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专题25.1 概率初步【中考真题】（强化）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版）
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这是一份专题25.1 概率初步【中考真题】（强化）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版），文件包含九年级数学上册专题251概率初步中考真题强化原卷版docx、九年级数学上册专题251概率初步中考真题强化解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
专题25.1 概率初步【中考真题】
一．选择题（共20小题）
1．小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如图：
，
共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，
恰好取到红色帽子和红色围巾的概率为，
故选：．
2．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：把3节车厢分别记为、、，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，
甲和乙从同一节车厢上车的概率为，
故选：．
3．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：两双不同的鞋用、、、表示，其中、表示同一双鞋，、表示同一双鞋，
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中取出的鞋是同一双的结果数为4，
所以取出的鞋是同一双的概率．
故选：．
4．以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是，则对应的转盘是
A． B． C． D．
【解答】解：．圆被等分成2份，其中阴影部分占1份，
落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；
．圆被等分成4份，其中阴影部分占1份，
落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；
．圆被等分成5份，其中阴影部分占2份，
落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；
．圆被等分成6份，其中阴影部分占2份，
落在阴影区域的概率为：，故此选项符合题意；
故选：．
5．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘，将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，令，
则，，
将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为，
故选：．
6．在一个不透明的袋子里装有5个小球，每个球上都写有一个数字，分别是1，2，3，4，5，这些小球除数字不同外其它均相同．从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有20种等可能出现的结果情况，其中两球上的数字都是奇数的有6种，
所以从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为，
故选：．
7．“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为，则
A． B． C． D．
【解答】解：“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件为必然事件，
“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为，
故选：．
8．如图，小明从入口进入博物馆参观，参观后可从，，三个出口走出，他恰好从出口走出的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：小明恰好在出口出来的概率为，
故选：．
9．妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等，那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有4种等可能结果，其中妙妙上学时在这两个路口都直接通过的只有1种结果，
所以妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率为，
故选：．
10．如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形
内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：由图可知大正方形中的两个小正方形边长分别为、．
大正方形的边长为．
则大正方形的面积为，
阴影部分的面积为．
则米粒落在图中阴影部分的概率为．
故选：．
11．在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有线段、等边三角形、平行四边形和正六边形．现将四张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，
线段是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，正六边形是轴对称图形，
设线段、等边三角形、平行四边形和正六边形分别用字母、、、表示，
树状图如下图所示：
由上可得，一共有12种可能性，其中抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的有6种，
抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率是，
故选：．
12．为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，
恰好抽到2名女学生的概率为，
故选：．
13．某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：把“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队分别记为、、，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，
小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为，
故选：．
14．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果，其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种，
两枚骰子向上的点数之和为7的概率为，
故选：．
15．经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果数为2种，
恰好有一车直行，另一车左拐的概率，
故选：．
16．如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以围成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：将从左到右的三条竖线分别记作、、，将从上到下的三条横线分别记作、、，列表如下，
、
、
、
、
、
、
、
、
、
由表可知共有9种等可能结果，其中所选矩形含点的有、；、；、；、这4种结果，
所选矩形含点的概率，
故选：．
17．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画树形图得：
由树形图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，
一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为，
故选：．
18．现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：把4张卡片分别记为：、、、，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，
两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率为，
故选：．
19．下列生活中的事件，属于不可能事件的是
A．3天内将下雨
B．打开电视，正在播新闻
C．买一张电影票，座位号是偶数号
D．没有水分，种子发芽
【解答】解：、3天内将下雨，是随机事件；
、打开电视，正在播新闻，是随机事件；
、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；
、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；
故选：．
20．现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：把2盒不过期的牛奶记为、，2盒已过期的牛奶记为、，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，至少有一盒过期的结果有10种，
至少有一盒过期的概率为，
故选：．
二．填空题（共5小题）
21．我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为，从1，2，3，4中任取一个数作为，则对任意正整数，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差小于4的概率是 ．
【解答】解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为，
