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专题24.3 正多边形与圆（基础）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版）
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这是一份专题24.3 正多边形与圆（基础）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版），文件包含九年级数学上册专题243正多边形与圆基础原卷版docx、九年级数学上册专题243正多边形与圆基础解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc116602455" 正多边形求线段长度 PAGEREF _Tc116602455 \h 1
\l "_Tc116602456" 正多边形求角度 PAGEREF _Tc116602456 \h 4
\l "_Tc116602457" 正多边形求面积 PAGEREF _Tc116602457 \h 6
\l "_Tc116602458" 正多边形与坐标轴 PAGEREF _Tc116602458 \h 10
\l "_Tc116602459" 正多边形与规律 PAGEREF _Tc116602459 \h 13
\l "_Tc116602460" 综合运用 PAGEREF _Tc116602460 \h 16
正多边形求线段长度
正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。
正多边形的有关计算
(1)首先要明确与正多边形计算的有关概念：即正多边形的中心O，正多边形的半径R——就是其外接圆的半径，正多边形的边心距r，正多边形的中心角α，正多边形的边长a。
(2)正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，等腰三角形的顶角就是正n边形的中心角都等于 ；如果再作出正n边形各边的边心距，这些边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个全等的直角三角形。
如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为BC上一点，连接BE，若∠CBE＝15°，BE＝5，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．7B．52C．10D．25
【解答】解：连接OA，OB，OE，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴OA＝OB＝OE，∠AOB=360°4=90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA=12（180°﹣∠AOB）＝45°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，
∵∠CBE＝15°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OB＝BE＝5，
∴OA＝5，
∴AB=OA2+OB2=52，
∴正方形ABCD的边长为52．
故选：B．
如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为（ ）
A．32B．322C．3D．32
【解答】解：如图，连接OA，OB，则OA＝OB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∵正方形ABCD的面积是18，
∴AB=18=32，
∴OA＝OB=22AB＝3，
故选：C．
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为（ ）
A．3B．32C．12D．23
【解答】解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM=360°6×2=30°，
∴OM＝OB•cs∠BOM＝1×32=32；
故选：B．
如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：如图，连接AC，EC．
∵ABCDEF是正六边形，
∴△ACE是等边三角形，
∵AB＝4，
∴AC＝CE＝AE＝43，
∵AG＝GE＝23，
∴CG⊥AE，
∴CG=AC2−AG2=(43)2−(23)2=6，
故选：B．
正多边形求角度
如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（ ）
A．18°B．25°C．30°D．45°
【解答】解：∵正方形的每个内角的度数是90°，正六边形的每个内角的度数是(6−2)×180°6=120°，
∴∠1＝120°﹣90°＝30°，
故选C．
如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是（ ）
A．36°B．45°C．48°D．60°
【解答】解：如图，连接AO．
∵△AMN是等边三角形，
∴∠ANM＝60°，
∴∠AOM＝2∠ANM＝120°，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOB=360°5=72°，
∴∠BOM＝120°﹣72°＝48°．
故选：C．
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AB上，则∠CME的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
【解答】解：连接OC，OD，OE，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝∠DOE＝60°，
∴∠COE＝2∠COD＝120°，
∴∠CME=12∠COE＝60°，
故选：D．
如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（ ）
