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2022-2023学年广东省揭阳市榕城区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省揭阳市榕城区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省揭阳市榕城区八年级（下）期末数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 把点(2,−3)先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 若|x|−2x+2的值等于0，则x的值是( )
A. 2 B. −2 C. 2或−2 D. 0
3. 已知x−y=−2，xy=3，则x2y−xy2的值为( )
A. 2 B. −6 C. 5 D. −36
4. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A. x2+4y2 B. x2+2x−1 C. −x2−4y2 D. −x2+4y2
5. 在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C的坐标是( )
A. (7,3)
B. (8,2)
C. (3,7)
D. (5,3)
6. 不等式组1−2x<3x+12≤2的正整数解的个数是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
7. 如图，数轴上点A、B、C表示的数分别为−4，−2和3，点O为原点，则以OA、OC、BC为边长构造三角形，则构造的三角形为( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
8. 若关于x的分式方程x−1x+1=ax+1−2有增根，则a的值是( )
A. −2 B. −1 C. 0 D. 1
9. 如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=140°，则∠AIB的大小为( )
A. 90° B. 105° C. 125° D. 145°
10. 如图，△ABC中，AB=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为( )
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 分解因式：a3−2a2= ______ ．
12. 如图，用含x的不等式表示数轴上所表示的解集______ ．
13. 如图，将直角三角形ABC沿射线BC方向平移6cm，得到三角形A′B′C′，已知∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，则阴影部分的面积为 cm2．
14. 已知关于x的分式方程mx−1+31−x=1的解是负数，则m的取值范围是______ ．
15. 编程兴趣小组为半径为0.2米的圆形扫地机器人编制了如图所示的程序，若扫地机器人在无障碍的实验室平地上按照编制的程序扫地，则这个扫地机器人扫过的实验室平地的面积是______ 米 2．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组x+5≤0①3x−12≥2x+1②．
17. (本小题8.0分)
解方程：x−8x−7−17−x=8．
18. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE//BC，BE平分∠DEC．
(1)求证：BC=CE．
(2)若CE=AB，EA=EB，求∠C的度数．
19. (本小题9.0分)
先化简，再求值：(1−2a−1)÷a2−6a+9a−1，从−1，1，3中选择一个合适的a的值代入求值．
20. (本小题9.0分)
教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x−3．
原式=(x2+2x+1)−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；
例如：求代数式x2+4x+6的最小值．
原式=x2+4x+4+2=(x+2)2+2．
∵(x+2)2≥0，
∴当x=−2时，x2+4x+6有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：m2−4m−5= ______ ；
(2)若y=−x2+2x−3，当x= ______ 时，y有最______ 值(填“大”或“小”)，这个值是______ ；
(3)当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2−6a−10b−8c+50=0时，判断△ABC的形状并说明理由．
21. (本小题9.0分)
证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；
已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC中点.求证：DE//BC．
下面是证明的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法一
证明：如图，延长DE至F，使EF=DE，连接CF、CD、AF．
方法二
证明：如图，过E作EF//AB交BC于F，过A作AM//BC交FE于M．
22. (本小题12.0分)
某水果店用1350元购进一批车厘子，受到消费者的欢迎，于是又用了2450元购进第二批，由于第二批的采购量是第一批的2倍，所以比第一批车厘子每斤的进价便宜了5元．
(1)求第一批和第二批车厘子的进价分别为每斤多少元；
(2)在销售过程中，水果店以每斤80元的价格销售完了第一批车厘子和第二批车厘子的35，为了回流资金，决定降价销售余下的车厘子，若两批车厘子的总利润不低于1800元，求降价后的车厘子售价每斤至少多少元？
23. (本小题12.0分)
在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若DE=DC，∠CBD=45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD=6.CE=4时，求BE的长；
②求证：CD=CH．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵点(2,−3)先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是(2−3,−3+2)，即(−1,−1)，