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差小于4的结果数为9，
所以三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差小于4的概率．
故答案为．
22．动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有只，则20年后存活的有 只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ．
【解答】解：若设刚出生的这种动物共有只，则20年后存活的有只，活到25岁的只数为，
故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为，
故答案为：，．
23．看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 ．
马匹
姓名
下等马
中等马
上等马
齐王
6
8
10
田忌
5
7
9
【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为10，8，6时，田忌的马按5，9，7的顺序出场，田忌才能赢得比赛，
当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：
双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，
田忌能赢得比赛的概率为．
故答案为：．
24．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 ．
【解答】解：把开关，，分别记为、、，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
能让两个小灯泡同时发光的概率为，
故答案为：．
25．在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字，0，1，3．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ．
【解答】解：画树状图如图：
共有16种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之积为负数的结果有4种，
两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率为，
故答案为：．
三．解答题（共15小题）
26．为了迎接建党100周年，学校举办了“感党恩跟党走”主题社团活动，小颖喜欢的社团有写作社团、书画社团、演讲社团、舞蹈社团（分别用字母，，，依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片正面，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团的概率是 ；
（2）小颖先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列表法或画树状图法求出小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团的概率．
【解答】解：（1）共有4种可能出现的结果，其中是舞蹈社团的有1种，
小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团的概率是，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中有一张是演讲社团的有6种，
小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团的概率是．
27．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，，，田忌也有上、中、下三匹马，，，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注表示马与马比赛，马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵，，获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
【解答】解：（1）田忌首局应出“下马”才可能获胜，
此时，比赛所有可能的对阵为：，，，，，，，，，，，，共四种，其中获胜的有两场，
故此田忌获胜的概率为．
（2）不是．
当齐王的出马顺序为，，时，田忌获胜的对阵是：，，，
当齐王的出马顺序为，，时，田忌获胜的对阵是：，，，
当齐王的出马顺序为，，时，田忌获胜的对阵是：，，，
当齐王的出马顺序为，，时，田忌获胜的对阵是：，，，
当齐王的出马顺序为，，时，田忌获胜的对阵是：，，，
当齐王的出马顺序为，，时，田忌获胜的对阵是：，，，
综上所述，田忌获胜的对阵有6种，不论齐王的出马顺序如何，也都有相应的6种可能对阵，所以田忌获胜的概率为．
28．某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用，，依次表示这三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是 ．
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
【解答】解：（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有3种结果，
所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为．
29．一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【解答】解：（1）通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有个，
根据题意，得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
估计箱子里白色小球的个数为1；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为．
30．“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
【解答】解：（1）参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为；
（2）设纸箱中白球的数量为，
则，
解得，
经检验是分式方程的解且符合实际，
所以估计纸箱中白球的数量接近36．
31．4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
【解答】解：（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为，
故答案为：．
（2）列表如下：
0
1
3
0
1
3
1
2
2
3
5
3
由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，
所以甲获胜的概率乙获胜的概率，
此游戏公平．
32．为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为72°．
分段
成绩范围
频数
频率
A
90～100
a
m
B
80～89
20
b
C
70～79
c
0.3
D
70分以下
10
n
注：90～100表示成绩x满足：90≤x≤100，下同．
（1）在统计表中，a＝ 5 ，b＝ 0.4 ，c＝ 15 ；
（2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及以上的学生人数；
（3）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．
【解答】解：（1）总人数为：10÷（72÷360）＝50（人），
∴b＝20÷50＝0.4，c＝50×0.3＝15（人），
∴a＝50﹣（20+15+10）＝5（人），
故答案为：5，0.4，15；
（2）由题意得：成绩在90～100之间的人数为5，
随机选出的这个班级总人数为50，
设该年级成绩在90～100之间的人数为y，
则，
解得：y＝200，
（3）由（1）（2）可知：A段有男生2人，女生3人，
记2名男生分别为男1，男2；记3名女生分别为女1，女2，女3，
选出2名学生的结果有：
男1男2，男1女1，男1女2，男1女3，男2女1，
男2女2，男2女3，女1女2，女1女3，女2女3，
共10种结果，并且它们出现的可能性相等，
其中包含1名男生1名女生的结果有6种，
∴P＝＝，即选到1名男生和1名女生的概率为．
33．2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：表示“从未听说过”， 表示“不太了解”， 表示“比较了解”， 表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）参加这次调查的学生总人数为 40 人；
（2）扇形统计图中，部分扇形所对应的圆心角是 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）在类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【解答】解：（1）参加这次调查的学生总人数为（人，
故答案为：40；
（2）扇形统计图中，部分扇形所对应的圆心角是，
故答案为：；
（3）类别人数为（人，
补全图形如下：
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8，
所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
34．某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为（名；
（2）喜爱“体育”的人数为（名，
补全图形如下：