A．110°B．120°C．118°D．122°
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝∠BCD=(6−2)×1806=120°，AB＝BC＝CD，
∵M，N分别为边CD，BC的中点，
∴BN＝CM，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠BNP＝∠CMB，
∵∠CBM＝∠PBN，
∴∠BPN＝∠BCD＝120°，
∴∠APM＝120°，
故选：B．
正多边形求面积
如图，正六边形ABCDEF中，点M，N分别为边BC，EF上的动点，则S空白S阴影=（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：连接AD，作FP⊥AD于点P，EQ⊥AD于点Q，
∵正六边形各内角为120°，
∴∠EAP＝60°，
设各边长为a，则AF＝a，
∴AP＝QD=12a，
∴AD＝2a，FP=AF2−AP2=a2−(12a)2=32a，
∴S四边形AMDN＝AD•FP＝2a×32a=3a2，
S正六边形=332a2，
∴S阴影＝S正六边形﹣S四边形AMDN=332a2−3a2=32a2，
∴S空白S阴影=3a232a2=2，
故选：A．
如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．83B．123C．16D．163
【解答】解：如图，连接OB交AC与点H．
由题意△ABC是等边三角形，OB＝4，OH＝BH＝2，
∵OB⊥AC，
∴CH＝AH=BH3=233，
∴AC＝2CH=433，
∴阴影部分的面积＝6×34×（433）2＝83．
故选：A．
如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是（ ）
A．6B．6+2C．2+42D．8
【解答】解：∵正方形面积是2，
∴其边长为：2，
如图，将正八边形的每一条边延长可得正方形ABCD，
∵正八边形的每个内角为180°−360°8=135°，
∴∠AEF＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
在Rt△AEF中，AE＝EF•sin45°=2×22=1，
∴AB=2+1×2=2+2
∴正八边形的面积为：S正方形ABCD﹣4S△AEF
=(2+2)2−4×12×1×1
=4+42，
∴非阴影部分面积是S正八边形﹣S正方形=4+42−2＝2+42．
故选：C．
如图所示的正八边形的边长为2，则对角线AB的长为（ ）
A．22+2B．4C．2+2D．6
【解答】解：∵多边形是正八边形，
∴∠ACD＝∠BDC=(8−2)×180°8=135°，
过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥AB于F，
则四边形CEDF是矩形，
∴CD＝EFAC＝BD＝2，∠DCE＝∠CEA＝∠CEF＝90°，
∴∠ACE＝45°，
∴AE＝BF=22×2=2，
∴AB=2+2+2=22+2，
故选：A．
正多边形与坐标轴
如图，正六边形ABCDEF的半径OA＝2，则点B的坐标为（ ）
A．（−3，1）B．（﹣1，3）C．（﹣2，−3）D．（−3，2）
【解答】解：连接OB，
∵正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2，
∴OB＝OA＝AB＝2，∠ABO＝∠60°，
∴∠OBH＝60°，
∴BH=12OB＝1，OH＝OBcs∠OBH=32×2=3，
∴B（−3，1），
故选：A．
如图，正五边形ABCDE的顶点A在y轴正半轴上，边CD∥x轴，若点E坐标为（3，2），则点B的坐标为（ ）
A．（3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）
【解答】解：观察图形发现：该正五边形关于y轴对称，
所以点E和点B关于y轴对称，
∵点E的坐标为（3，2），
∴点B的坐标为（﹣3，2），
故选：B．
如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（ ）
A．（2，23）B．（﹣2，2）C．（﹣2，23）D．（﹣1，3）
【解答】解：连接OF．
∵∠AOF=360°6=60°，OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴OA＝OF＝4
设EF交y轴于G，则∠GOF＝30°．
在Rt△GOF中，
∵∠GOF＝30°，OF＝4，
∴GF＝2，OG＝23．
∴F（﹣2，23）．
故选：C．
如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝100时，顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，23）B．（﹣2，﹣23）C．（2，﹣23）D．（2，23）
【解答】解：连接OA，
∠AOH＝30°，AH＝2，
∴OH=OA2−AH2=23，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
100÷6＝16…4，
∴当n＝100时，顶点A的坐标为（﹣2，﹣23），
故选：B．
正多边形与规律
如图是一长条型链子，其外型由边长为1cm的正六边形排列而成．其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻．若链子上有59个黑色六边形，则此链子上的白色六边形个数为（ ）
A．348B．238C．354D．355
【解答】解：根据题意分析可得：其中左边第一个黑色六边形与6个白色六边形相邻．
即每增加一个黑色六边形，则需增加4个白色六边形．
若链子上有59个黑色六边形，则链子共有白色六边形6+58×4＝238（个）．
故选：B．
如图，一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a，按此规律，则第n个正多边形的面积为（ ）
A．n+13aB．n+12aC．n(n+1)2aD．n(n−1)2a
【解答】解：n＝1时，S＝a；
n＝2时，过A作AE⊥BD于E，则∠ABE＝30°，
