+4)2+5 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　）
A．向上、直线 x=4 ， (4，5)
B．向上、直线 x=−4 ， (−4，5)
C．向下、直线 x=4 ， (4，−5)
D．向下、直线 x=−4 ， (−4，5)
二、填空题
11．（2021九上·番禺期末）抛物线y＝2（x﹣3）2＋7的顶点坐标为　 　．
12．（2021九上·淮阴月考）抛物线y=2x2的图象开口向 　 　（填“上”或“下”）.
13．（2021九上·柯桥月考）如图，“心”形是由抛物线 y=−x2+6 和它绕着原点O，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D，点A，B是两条抛物线的两个交点，点E，F，G是抛物线与坐标轴的交点，则AB= 　 　．

14．（2021九上·鹿城期中）二次函数 y=−3(x+1)2+5 的对称轴是直线 x=　 　
15．（2021九上·江州期中）已知抛物线y=(m－1) x 2开口向下，则m的取值范围是　 　.
三、解答题
16．（2021九上·黄冈月考）用配方法把函数 y=−3x2−6x+10 化成 y=a（x−h）2+k 的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值.
17．（2021九上·余杭月考）已知抛物线顶点为（1，﹣4），且又过点（2，﹣3）.求抛物线的解析式.
18．（2021九上·永定期末）抛物线y＝2x2＋4mx＋m－5的对称轴为直线x＝1，求m的值及抛物线的顶点坐标.
19．（2020九上·椒江期中）已知二次函数y＝x2﹣4x+3.
①求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
②求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点；
③直接写出y＞0时x的范围
20．（2019九上·番禺期末）画出函数 的图象，写出它的开口方向，对称轴和顶点，并说明当y随x的增大而增大时，x的取值范围．
21．用配方法把二次函数 y=−2x2+6x+4 化为 y=a(x+m)2+k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
22．在同一坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的图象，并说明y2，y3的图象与y1＝2x2的图象的关系．
23．在同一坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的图象，并说明y2，y3的图象与y1＝2x2的图象的关系．
24．（2017九上·杭州月考）某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系．观察图像， 你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？（至少写出四条）


答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数y=-（x+2）2+1的顶点坐标为（-2，1）．
故答案为：A.
【分析】二次函数的顶点式为：y=a(x-h)2+k，其中顶点坐标为（h，k），据此解答.
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线y=3(x−1)2+8的顶点坐标为(1，8)，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可。
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线y=(x−4)2+1的对称轴是直线x=4，
故答案为：A．

【分析】根据抛物线顶点式的解析式可得对称轴为直线x=4。
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2＋2的顶点坐标为(1，2)，
故答案为：D．

【分析】根据抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可。
5．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵ y＝2（x+1）2，a=2>0开口向上，顶点坐标为(−1，0)
∴该函数不经过第三、四象限
如图，

故答案为：C

【分析】根据二次函数的图象不经过第三、四象限，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：在二次函数y=−(x−1)2中，
∵a=−1<0，
∴图像开口向下，故A不符合题意；
令x=0，则y=−(0−1)2=−1≠0，
∴图像不经过原点，故B不符合题意；
二次函数y=−(x−1)2的对称轴为直线x=1，故C不符合题意；
二次函数y=−(x−1)2的顶点坐标为(1，0)，
∴顶点在x轴上，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】二次函数y=−(x−1)2中，a=-1＜0，开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，0），与x轴的交点坐标为（0，-1）据此逐一判断即可.
7．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：由二次函数y=(x−2)2−5可知，
其图象的对称轴是直线：x=2.
故答案为：B.
【分析】二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h，据此可求出此二次函数的对称轴.
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数y＝12（x+4）2+5，
∵a=12>0
∴该函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣4，顶点坐标为（﹣4，5），
故答案为：D.
【分析】二次函数y=a(x-h)2+k中，当a>0时，开口向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k），据此判断.
9．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵点P为抛物线y= - (x - m)2+m+2的顶点(m为整数)，
∴P点的坐标为(m，m+2)，
∵点P在正方形OABC内部或边上，
∴当m=0时，抛物线y= -x2+2，此时抛物线下方（包括边界）的整点最少，
当x=1时，y=1，
∵正方形OABC的边长为4，把它内部及边上的横、纵坐标均为整数的点称为整点，

∴当m=0时，抛物线y= - x2+2下方(包括边界)的整点有：(0， 2)，(0， 1)， (0， 0)，(1， 0)，(1， 1)，
即当点P在正方形OABC内部或边上时，抛物线下方(包括边界)的整点最少有5个.
故答案为：B.

【分析】先把顶点坐标表示出来，由于点P在正方形OABC内部或边上，得出当m=0时，抛物线y= -x2+2，此时抛物线下方（包括边界）的整点最少，根据题意画出草图，从而可以得到抛物线下方（包括边界）的整点最少点的坐标，即可作答.
10．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为 y=−3(x+4)2+5
∴a=−3<0
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣4，顶点坐标为（﹣4，5），
故答案为：D．

【分析】根据抛物线的顶点式可直接得到对称轴、顶点坐标，再结合a的值可得开口方向。
11．【答案】（3，7）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵y=2(x−3)2+7为抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
∴抛物线的顶点坐标为（3，7），
故答案为：（3，7）．