（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名；
（4）列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
35．现有、两个不透明的袋子，各装有三个小球，袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．
（1）将袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为 ；
（2）分别将、两个袋子中的小球摇匀，然后从、袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．
【解答】解：（1）将袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，
摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率为．
36．不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是 ．
【解答】解：（1）画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，
两次摸出的球都是红球的概率为；
（2）由题意得：第一次摸出白球的概率为，第二次摸出白球的概率也为，
两次摸出的球都是白球的概率为，
故答案为：．
解法二：
若第一次摸到红球，则两次摸出的球都是白球的概率为，
若第一次摸到白球，则两次摸出的球都是白球的概率为，
所求概率为，
故答案为：．
解法三：
第一次取到白球的概率为，
即一个圆的，
第二次再取到白球的概率是将上面的（扇形）再分为3等份，取到的白球的概率是的，
即，
两次摸出的球都是白球的概率为，
故答案为：．
37．某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示．嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口向北走的概率；
（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．
【解答】解：（1）嘉淇走到十字道口向北走的概率为；
（2）补全树状图如下：
共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，
向西参观的概率为，向南参观的概率向北参观的概率向东参观的概率，
向西参观的概率大．
38．为引导学生知史爱党、知史爱国，某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）德育处一共随机抽取了 40 名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？
（4）德育处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
【解答】解：（1）德育处一共随机抽取的学生人数为：（名，
则在条形统计图中，成绩“一般”的学生人数为：（名，
在扇形统计图中，成绩“一般”的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：40，；
（2）把条形统计图补充完整如下：
（3）（名，
即估计该校大约有350名学生在这次竞赛中成绩优秀；
（4）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种，
恰好选中甲和乙的概率为．
39．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．
（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为 ；
（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．
【解答】解：（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，
两次取出小球标号的和等于5的概率为．
40．某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
7
中位数
8
优秀率
（1）填空： 8 ， ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）．
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
【解答】解：（1）由众数的定义得：，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分，
故答案为：8，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：
七年级的优秀率大于八年级的优秀率，
七年级的学生党史知识掌握得较好；
（3）（人，
即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人；
（4）把七年级获得10分的学生记为，八年级获得10分的学生记为，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，
被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为．
专题25.1 概率初步【中考真题】
一．选择题（共20小题）
1．小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如图：
，
共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，
恰好取到红色帽子和红色围巾的概率为，
故选：．
2．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：把3节车厢分别记为、、，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，
甲和乙从同一节车厢上车的概率为，
故选：．
3．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：两双不同的鞋用、、、表示，其中、表示同一双鞋，、表示同一双鞋，
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中取出的鞋是同一双的结果数为4，
所以取出的鞋是同一双的概率．
故选：．
4．以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是，则对应的转盘是
A． B． C． D．
【解答】解：．圆被等分成2份，其中阴影部分占1份，
落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；
．圆被等分成4份，其中阴影部分占1份，
落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；
．圆被等分成5份，其中阴影部分占2份，
落在阴影区域的概率为：，故此选项不合题意；
．圆被等分成6份，其中阴影部分占2份，
落在阴影区域的概率为：，故此选项符合题意；
故选：．
5．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘，将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，令，
则，，
将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为，
故选：．
6．在一个不透明的袋子里装有5个小球，每个球上都写有一个数字，分别是1，2，3，4，5，这些小球除数字不同外其它均相同．从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有20种等可能出现的结果情况，其中两球上的数字都是奇数的有6种，
所以从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为，
故选：．
7．“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为，则
A． B． C． D．
【解答】解：“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件为必然事件，
“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为，
故选：．
8．如图，小明从入口进入博物馆参观，参观后可从，，三个出口走出，他恰好从出口走出的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：小明恰好在出口出来的概率为，
故选：．
9．妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等，那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有4种等可能结果，其中妙妙上学时在这两个路口都直接通过的只有1种结果，
所以妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率为，
故选：．
10．如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形
内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：由图可知大正方形中的两个小正方形边长分别为、．
大正方形的边长为．
则大正方形的面积为，
阴影部分的面积为．
则米粒落在图中阴影部分的概率为．
故选：．
11．在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有线段、等边三角形、平行四边形和正六边形．现将四张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，