设正六边形的边长为2x，则AE＝x，BE=3x，BD＝23x，
即a＝2x･23x＝43x2，
又正六边形面积为6×12×2x･3x＝63x2=32a．
n＝3时，作AD⊥BE于D，FG⊥BE于G，则∠ABD＝45°，
设正八边形的边长为2x，则BD＝AD=2x，△ABD的面积为x2，四边形ABEF面积为（2+22）x2，
则a＝2x･（2+22）x＝（4+42）x2，
正八边形面积为2a．
通过计算可以看出，第n个正多边形的面积为n+12a．
故选：B．
如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一图后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮的周长为 20 ；若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是 27 ．
【解答】解：由拼图可知，每个正八边形有5条边在“外围”，因此周长为5×4＝20，
若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，可知这个正多边形为正十二边形，
如图，则“外围”的周长为（12﹣3）×3＝27，
故答案为：20，
如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为 (−32，−3) ．
【解答】解：如图，连接AD，BD，
在正六边形ABCDEF中，
∵AB＝1，AD＝2，∠ABD＝90°，
∴BD=AD2−AB2=22−12=3，
在Rt△AOF中，AF＝1，∠OAF＝60°，
∴∠OFA＝30°，
OA=12AF=12，
∴OB＝OA+AB=12+1=32，
∴点D的坐标为（32，3），
故答案为：（32，3）；
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
∴6次一个循环，
∵2025÷6＝337……3，
∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的D3的坐标相同，
∵D与D3关于原点对称，
∴D3（−32，−3），
∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标（−32，−3）．
综合运用
阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 AB•CD+AD•BC＝AC•BD ．
（2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长．
【解答】解：（1）根据托勒密定理可得：AB•CD+AD•BC＝AC•BD，
故答案为：AB•CD+AD•BC＝AC•BD；
（2）如2图，连接AD、AC．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴△ABC≌△DCB≌△AED（SAS），
∴设BD＝AC＝AD＝x．
在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理可得：AB•CD+AD•BC＝AC•BD，
即2×2+x•2＝x2，
解得：x1＝1+5，x2＝1−5（舍去）．
∴对角线BD的长为1+5．
（1）如图1，△ABC为等边三角形，点M是BC上一点，点N是CA上一点，BM＝CN，BN、AM相交于点Q，求∠BQM的度数；
（2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加，分别变为正方形ABCD（如图2）、正五边形ABCDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…，“点N是CA上一点”变为点N是CD上一点，其余条件不变，分别确定∠BQM的度数，并直接将结论填入下表：
【解答】解：（1）在△ABM与△BCN中，
AB=BC∠ABC=∠C=60°BM=CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠NBC，
∴∠AQN＝∠BAM+∠ABQ，
＝∠NBC+∠ABQ
＝∠ABM＝60°，
∴∠AQN＝60°．
（2）由（1）可知，∠AQN＝各个多边形的一个角的大小，
所以正方形中∠AQN＝90°，
正五边形中∠AQN＝108°，
正六边形中∠AQN＝120°，
…
正n边形中∠AQN=(n−2)⋅180°n．
故答案为：90°，108°，120°，(n−2)⋅180°n．
一．选择题（共8小题）
1．如图，在拧开一个边长为的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则这个正六边形的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：如图：作于，
由正六边形，得
，，
．
由，得．
，即，
解得，
这个正六边形的面积，
故选．
2．有一个正边形的中心角是，则为
A．7B．8C．9D．10
【解答】解：，
故选：．
3．如图，与正六边形的边，分别交于点，，点为劣弧的中点．若．则点到的距离是
A．4B．C．D．
【解答】解：连接，过作于，
正六边形，
，
点为劣弧的中点，
，
，，
，，，
，
故选：．
4．如图，点、、分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点，则的周长为
A．6B．C．D．9
【解答】解：分别过正六边形的顶点，作于，于，
则，，
，
，
，
的周长，
故选：．
5．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：设正多边形的边数为．
由题意可得：，
，
故选：．
6．已知一个正多边形的中心角为，则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类数（全等的三角形为同一类）是
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由于一个正多边形的中心角为，
所以这个正多边形的边数为，
如图，以正八边形的顶点为顶点的等腰三角形（全等的三角形为同一类）有，，共3个，