∴平移后的点在第三象限．
故选：C．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求出平移后的坐标，即可判断出答案．
本题考查坐标与图形变化−平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
2.【答案】A
【解析】解：若|x|−2x+2的值等于0，则|x|−2=0且x+2≠0，
所以x=2．
故选：A．
根据分式值为零的条件可得：|x|−2=0且x+2≠0，再解即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
3.【答案】B
【解析】解：x2y−xy2=xy(x−y)，
当x−y=−2，xy=3时，原式=3×(−2)=−6，
故选：B．
分解因式并整体代入即可求解．
本题考查了因式分解的应用，关键是分解因式并整体代入．
4.【答案】D
【解析】解：A、x2+4y2是两项之和，不能用平方差公式分解，故不合题意；
B、x2+2x−1有三项，不能用平方差公式分解，故不合题意；
C、−x2−4y2是两项之和，不能用平方差公式分解，故不合题意；
D、−x2+4y2=(2y+x)(2y−x)能用平方差公式分解因式，故符合题意；
故选：D．
能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差，据此判断．
本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，
∴DC//AB，DC=AB=5，
∴点C的横坐标=5+2=7，纵坐标=点D的纵坐标=3，
即点C的坐标是(7,3)，
故选：A．
根据平行四边形的性质得出DC//AB，DC=AB，再根据点的坐标求出点C的坐标即可．
本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，能熟记平行四边形的对边平行且相等是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式组得到−1
【解答】
解：解不等式1−2x<3，得：x>−1，
解不等式x+12≤2，得：x≤3，
则不等式组的解集为−1
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：依题意，OA=4，OC=3，BC=3−(−2)=5，
∴OA2+OC2=BC2，
∴以OA、OC、BC为边长构造三角形，则构造的三角形为直角三角形．
故选：A．
根据数轴求得OA=4，OC=3，BC=5，根据勾股定理逆定理即可求解．
本题考查了数轴上两点距离，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：关于x的分式方程x−1x+1=ax+1−2，
去分母可化为x−1=a−2(x+1)，
又因为关于x的分式方程x−1x+1=ax+1−2，即有增根x=−1，
所以x=−1是方程x−1=a−2(x+1)的根，
所以a=−2，
故选：A．
根据增根的定义，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可．
本题考查分式方程的增根，理解增根的定义和产生过程是正确解答的关键．
9.【答案】C
【解析】解：连接CO并延长至D，如图，
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC，OB=OC，
∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD=∠OCA+∠OAC=2∠OCA，
同理，∠BOD=2∠OCB，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠OCA+2∠OCB=2∠ACB，
∴∠ACB=12∠AOB=70°，
∴∠CAB+∠CBA=180°−70°=110°，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠ABC，
∴∠IAB+∠IBA=12∠CAB+12∠ABC=12(∠CAB+∠ABC)=55°，
∴∠AIB=180°−(∠IAB+∠IBA)=125°，
故选：C．
连接CO并延长至D，利用垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OC，则∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，由三角形外角的性质得到∠AOD=2∠OCA，∠BOD=2∠OCB，由三角形内角和定理得到∠ACB=12∠AOB，则∠CAB+∠CBA=110°，∠IAB+∠IBA=55°，即可得到答案．
此题考查了垂直平分线、角平分线、等边对等角、三角形的外角性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，延长CD交AB于F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠FAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
在△ADF和△ADC中，
∠CAD=∠FADAD=AD∠ADC=∠ADF=90°，
∴△ADF≌△ADC(ASA)，
∴AF=AC，CD=FD，
∴BF=AB−AE=8−6=2cm，
又∵点E为BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=12BF=12×2=1cm．
故选：A．
延长CD交AB于F，利用“角边角”证明△ADF和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=AC，CD=FD，再求出BF并判断出DE是△BCF的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE=12BF．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键．
11.【答案】a2(a−2)
【解析】解：a3−2a2=a2(a−2)，
故答案为：a2(a−2)．
利用提公因式法，进行分解即可解答．
本题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握因式分解−提公因式法是解题的关键．
12.【答案】x≥−1
【解析】解：由数轴可知数轴上所表示的解集为x≥−1，
故答案为：x≥−1．