线段是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形，正六边形是轴对称图形，
设线段、等边三角形、平行四边形和正六边形分别用字母、、、表示，
树状图如下图所示：
由上可得，一共有12种可能性，其中抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的有6种，
抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率是，
故选：．
12．为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，
恰好抽到2名女学生的概率为，
故选：．
13．某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：把“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队分别记为、、，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，
小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为，
故选：．
14．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果，其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种，
两枚骰子向上的点数之和为7的概率为，
故选：．
15．经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果数为2种，
恰好有一车直行，另一车左拐的概率，
故选：．
16．如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以围成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：将从左到右的三条竖线分别记作、、，将从上到下的三条横线分别记作、、，列表如下，
、
、
、
、
、
、
、
、
、
由表可知共有9种等可能结果，其中所选矩形含点的有、；、；、；、这4种结果，
所选矩形含点的概率，
故选：．
17．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：画树形图得：
由树形图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，
一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为，
故选：．
18．现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：把4张卡片分别记为：、、、，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，
两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率为，
故选：．
19．下列生活中的事件，属于不可能事件的是
A．3天内将下雨
B．打开电视，正在播新闻
C．买一张电影票，座位号是偶数号
D．没有水分，种子发芽
【解答】解：、3天内将下雨，是随机事件；
、打开电视，正在播新闻，是随机事件；
、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；
、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；
故选：．
20．现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是
A． B． C． D．
【解答】解：把2盒不过期的牛奶记为、，2盒已过期的牛奶记为、，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，至少有一盒过期的结果有10种，
至少有一盒过期的概率为，
故选：．
二．填空题（共5小题）
21．我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为，从1，2，3，4中任取一个数作为，则对任意正整数，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差小于4的概率是 ．
【解答】解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为，
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差小于4的结果数为9，
所以三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差小于4的概率．
故答案为．
22．动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有只，则20年后存活的有 只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 ．
【解答】解：若设刚出生的这种动物共有只，则20年后存活的有只，活到25岁的只数为，
故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为，
故答案为：，．
23．看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 ．
马匹
姓名
下等马
中等马
上等马
齐王
6
8
10
田忌
5
7
9
【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为10，8，6时，田忌的马按5，9，7的顺序出场，田忌才能赢得比赛，
当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：
双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，
田忌能赢得比赛的概率为．
故答案为：．
24．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 ．
【解答】解：把开关，，分别记为、、，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
能让两个小灯泡同时发光的概率为，
故答案为：．
25．在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字，0，1，3．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ．
【解答】解：画树状图如图：
共有16种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之积为负数的结果有4种，
两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率为，
故答案为：．
三．解答题（共15小题）
26．为了迎接建党100周年，学校举办了“感党恩跟党走”主题社团活动，小颖喜欢的社团有写作社团、书画社团、演讲社团、舞蹈社团（分别用字母，，，依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片正面，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团的概率是 ；
（2）小颖先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母，请用列表法或画树状图法求出小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团的概率．
【解答】解：（1）共有4种可能出现的结果，其中是舞蹈社团的有1种，
小颖从中随机抽取一张卡片是舞蹈社团的概率是，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，其中有一张是演讲社团的有6种，
小颖抽取的两张卡片中有一张是演讲社团的概率是．
27．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，，，田忌也有上、中、下三匹马，，，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注表示马与马比赛，马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵，，获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
【解答】解：（1）田忌首局应出“下马”才可能获胜，
此时，比赛所有可能的对阵为：，，，，，，，，，，，，共四种，其中获胜的有两场，
故此田忌获胜的概率为．
（2）不是．
当齐王的出马顺序为，，时，田忌获胜的对阵是：，，，
当齐王的出马顺序为，，时，田忌获胜的对阵是：，，，
当齐王的出马顺序为，，时，田忌获胜的对阵是：，，，
当齐王的出马顺序为，，时，田忌获胜的对阵是：，，，
当齐王的出马顺序为，，时，田忌获胜的对阵是：，，，
当齐王的出马顺序为，，时，田忌获胜的对阵是：，，，
综上所述，田忌获胜的对阵有6种，不论齐王的出马顺序如何，也都有相应的6种可能对阵，所以田忌获胜的概率为．
28．某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用，，依次表示这三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是 ．
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
【解答】解：（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有3种结果，
所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为．