故选：．
7．如图，正六边形内接于，为的中点，连接，若的半径为2，则的长度为
A．B．C．2D．1
【解答】解：连接、、，如图所示：
正六边形内接于，为的中点，
，，，
，
，
；
故选：．
8．如图，正五边形内接于，则正五边形中心角的度数是
A．B．C．D．
【解答】解：五边形是的内接正五边形，
五边形的中心角的度数为，
故选：．
二．填空题（共4小题）
9．如图，如果、分别是圆的内接正三角形和内接正方形的一条边，一定是圆的内接正边形的一条边，那么 12 ．
【解答】解：连接、、，如图，
，分别为的内接正四边形与内接正三角形的一边，
，，
，
，
即恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故答案为：12．
10．已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为 ．
【解答】解：连接、，过作于，
是边长为4的等边三角形，，
，
，，
，
能够完全覆盖这个正三角形的最小圆的面积为：，
故答案为：．
11．如图，万名塔，位于凤凰古城沙湾的沱江之滨，于1988年建成，该塔是一个六角塔，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是 12 米．
【解答】解：如图所示：
正六边形的半径为2米，
米，
正六边形的中心角，
是等边三角形，
，
米，
正六边形的周长为（米；
故答案为：12．
12．如图，边长为2的正六边形的中心与坐标原点重合，轴，将正六边形绕原点逆时针旋转次，每次旋转，当时，顶点的坐标为 ， ．
【解答】解：根据题意，连接，
在正六边形中，，
是等腰三角形，，
，，
，
正六边形绕原点逆时针旋转6次回到原位置，
，
当时，顶点的坐标为，，
故答案为：，．
三．解答题（共3小题）
13．如图，正方形是半径为的内接四边形，．
求正方形的边长和边心距．
【解答】解：过点作，垂足为．
四边形为的内接正方形，
，，，
．
在中，，由勾股定理可得
，
．
即半径为6的圆内接正方形的边长为，边心距为．
14．已知，如图，正六边形的边长为，求这个正六边形的外接圆半径、边心距、面积．
【解答】解：连接，，过点作于，
，，
是等边三角形，
，即，
，，
，
在中，，
．
15．如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为为的整数），过点作的切线交的延长线于点．
（1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 30 度；
（2）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（3）连接，则和有什么特殊位关系？请说明理由．
（4）求切线长的值．
【解答】解：（1），
故答案为：30；
（2）如图，连接，，由（1）得：劣弧所对应的圆心角，
劣弧的长，
，
劣弧的长度更长．
（3）垂直．理由如下：
连接，，，
，
是的直径，
，即，
和相互垂直．
（4）如图，是的切线，
，
由（1）知，，
，
（或，
，
在△中，．
．
克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 AB•CD+AD•BC＝AC•BD ．
正多边形
正方形
正五边形
正六边形
…
正n边形
∠BQM的度数
90°
108°
120°
…
(n−2)⋅180°n
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc116602455" 正多边形求线段长度 PAGEREF _Tc116602455 \h 1
\l "_Tc116602456" 正多边形求角度 PAGEREF _Tc116602456 \h 4
\l "_Tc116602457" 正多边形求面积 PAGEREF _Tc116602457 \h 6
\l "_Tc116602458" 正多边形与坐标轴 PAGEREF _Tc116602458 \h 10
\l "_Tc116602459" 正多边形与规律 PAGEREF _Tc116602459 \h 13
\l "_Tc116602460" 综合运用 PAGEREF _Tc116602460 \h 16
正多边形求线段长度
正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。
正多边形的有关计算
(1)首先要明确与正多边形计算的有关概念：即正多边形的中心O，正多边形的半径R——就是其外接圆的半径，正多边形的边心距r，正多边形的中心角α，正多边形的边长a。
(2)正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，等腰三角形的顶角就是正n边形的中心角都等于 ；如果再作出正n边形各边的边心距，这些边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个全等的直角三角形。
如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为BC上一点，连接BE，若∠CBE＝15°，BE＝5，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．7B．52C．10D．25
【解答】解：连接OA，OB，OE，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴OA＝OB＝OE，∠AOB=360°4=90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA=12（180°﹣∠AOB）＝45°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，
∵∠CBE＝15°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OB＝BE＝5，
∴OA＝5，
∴AB=OA2+OB2=52，
∴正方形ABCD的边长为52．
故选：B．
如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为（ ）