根据数轴即可得到答案．
本题考查了用数轴表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．
13.【答案】18
【解析】
解：由平移的性质得：BB′=AA′=6cm，AB//A′B′，AB=A′B′，AA′//BB′，
∴四边形ACB′A′是梯形．
∴B′C=BB′−BC=3(cm)，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BB′，
∴阴影部分的面积=12×(3+6)×4=18(cm2)，
故答案为：18．
【分析】由平移的性质得BB′=AA′=6cm，AB//A′B′，AB=A′B′，AA′//BB′，易知四边形ACB′A′是梯形，再由梯形面积公式计算即可．
本题考查了平移的性质、梯形面积公式等知识．掌握平移的性质得出相关线段的长度是解题的关键．
14.【答案】m<2
【解析】解：去分母得，
m−3=x−1，
解得x=m−2，
由题意得，m−2<0，
解得m<2，
x=1是分式方程的增根，所有当x=1时，方程无解，即m≠3，
所以m的取值范围是m<2．
故答案为：m<2．
解出分式方程，根据解是负数求出m的取值范围，再根据x=1是分式方程的增根，求出此时m的值，得到答案．
本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键．
15.【答案】3.6
【解析】解：如图所示，围成图形的每个外角都是60°，
∴围成图形的边数=360°60∘=6，
∴围成图形是六边形，且边长分别是2米、1米、2米、1米、2米、1米，
∴扫过的面积为2×0.2×(2+1+2+1+2+1)=3.6(平方米)，
故答案为：3.6．
简单绘制路线图，围成的几何图形每个外角都是60°，根据任意多边形外角和都是360°得出共有六条边，且长度分别为2米和1米交替出现，可得出行走路线总长度，根据半径求出扫过的面积．
本题主要考查多边形内角与外角，根据每个外角都相等以及任意多边形外角和都是360°求出几何图形的边数，确定每条边的长度计算行走总长度和扫过的面积是解题的关键．
16.【答案】解：由①得：x≤−5，
由②得：x≤−3，
则不等式组的解集为x≤−5．
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
17.【答案】解：方程两边都乘以(x−7)，
得：x−8+1=8(x−7)，
解得：x=7，
检验：x=7为增根，
∴原分式方程无解．
【解析】本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为(x−7)，所以方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要验根．
18.【答案】(1)证明：∵BE平分∠DEC，
∴∠DEB=∠BEC，∠EBC=∠BEC，
∴DE//BC．
∴∠DEB=∠EBC，
∴∠BEC=∠EBC，
∴BC=CE；
(2)解：∵BC=CE，CE=AB，
∴BC=AB，
∴∠C=∠A，
设∠C=∠A=x，
∵EA=EB，
∴∠ABE=∠A=x，
∴∠EBC=∠BEC=∠A+∠ABE=2x，
∴2x+2x+x=180°，
∴∠C=x=36°．
【解析】(1)根据角平分线的定义得到∠DEB=∠BEC，∠EBC=∠BEC，根据平行线的性质得到∠DEB=∠EBC，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
(2)解根据等腰三角形的性质得到∠C=∠A，设∠C=∠A=x，根据三角形内角和定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：原式=a−3a−1÷(a−3)2a−1
=a−3a−1⋅a−1(a−3)2
=1a−3，
由分式有意义的条件可知：a不能取1，3，
当a=−1时，原式=1−1−3=−14．
【解析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代入计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，正确根据分式的混合计算法则化简是解题的关键．
20.【答案】(m+1)(m−5) 1 大 −2
【解析】解：(1)m2−4m−5
=m2−4m+4−4−5
=(m−2)2−9
=(m−2+3)(m−2−3)
=(m+1)(m−5)，
故答案为：(m+1)(m−5)；
(2)y=−x2+2x−3，
y=−x2+2x−1−2，
y=−(x−1)2−2，
∴当x=1的时，y有最大值−2，
故答案为：1，大，−2；
(3)a2+b2+c2−6a−10b−8c+50=0，
a2−6a+9+b2−10b+25+c2−8c+16=0，
(a−3)2+(b−5)2+(c−4)2=0，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．
a−3=0，b−5=0，c−4=0，
得，a=3，b=5，c=4，
∵32+42=52，即a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形．
(1)先配出完全平方，再用平方差公式进行因式分解即可；
(2)先配出完全平方，然后再根据完全平方的非负性即可求得最小值；
(3)将等式的左边拆项后重新组合，配出三个完全平方，再根据“几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0”求解出a、b、c的值，据此即可解答．
本题主要考查了配方法、用公式法进行因式分解、非负性的应用，熟练的掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
21.【答案】证明：方法一：延长DE至F，使EF=DE，连接CF、CD、AF．
∵D、E分别是△ABC的边AB，AC中点，
∴AD=BD=12AB,AE=EC=12AC，
又∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD//CF，AD=CF，
∴BD//CF，BD=CF
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴DF//BC．
方法二：过E作EF//AB交BC于F，过A作AM//BC交FE于M，
同理有：AD=BD=12AB,AE=EC=12AC，
∵EF//AB，AM//BC
∴四边形AMFB是平行四边形，
∴AM=FB，AM//FB，AB=MF，
∴∠AME=∠EFC，∠MAE=∠ECF，∠AME=∠EFC，
∵AE=EC，