29．一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
（1）请你估计箱子里白色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【解答】解：（1）通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有个，
根据题意，得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
估计箱子里白色小球的个数为1；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为．
30．“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
【解答】解：（1）参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为；
（2）设纸箱中白球的数量为，
则，
解得，
经检验是分式方程的解且符合实际，
所以估计纸箱中白球的数量接近36．
31．4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
【解答】解：（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为，
故答案为：．
（2）列表如下：
0
1
3
0
1
3
1
2
2
3
5
3
由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，
所以甲获胜的概率乙获胜的概率，
此游戏公平．
32．为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图中D段对应扇形圆心角为72°．
分段
成绩范围
频数
频率
A
90～100
a
m
B
80～89
20
b
C
70～79
c
0.3
D
70分以下
10
n
注：90～100表示成绩x满足：90≤x≤100，下同．
（1）在统计表中，a＝ 5 ，b＝ 0.4 ，c＝ 15 ；
（2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及以上的学生人数；
（3）若统计表A段的男生比女生少1人，从A段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．
【解答】解：（1）总人数为：10÷（72÷360）＝50（人），
∴b＝20÷50＝0.4，c＝50×0.3＝15（人），
∴a＝50﹣（20+15+10）＝5（人），
故答案为：5，0.4，15；
（2）由题意得：成绩在90～100之间的人数为5，
随机选出的这个班级总人数为50，
设该年级成绩在90～100之间的人数为y，
则，
解得：y＝200，
（3）由（1）（2）可知：A段有男生2人，女生3人，
记2名男生分别为男1，男2；记3名女生分别为女1，女2，女3，
选出2名学生的结果有：
男1男2，男1女1，男1女2，男1女3，男2女1，
男2女2，男2女3，女1女2，女1女3，女2女3，
共10种结果，并且它们出现的可能性相等，
其中包含1名男生1名女生的结果有6种，
∴P＝＝，即选到1名男生和1名女生的概率为．
33．2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：表示“从未听说过”， 表示“不太了解”， 表示“比较了解”， 表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）参加这次调查的学生总人数为 40 人；
（2）扇形统计图中，部分扇形所对应的圆心角是 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）在类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【解答】解：（1）参加这次调查的学生总人数为（人，
故答案为：40；
（2）扇形统计图中，部分扇形所对应的圆心角是，
故答案为：；
（3）类别人数为（人，
补全图形如下：
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果数为8，
所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
34．某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为（名；
（2）喜爱“体育”的人数为（名，
补全图形如下：
（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名；
（4）列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
35．现有、两个不透明的袋子，各装有三个小球，袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．
（1）将袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为 ；
（2）分别将、两个袋子中的小球摇匀，然后从、袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．
【解答】解：（1）将袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，
摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率为．
36．不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是 ．
【解答】解：（1）画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，
两次摸出的球都是红球的概率为；
（2）由题意得：第一次摸出白球的概率为，第二次摸出白球的概率也为，
两次摸出的球都是白球的概率为，
故答案为：．
解法二：
若第一次摸到红球，则两次摸出的球都是白球的概率为，
若第一次摸到白球，则两次摸出的球都是白球的概率为，
所求概率为，
故答案为：．
解法三：
第一次取到白球的概率为，
即一个圆的，
第二次再取到白球的概率是将上面的（扇形）再分为3等份，取到的白球的概率是的，
即，
两次摸出的球都是白球的概率为，
故答案为：．
37．某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示．嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口向北走的概率；
（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．
【解答】解：（1）嘉淇走到十字道口向北走的概率为；
（2）补全树状图如下：
共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，
向西参观的概率为，向南参观的概率向北参观的概率向东参观的概率，
向西参观的概率大．
38．为引导学生知史爱党、知史爱国，某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）德育处一共随机抽取了 40 名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？
（4）德育处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
【解答】解：（1）德育处一共随机抽取的学生人数为：（名，
则在条形统计图中，成绩“一般”的学生人数为：（名，
在扇形统计图中，成绩“一般”的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：40，；
（2）把条形统计图补充完整如下：
（3）（名，
即估计该校大约有350名学生在这次竞赛中成绩优秀；
（4）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种，
恰好选中甲和乙的概率为．
39．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．
（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为 ；
（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．
【解答】解：（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，
两次取出小球标号的和等于5的概率为．
40．某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
7
中位数
8
优秀率
（1）填空： 8 ， ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）．
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
【解答】解：（1）由众数的定义得：，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分，
故答案为：8，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：
七年级的优秀率大于八年级的优秀率，
七年级的学生党史知识掌握得较好；
（3）（人，
即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人；
（4）把七年级获得10分的学生记为，八年级获得10分的学生记为，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，
被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为．
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