【分析】根据抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可。
12．【答案】上
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为y=2x2，a=2>0，
∴该抛物线开口向上，
故答案为：上.
【分析】抛物线y=ax2（a≠0），当a>0时，抛物线的开口向上，当a<0，抛物线的开口向下，依此解答即可.
13．【答案】63
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；旋转的性质；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：如图，连接OD，作BP⊥x轴，垂足为M，作AP⊥y轴，垂足为N，AP，BP相交于点P，

∵点C绕原点O旋转60°得到点D，
.∠COD=60° ，
由“心”形的对称性得AB为对称轴，
∴OB平分∠COD，
∴∠COB=30°，
∴∠BOG=60° ，
设OM=k，在Rt△OBM中，BM=OMtan∠BOM =3k，
∴点B坐标为(k，3k)，
∵点B在抛物线y= - x2+6上，
- k2+6=3k，
解得k1=3，k2=-23，
∴点B坐标为(3，3)，点A的坐标为( -23，-6)，
∴AP=33，BP=9，
在Rt△ABP中，AB=AP2+BP2 =63.
故答案为：63.

【分析】连接OD，作BP⊥x轴，垂足为M，作AP⊥y轴，垂足为N，AP，BP相交于点P，根据旋转的性质和“心形的对称性得到∠COB=30°，∠BOG=60°， 设OM=k，得到点B坐标为(k，3k)，把点B代入y= -x2+6中，求出k的值，即可得到A、B点坐标，最后根据勾股定理求出AB即可.
14．【答案】-1
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数解析式为 y=−3(x+1)2+5 ，
∴对称轴为：直线 x=−1 .
故答案为：-1.
【分析】二次函数的顶点式为：y=a(x-h)2+k，对称轴为直线x=h，据此解答.
15．【答案】m<1
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：由 题意可知：m-1＜0，
∴m＜1；
故答案为：m＜1.
【分析】 抛物线y=a x 2，当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下，据此解答即可.
16．【答案】解：∵y=−3x2−6x+10=−3（x+1）2+13 ，
∴开口向下，对称轴x=-1，顶点坐标（-1，13），最大值13.
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】将二次函数的解析式化为顶点式就可得到开口方向、对称轴、顶点坐标以及最大值.
17．【答案】解：∵抛物线顶点为（1，﹣4），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（2，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，
解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】先把抛物线的解析式写成顶点式，再利用待定系数法求函数解析式即可.
18．【答案】解：∵y＝2x2＋4mx＋m－5的对称轴为直线x＝1，
∴－ 4m2×2 ＝1，
解得m＝－1，
∴y＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8，
∴此抛物线的顶点坐标为(1，－8)，
∴m的值是－1，抛物线的顶点坐标是(1，－8).
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】根据对称轴直线公式及对称轴直线x=1可得m的值，然后代入可得抛物线的解析式，将其化为顶点式就可得到顶点坐标.
19．【答案】解：①∵二次函数y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴该函数图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）；
②当x=0时，y=3，
当y=0时，0=x2﹣4x+3=（x﹣3）（x﹣1），得x1=3，x2=1，
即该函数图象与坐标轴的交点为（0，3），（1，0），（3，0）；
③∵二次函数y=x2﹣4x+3的图象开口向上，与x轴的交点为（1，0），（3，0），
∴y＞0时x的取值范围是x＜1或x＞3.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【分析】①把二次函数的一般形式改写为顶点式可得对称轴和顶点坐标；
②二次函数与x轴交点的纵坐标为0，故令y=0，求解 一元二次方程x2﹣4x+3 =0即可；
③求出二次函数的图象在x轴上方部分相应的自变量的取值范围即可.
20．【答案】解：解：函数的图象如图所示，
∵抛物线的开口向上，对称轴为x=6，顶点坐标为（6,3）
当x＞6时，y随x的增大而增大
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】画出二次函数的图象，结合图象即可得到函数的性质。
21．【答案】解： y=−2x2+6x+4 ，
= =−2(x2−3x+94)+4+92 ，
= =−2(x−32)2+172=−2[x+(−32)]2+172 ，
开口向下，对称轴为直线 x=32 ，顶点 (32，172)
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】二次项系数不为1时，需提取出二次项系数，然后在原式的基础上加上一次项系数的一半的平方再减去一次项系数的一半的平方，可配成y = a ( x + h ) 2 + k 的形式，a<0.开口向下，进而求出对称轴 ，顶点坐标.
22．【答案】解：如图，

y2的图象由y1=2x2的图象向右平移2个单位得到；
y3的图象由y1=2x2的图象向左平移2个单位得到．
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】由图像可知：y1=2x2向右平移2个单位长度可得抛物线y2=2x-22；y1=2x2向左平移2个单位长度可得抛物线y3=2x+22。
23．【答案】解：如图，y2的图象由y1=2x2的图象向右平移2个单位得到；y3的图象由y1=2x2的图象向左平移2个单位得到．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【分析】利用描点法画出三个函数图象，再根据函数图象之间的关系（平移），即可解答。
24．【答案】解：由图象可知：
7 月份蔬菜的销售价格最低为 0.5 元/千克；
2 月份蔬菜的销售为 3.5 元/千克；
1-7 月份蔬菜的销售价格逐月下降；
7-12 月份蔬菜的销售价格逐月上升；
6 月与 8 月蔬菜的销售价格相同；
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】根据图像上的特殊点，比如（7，0.5），（2，3.5）来分析，结合二次函数图象的性质即可得出答案.