∴△AME≌△CFE(AAS)，
∴AM=FC，EM=EF，
∴EM=EF=12MF，
∵AB=MF，
∴EM=EF=12MF=12AB=AD=BD，
∵EF//AB，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴AM=ED，AM//ED，
∵AM=FC，AM=FB，AM//BC，
∴AM=12BC，
∴DE//BC．
【解析】方法一：结合已给出的辅助线，先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明四边形BDFC是平行四边形，问题得证；
方法二：结合已给出的辅助线，先证明四边形AMFB是平行四边形，再证明△AME≌△CFE，接着证明四边形AMED是平行四边形，问题得证．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质证明等知识，掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)设第一批车厘子的进价为每斤x元，则第二批车厘子的进价为每斤(x−5)元，
由题意得：1350x×2=2450x−5，
解得：x=54，
经检验，x=54是原方程的解，且符合题意，
∴x−5=54−5=49，
答：第一批车厘子的进价为每斤54元，则第二批车厘子的进价为每斤49元；
(2)购进第一批车厘子的数量为1350÷54=25(斤)，则购进第二批车厘子的数量为2×25=50(斤)，
设降价后的车厘子售价每斤为m元，
由题意得：(m−49)×50×(1−35)+(80−54)×25+(80−49)×50×35≥1800，
解得：m≥60，
答：降价后的车厘子售价每斤至少60元．
【解析】(1)设第一批车厘子的进价为每斤x元，则第二批车厘子的进价为每斤(x−5)元，由题意：第二批的采购量是第一批的2倍，列出分式方程，解方程即可；
(2)设降价后的车厘子售价每斤为m元，由题意：两批车厘子的总利润不低于1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴AD//BC，BO=DO，
∴∠ADB=∠CBD，
在△BOE与△DOF中，
∠CBD=∠ADBBO=DO∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF(ASA)，
∴DF=BE且DF//BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE=DC=6，DN⊥EC，CE=4，
∴EN=CN=2，
∴DN= DC2−CN2= 36−4=4 2，
∵∠DBC=45°，DN⊥BC，
∴∠DBC=∠BDN=45°，
∴DN=BN=4 2，
∴BE=BN−EN=4 2−2，
②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG=90°，∠DEN+∠EDN=90°，
∴∠EDN=∠ECG，
∵DE=DC，DN⊥EC，
∴∠EDN=∠CDN，
∴∠ECG=∠CDN，
∵∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠BCH，∠CDB=∠BDN+∠CDN=45°+∠CDN，
∴∠CDB=∠DHC，
∴CD=CH．
【解析】(1)通过ASA证明△BOE≌△DOF，得DF=BE，又DF//BE，即可证明四边形BEDF是平行四边形；
(2)①过点D作DN⊥EC于点N，先根据勾股定理求出DN=4 2，由∠DBC=45°得BN=DN，即可求出答案；
②根据DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG=90°，∠DEN+∠EDN=90°，则有∠EDN=∠ECG，再证∠CDH=∠CHD，得出CD=CH．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
2022-2023学年广东省揭阳市榕城区八年级（下）期末数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 把点(2,−3)先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 若|x|−2x+2的值等于0，则x的值是( )
A. 2 B. −2 C. 2或−2 D. 0
3. 已知x−y=−2，xy=3，则x2y−xy2的值为( )
A. 2 B. −6 C. 5 D. −36
4. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A. x2+4y2 B. x2+2x−1 C. −x2−4y2 D. −x2+4y2
5. 在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C的坐标是( )
A. (7,3)
B. (8,2)
C. (3,7)
D. (5,3)
6. 不等式组1−2x<3x+12≤2的正整数解的个数是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
7. 如图，数轴上点A、B、C表示的数分别为−4，−2和3，点O为原点，则以OA、OC、BC为边长构造三角形，则构造的三角形为( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
8. 若关于x的分式方程x−1x+1=ax+1−2有增根，则a的值是( )
A. −2 B. −1 C. 0 D. 1
9. 如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=140°，则∠AIB的大小为( )
A. 90° B. 105° C. 125° D. 145°
10. 如图，△ABC中，AB=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为( )
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 分解因式：a3−2a2= ______ ．
12. 如图，用含x的不等式表示数轴上所表示的解集______ ．
13. 如图，将直角三角形ABC沿射线BC方向平移6cm，得到三角形A′B′C′，已知∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，则阴影部分的面积为 cm2．
14. 已知关于x的分式方程mx−1+31−x=1的解是负数，则m的取值范围是______ ．