A．32B．322C．3D．32
【解答】解：如图，连接OA，OB，则OA＝OB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∵正方形ABCD的面积是18，
∴AB=18=32，
∴OA＝OB=22AB＝3，
故选：C．
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为（ ）
A．3B．32C．12D．23
【解答】解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM=360°6×2=30°，
∴OM＝OB•cs∠BOM＝1×32=32；
故选：B．
如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：如图，连接AC，EC．
∵ABCDEF是正六边形，
∴△ACE是等边三角形，
∵AB＝4，
∴AC＝CE＝AE＝43，
∵AG＝GE＝23，
∴CG⊥AE，
∴CG=AC2−AG2=(43)2−(23)2=6，
故选：B．
正多边形求角度
如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（ ）
A．18°B．25°C．30°D．45°
【解答】解：∵正方形的每个内角的度数是90°，正六边形的每个内角的度数是(6−2)×180°6=120°，
∴∠1＝120°﹣90°＝30°，
故选C．
如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数是（ ）
A．36°B．45°C．48°D．60°
【解答】解：如图，连接AO．
∵△AMN是等边三角形，
∴∠ANM＝60°，
∴∠AOM＝2∠ANM＝120°，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOB=360°5=72°，
∴∠BOM＝120°﹣72°＝48°．
故选：C．
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AB上，则∠CME的度数为（ ）
A．30°B．36°C．45°D．60°
【解答】解：连接OC，OD，OE，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝∠DOE＝60°，
∴∠COE＝2∠COD＝120°，
∴∠CME=12∠COE＝60°，
故选：D．
如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（ ）
A．110°B．120°C．118°D．122°
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝∠BCD=(6−2)×1806=120°，AB＝BC＝CD，
∵M，N分别为边CD，BC的中点，
∴BN＝CM，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠BNP＝∠CMB，
∵∠CBM＝∠PBN，
∴∠BPN＝∠BCD＝120°，
∴∠APM＝120°，
故选：B．
正多边形求面积
如图，正六边形ABCDEF中，点M，N分别为边BC，EF上的动点，则S空白S阴影=（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：连接AD，作FP⊥AD于点P，EQ⊥AD于点Q，
∵正六边形各内角为120°，
∴∠EAP＝60°，
设各边长为a，则AF＝a，
∴AP＝QD=12a，
∴AD＝2a，FP=AF2−AP2=a2−(12a)2=32a，
∴S四边形AMDN＝AD•FP＝2a×32a=3a2，
S正六边形=332a2，
∴S阴影＝S正六边形﹣S四边形AMDN=332a2−3a2=32a2，
∴S空白S阴影=3a232a2=2，
故选：A．
如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．83B．123C．16D．163
【解答】解：如图，连接OB交AC与点H．
由题意△ABC是等边三角形，OB＝4，OH＝BH＝2，
∵OB⊥AC，
∴CH＝AH=BH3=233，
∴AC＝2CH=433，
∴阴影部分的面积＝6×34×（433）2＝83．
故选：A．
如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是（ ）
A．6B．6+2C．2+42D．8
【解答】解：∵正方形面积是2，
∴其边长为：2，
如图，将正八边形的每一条边延长可得正方形ABCD，
∵正八边形的每个内角为180°−360°8=135°，
∴∠AEF＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
在Rt△AEF中，AE＝EF•sin45°=2×22=1，
∴AB=2+1×2=2+2
∴正八边形的面积为：S正方形ABCD﹣4S△AEF
=(2+2)2−4×12×1×1
=4+42，
∴非阴影部分面积是S正八边形﹣S正方形=4+42−2＝2+42．
故选：C．
如图所示的正八边形的边长为2，则对角线AB的长为（ ）
A．22+2B．4C．2+2D．6
【解答】解：∵多边形是正八边形，
∴∠ACD＝∠BDC=(8−2)×180°8=135°，
过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥AB于F，
则四边形CEDF是矩形，
∴CD＝EFAC＝BD＝2，∠DCE＝∠CEA＝∠CEF＝90°，
∴∠ACE＝45°，
∴AE＝BF=22×2=2，
∴AB=2+2+2=22+2，
故选：A．
正多边形与坐标轴
如图，正六边形ABCDEF的半径OA＝2，则点B的坐标为（ ）
A．（−3，1）B．（﹣1，3）C．（﹣2，−3）D．（−3，2）
【解答】解：连接OB，
∵正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2，
∴OB＝OA＝AB＝2，∠ABO＝∠60°，
∴∠OBH＝60°，
∴BH=12OB＝1，OH＝OBcs∠OBH=32×2=3，
