专题24.3 圆与三角形的综合（压轴题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学上册从重点到压轴（人教版）（解析+原卷）

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【典例1】在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，点D是△ABC外一动点（点B，点D位于AC两侧），连接CD，AD．
（1）如图1，点O是AB的中点，连接OC，OD，当△AOD为等边三角形时，∠ADC的度数是 ；
（2）如图2，连接BD，当∠ADC＝135°时，探究线段BD，CD，DA之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，点D在AC上，点E为AB上一点，连接CE，DE，当AE＝1，
BE＝7时，直接写出△CDE面积的最大值及此时线段BD的长．
【思路点拨】
（1）由等腰直角三角形的性质得∠COA＝90°，CO＝OA，再由等边三角形的性质得OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，然后求出∠ODC＝75°，即可求解；
（2）过点C作CH⊥CD交AD的延长线于点H，证△ACH≌△BCD（SAS），得BD＝AH＝HD+DA=2CD+AD；
（3）连接OC，由勾股定理得CE＝5，过点O作ON⊥CE于N，延长ON交⊙O于点D，此时点D到CE的距离最大，△CDE面积的面积最大，然后由三角形面积求出ON=125，则DN＝OD﹣ON=85，即可求解三角形CDE的面积最大值，最后用勾股定理借助（2）的结论求出AD，即可求出BD．
【解题过程】
解：（1）∵∠BCA＝90°，BC＝AC，点O是AB的中点，
∴∠COA＝90°，CO=12AB＝OA，
∵△AOD是等边三角形，
∴OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，
∴OC＝OD，∠COD＝∠COA﹣∠DOA＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ODC=12（180°﹣∠COD）=12×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADC＝∠ODC+∠ODA＝75°+60°＝135°，
故答案为：135°；
（2）解：线段BD，CD，DA之间的数量关系为：BD=2CD+DA，
理由如下：过点C作CH⊥CD交AD的延长线于点H，如图2所示：
则∠CDH＝180°﹣∠ADC＝180°﹣135°＝45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴CH＝CD，HD=2CD，
∵∠BCA＝90°，
∴∠ACH＝∠BCD，
∴△ACH≌△BCD（SAS），
∴BD＝AH＝HD+DA=2CD+AD；
（3）解：连接OC，如图3所示：
∵∠BCA＝90°，BC＝AC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴O是AB的中点，
∴OC⊥AB，OC＝OA=12AB=12（AE+BE）=12×（1+7）＝4，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，
在Rt△COE中，由勾股定理得：CE=OC2+OE2=42+32=5，
∵CE是定值，
∴点D到CE的距离最大时，△CDE面积的面积最大，
∵AB是⊙O的直径，
过点O作ON⊥CE于N，延长ON与⊙O的交点恰好是点D时，点D到CE的距离最大，△CDE面积的面积最大，
∵S△OCE=12OC•OE=12CE•ON，
∴ON=OC⋅OECE=4×35=125，
∵OD＝OC＝4，
∴DN＝OD﹣ON＝4−125=85，
此时，在Rt△CNO中，CN=OC2−ON2=42−(125)2=165，
在Rt△CND中，CD=CN2+DN2=(165)2+(85)2=855，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2﹣AD2＝82﹣AD2，
由（ 2）知，BD=2CD+AD=2×855+AD=8105+AD，
∴82﹣AD2＝（8105+AD）2，
∴AD=6105，
∴BD=8105+AD=8105+6105=14105，
即△CDE面积的面积最大值为4，此时，BD=14105．
1．（2022·全国·九年级专题练习）已知AB为⊙O的直径，AB=6，C为⊙O上一点，连接CA,CB．
(1)如图①，若C为AB的中点，求∠CAB的大小和AC的长；
(2)如图②，若AC=2,OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．
【思路点拨】
（1）由圆周角定理得∠ACB=90°，由C为AB的中点，得AC=BC，从而AC=BC，即可求得∠CAB的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度；
（2）证明四边形ECFD为矩形，FD=CE= 12CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案．
【解题过程】
解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
由C为AB的中点，得AC=BC，
∴AC=BC，得∠ABC=∠CAB，
在Rt△ABC中，∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠CAB=45°；
根据勾股定理，有AC2+BC2=AB2，
又AB=6，得2AC2=36，
∴AC=32；
（2）∵FD是⊙O的切线，
∴OD⊥FD，即∠ODF=90°，
∵OD⊥CB，垂足为E，
∴∠CED=90°,CE=12CB，
同（1）可得∠ACB=90°，有∠FCE=90°，
∴∠FCE=∠CED=∠ODF=90°，
∴四边形ECFD为矩形，
∴FD=CE，于是FD=12CB，
在Rt△ABC中，由AB=6,AC=2，得CB=AB2−AC2=42，
∴FD=22．
2．（2022·山西·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC