专题24.1 阴影面积（强化）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版）

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11．如图，点、、在上，若，，则图中阴影部分的面积是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
故选：．
15．如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：四边形是矩形，，
，，
，
，
，，
，
阴影部分的面积
．
故选：．
35．如图，点在的直径的延长线上，点在上，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接．
，，
．
，
．
．即，
是的切线．
（2）解：，
．
．
在中，
，
．
，
，
图中阴影部分的面积为：．
【题组训练】
一．选择题（共15小题）
1．如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则四边形的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，连接，
，，
，，
，
在中，，
，
四边形的面积．
故选：．
2．如图，在中，直径，切于，交于，若，则图中阴影部分的面积为
A．B．2C．D．1
【解答】解：连接，
直径，切于，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故选：．
3．如图，，，的半径都是，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是
A．B．C．D．
【解答】解：，
阴影部分的面积．
故选：．
4．如图，以为直径，点为圆心的半圆经过点，若，则图中阴影部分的面积是
A．B．C．D．
【解答】解：为直径，
，
，
为等腰直角三角形，
，
和都是等腰直角三角形，
，，
．
故选：．
5．如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：正六边形的外角和为，
每一个外角的度数为，
正六边形的每个内角为，
正六边形的边长为6，
，
故选：．
6．如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是
A．B．C．D．
【解答】解：连接，，
，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积，
故选：．
7．如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作，垂足为点，若的半径为，，则阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
作于，
在中，，
，
，
，
．
故选：．
8．如图，在中，点为的内心，，，．则的面积是
A．B．C．2D．4
【解答】解：过点作的延长线于点．
点为的内心，，
，
，
则，
，
，，
，
的面积，
故选：．
9．如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是
A．B．C．D．
【解答】解：如图：
正方形的面积；①
两个扇形的面积；②
②①，得：．
故选：．
10．如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，为的直径，连接．若，的半径为2，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：过点作于，
为的切线，
，
，
，
，，
的半径为2，
，，
，
图中阴影部分的面积为：．
故选：．
12．如图，点、、、都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，弧经过格点，则扇形的面积是
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，扇形的半径，，
扇形的面积．
故选：．
13．三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点为扇形的圆心，格点，，分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：连接，
由勾股定理得：，
由正方形的性质得：，
所以扇形的面积为：，
故选：．
14．如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：正六边形的边长为2，
，，
，
，
过作于，
，，
在中，
，
，
同理可证，，
，
，
图中阴影部分的面积为，
故选：．
二．填空题（共12小题）
16．如图，在中，以点为圆心，的长为半径的圆恰好与相切于点，交于点，延长与相交于点．若的长为，则图中阴影部分的面积为 ．
【解答】解：连接，
是的切线，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
又四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
的长为，
，
解得：，
．
故答案为：．
17．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积是 （结果保留．
【解答】解：过点作于点．
，，，
，，
阴影部分的面积：
．
故答案为：．
18．如图，在扇形中，，点为的中点，交于点，以点为圆心，的长为半径作交于点．若，则阴影部分的面积为 ．
【解答】解：连接、，
点为的中点，
，，
为等边三角形，
，
．
故答案为：．
19．如图，在中，，，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为 ．
【解答】解：连接，
，，
，
点为的中点，
，，，
，，
在和中，
，
，
．
．
故答案为．
20．如图，将矩形绕点沿顺时针方向旋转到矩形的位置，，，则阴影部分的面积为 ．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
阴影部分的面积是，
故答案为：．
21．如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点，连接，则图中阴影部分的面积是 ．
【解答】解：在中，，
是半圆的直径，
，
在等腰中，垂直平分，，
为半圆的中点，
．
故答案为．
22．如图，是半圆的直径，点、是半圆的三等分点，若弦，则图中阴影部分的面积为 ．
【解答】解：如图连接、、．
点、是半圆的三等分点，
，
，
、是等边三角形，
，，
，
，
．
23．如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留
【解答】解：四边形是矩形，
，，,
，，
图中阴影部分的面积为：，
故答案为：．
24．如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
【解答】解：连接，
过点的切线交的延长线于点，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
25．如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为 ．
【解答】解：连接，，
四边形是正方形，
，
是的直径，，
，分别与相切于点和点，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
26．如图，点，，是上的点，连接，，，且，过点作交于点，连接，，已知半径为2，则图中阴影面积为 ．
【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
27．如图，将绕点顺时针旋转得到△，已知，，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为 ．
【解答】解：绕点旋转得到△，
△，
，．
扫过的图形的面积，
扫过的图形的面积，
扫过的图形的面积．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
28．如图，正六边形内接于，是的直径，连接，延长，过作，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
29．如图，为的直径，射线交于点，点为劣弧的中点，过点作，垂足为，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）连接，，
是的直径，
，即，
，
，
点为劣弧的中点，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）连接，，
，，
，
点为劣弧的中点，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积，
，
，
，
即阴影部分的面积为：．
30．如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为2，，，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）直线与相切．理由如下：
连接、，如图，
是的切线，
，
，
点是的中点，点为的中点，
，
，，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
为的切线；
（2）点是的中点，
，
，
图中阴影部分的面积．
31．如图，是的直径，，四边形是平行四边形，交于点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和．
【解答】（1）证明：如图连接．
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
是的切线．
（2）解：，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，，，
，
．
32．如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若．
（1）求证：是的切线：
（2）若，，求的半径；
（3）若，，求阴影部分的面积．（结果保留根号）
【解答】（1）证明：连接、，如图，
为的下半圆弧的中点，
，
，
，
，
而，
，
，
，
，即，
，
是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
在中，，解得，（舍去），
即的半径为6；
（3）解：，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
在中，，
阴影部分的面积．
33．如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，，垂足为，是与的交点，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在圆上，为圆的半径，
是圆的切线；
（2）
在中，，，
，
在中，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
阴影部分的面积为．
34．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式海伦公式（其中，，是三角形的三边长，，为三角形的面积），并给出了证明
例如：在中，，，，那么它的面积可以这样计算：
，，
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在中，，，
（1）用海伦公式求的面积；
（2）求的内切圆半径．
【解答】解：（1），，，
，
；
故的面积；
（2），
，
解得：，
故的内切圆半径．