∴B（−3，1），
故选：A．
如图，正五边形ABCDE的顶点A在y轴正半轴上，边CD∥x轴，若点E坐标为（3，2），则点B的坐标为（ ）
A．（3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）
【解答】解：观察图形发现：该正五边形关于y轴对称，
所以点E和点B关于y轴对称，
∵点E的坐标为（3，2），
∴点B的坐标为（﹣3，2），
故选：B．
如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（ ）
A．（2，23）B．（﹣2，2）C．（﹣2，23）D．（﹣1，3）
【解答】解：连接OF．
∵∠AOF=360°6=60°，OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴OA＝OF＝4
设EF交y轴于G，则∠GOF＝30°．
在Rt△GOF中，
∵∠GOF＝30°，OF＝4，
∴GF＝2，OG＝23．
∴F（﹣2，23）．
故选：C．
如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝100时，顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，23）B．（﹣2，﹣23）C．（2，﹣23）D．（2，23）
【解答】解：连接OA，
∠AOH＝30°，AH＝2，
∴OH=OA2−AH2=23，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
100÷6＝16…4，
∴当n＝100时，顶点A的坐标为（﹣2，﹣23），
故选：B．
正多边形与规律
如图是一长条型链子，其外型由边长为1cm的正六边形排列而成．其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻．若链子上有59个黑色六边形，则此链子上的白色六边形个数为（ ）
A．348B．238C．354D．355
【解答】解：根据题意分析可得：其中左边第一个黑色六边形与6个白色六边形相邻．
即每增加一个黑色六边形，则需增加4个白色六边形．
若链子上有59个黑色六边形，则链子共有白色六边形6+58×4＝238（个）．
故选：B．
如图，一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a，按此规律，则第n个正多边形的面积为（ ）
A．n+13aB．n+12aC．n(n+1)2aD．n(n−1)2a
【解答】解：n＝1时，S＝a；
n＝2时，过A作AE⊥BD于E，则∠ABE＝30°，
设正六边形的边长为2x，则AE＝x，BE=3x，BD＝23x，
即a＝2x･23x＝43x2，
又正六边形面积为6×12×2x･3x＝63x2=32a．
n＝3时，作AD⊥BE于D，FG⊥BE于G，则∠ABD＝45°，
设正八边形的边长为2x，则BD＝AD=2x，△ABD的面积为x2，四边形ABEF面积为（2+22）x2，
则a＝2x･（2+22）x＝（4+42）x2，
正八边形面积为2a．
通过计算可以看出，第n个正多边形的面积为n+12a．
故选：B．
如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一图后中间形成一个正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮的周长为 20 ；若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是 27 ．
【解答】解：由拼图可知，每个正八边形有5条边在“外围”，因此周长为5×4＝20，
若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，可知这个正多边形为正十二边形，
如图，则“外围”的周长为（12﹣3）×3＝27，
故答案为：20，
如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为 (−32，−3) ．
【解答】解：如图，连接AD，BD，
在正六边形ABCDEF中，
∵AB＝1，AD＝2，∠ABD＝90°，
∴BD=AD2−AB2=22−12=3，
在Rt△AOF中，AF＝1，∠OAF＝60°，
∴∠OFA＝30°，
OA=12AF=12，
∴OB＝OA+AB=12+1=32，
∴点D的坐标为（32，3），
故答案为：（32，3）；
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
∴6次一个循环，
∵2025÷6＝337……3，
∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的D3的坐标相同，
∵D与D3关于原点对称，
∴D3（−32，−3），
∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标（−32，−3）．
综合运用
阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 AB•CD+AD•BC＝AC•BD ．
（2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长．
【解答】解：（1）根据托勒密定理可得：AB•CD+AD•BC＝AC•BD，
故答案为：AB•CD+AD•BC＝AC•BD；
（2）如2图，连接AD、AC．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴△ABC≌△DCB≌△AED（SAS），
∴设BD＝AC＝AD＝x．
在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理可得：AB•CD+AD•BC＝AC•BD，
即2×2+x•2＝x2，
解得：x1＝1+5，x2＝1−5（舍去）．
∴对角线BD的长为1+5．
（1）如图1，△ABC为等边三角形，点M是BC上一点，点N是CA上一点，BM＝CN，BN、AM相交于点Q，求∠BQM的度数；
（2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加，分别变为正方形ABCD（如图2）、正五边形ABCDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…，“点N是CA上一点”变为点N是CD上一点，其余条件不变，分别确定∠BQM的度数，并直接将结论填入下表：
【解答】解：（1）在△ABM与△BCN中，
AB=BC∠ABC=∠C=60°BM=CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠NBC，
∴∠AQN＝∠BAM+∠ABQ，
＝∠NBC+∠ABQ
＝∠ABM＝60°，
∴∠AQN＝60°．
（2）由（1）可知，∠AQN＝各个多边形的一个角的大小，
所以正方形中∠AQN＝90°，
正五边形中∠AQN＝108°，
正六边形中∠AQN＝120°，
…
正n边形中∠AQN=(n−2)⋅180°n．
故答案为：90°，108°，120°，(n−2)⋅180°n．
一．选择题（共8小题）
1．如图，在拧开一个边长为的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则这个正六边形的面积为
A．B．C．D．
【解答】解：如图：作于，
由正六边形，得
，，
．
由，得．
，即，
解得，
这个正六边形的面积，
故选．
2．有一个正边形的中心角是，则为
A．7B．8C．9D．10
【解答】解：，
故选：．
3．如图，与正六边形的边，分别交于点，，点为劣弧的中点．若．则点到的距离是
A．4B．C．D．
【解答】解：连接，过作于，
正六边形，
，
点为劣弧的中点，
，
，，
，，，
，
故选：．
4．如图，点、、分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点，则的周长为
A．6B．C．D．9
【解答】解：分别过正六边形的顶点，作于，于，
则，，
，
，
，
的周长，
故选：．
5．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：设正多边形的边数为．
由题意可得：，
，
故选：．
6．已知一个正多边形的中心角为，则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类数（全等的三角形为同一类）是
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由于一个正多边形的中心角为，
所以这个正多边形的边数为，
如图，以正八边形的顶点为顶点的等腰三角形（全等的三角形为同一类）有，，共3个，
故选：．
7．如图，正六边形内接于，为的中点，连接，若的半径为2，则的长度为
A．B．C．2D．1
【解答】解：连接、、，如图所示：
正六边形内接于，为的中点，
，，，
，
，
；
故选：．
8．如图，正五边形内接于，则正五边形中心角的度数是
A．B．C．D．
【解答】解：五边形是的内接正五边形，
五边形的中心角的度数为，
故选：．
二．填空题（共4小题）
9．如图，如果、分别是圆的内接正三角形和内接正方形的一条边，一定是圆的内接正边形的一条边，那么 12 ．
【解答】解：连接、、，如图，
，分别为的内接正四边形与内接正三角形的一边，
，，
，
，
即恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故答案为：12．
10．已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为 ．
【解答】解：连接、，过作于，
是边长为4的等边三角形，，
，
，，
，
能够完全覆盖这个正三角形的最小圆的面积为：，
故答案为：．
11．如图，万名塔，位于凤凰古城沙湾的沱江之滨，于1988年建成，该塔是一个六角塔，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是 12 米．
【解答】解：如图所示：
正六边形的半径为2米，
米，
正六边形的中心角，
是等边三角形，
，
米，
正六边形的周长为（米；
故答案为：12．
12．如图，边长为2的正六边形的中心与坐标原点重合，轴，将正六边形绕原点逆时针旋转次，每次旋转，当时，顶点的坐标为 ， ．
【解答】解：根据题意，连接，
在正六边形中，，
是等腰三角形，，
，，
，
正六边形绕原点逆时针旋转6次回到原位置，
，
当时，顶点的坐标为，，
故答案为：，．
三．解答题（共3小题）
13．如图，正方形是半径为的内接四边形，．
求正方形的边长和边心距．
【解答】解：过点作，垂足为．
四边形为的内接正方形，
，，，
．
在中，，由勾股定理可得
，
．
即半径为6的圆内接正方形的边长为，边心距为．
14．已知，如图，正六边形的边长为，求这个正六边形的外接圆半径、边心距、面积．
【解答】解：连接，，过点作于，
，，
是等边三角形，
，即，
，，
，
在中，，
．
15．如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为为的整数），过点作的切线交的延长线于点．
（1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 30 度；
（2）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（3）连接，则和有什么特殊位关系？请说明理由．
（4）求切线长的值．
【解答】解：（1），
故答案为：30；
（2）如图，连接，，由（1）得：劣弧所对应的圆心角，
劣弧的长，
，
劣弧的长度更长．
（3）垂直．理由如下：
连接，，，
，
是的直径，
，即，
和相互垂直．
（4）如图，是的切线，
，
由（1）知，，
，
（或，
，
在△中，．
．
克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有 AB•CD+AD•BC＝AC•BD ．
正多边形
正方形
正五边形
正六边形
…
正n边形
∠BQM的度数
90°
108°
120°
…
(n−2)⋅180°n
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