15. 编程兴趣小组为半径为0.2米的圆形扫地机器人编制了如图所示的程序，若扫地机器人在无障碍的实验室平地上按照编制的程序扫地，则这个扫地机器人扫过的实验室平地的面积是______ 米 2．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组x+5≤0①3x−12≥2x+1②．
17. (本小题8.0分)
解方程：x−8x−7−17−x=8．
18. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE//BC，BE平分∠DEC．
(1)求证：BC=CE．
(2)若CE=AB，EA=EB，求∠C的度数．
19. (本小题9.0分)
先化简，再求值：(1−2a−1)÷a2−6a+9a−1，从−1，1，3中选择一个合适的a的值代入求值．
20. (本小题9.0分)
教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x−3．
原式=(x2+2x+1)−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；
例如：求代数式x2+4x+6的最小值．
原式=x2+4x+4+2=(x+2)2+2．
∵(x+2)2≥0，
∴当x=−2时，x2+4x+6有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：m2−4m−5= ______ ；
(2)若y=−x2+2x−3，当x= ______ 时，y有最______ 值(填“大”或“小”)，这个值是______ ；
(3)当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2−6a−10b−8c+50=0时，判断△ABC的形状并说明理由．
21. (本小题9.0分)
证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；
已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC中点.求证：DE//BC．
下面是证明的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法一
证明：如图，延长DE至F，使EF=DE，连接CF、CD、AF．
方法二
证明：如图，过E作EF//AB交BC于F，过A作AM//BC交FE于M．
22. (本小题12.0分)
某水果店用1350元购进一批车厘子，受到消费者的欢迎，于是又用了2450元购进第二批，由于第二批的采购量是第一批的2倍，所以比第一批车厘子每斤的进价便宜了5元．
(1)求第一批和第二批车厘子的进价分别为每斤多少元；
(2)在销售过程中，水果店以每斤80元的价格销售完了第一批车厘子和第二批车厘子的35，为了回流资金，决定降价销售余下的车厘子，若两批车厘子的总利润不低于1800元，求降价后的车厘子售价每斤至少多少元？
23. (本小题12.0分)
在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若DE=DC，∠CBD=45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD=6.CE=4时，求BE的长；
②求证：CD=CH．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵点(2,−3)先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是(2−3,−3+2)，即(−1,−1)，
∴平移后的点在第三象限．
故选：C．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求出平移后的坐标，即可判断出答案．
本题考查坐标与图形变化−平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
2.【答案】A
【解析】解：若|x|−2x+2的值等于0，则|x|−2=0且x+2≠0，
所以x=2．
故选：A．
根据分式值为零的条件可得：|x|−2=0且x+2≠0，再解即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
3.【答案】B
【解析】解：x2y−xy2=xy(x−y)，
当x−y=−2，xy=3时，原式=3×(−2)=−6，
故选：B．
分解因式并整体代入即可求解．
本题考查了因式分解的应用，关键是分解因式并整体代入．
4.【答案】D
【解析】解：A、x2+4y2是两项之和，不能用平方差公式分解，故不合题意；
B、x2+2x−1有三项，不能用平方差公式分解，故不合题意；
C、−x2−4y2是两项之和，不能用平方差公式分解，故不合题意；
D、−x2+4y2=(2y+x)(2y−x)能用平方差公式分解因式，故符合题意；
故选：D．
能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差，据此判断．
本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，
∴DC//AB，DC=AB=5，
∴点C的横坐标=5+2=7，纵坐标=点D的纵坐标=3，
即点C的坐标是(7,3)，
故选：A．
根据平行四边形的性质得出DC//AB，DC=AB，再根据点的坐标求出点C的坐标即可．
本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，能熟记平行四边形的对边平行且相等是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式组得到−1
【解答】
解：解不等式1−2x<3，得：x>−1，
解不等式x+12≤2，得：x≤3，
则不等式组的解集为−1
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：依题意，OA=4，OC=3，BC=3−(−2)=5，
∴OA2+OC2=BC2，
∴以OA、OC、BC为边长构造三角形，则构造的三角形为直角三角形．
故选：A．
根据数轴求得OA=4，OC=3，BC=5，根据勾股定理逆定理即可求解．
本题考查了数轴上两点距离，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：关于x的分式方程x−1x+1=ax+1−2，
去分母可化为x−1=a−2(x+1)，
又因为关于x的分式方程x−1x+1=ax+1−2，即有增根x=−1，
所以x=−1是方程x−1=a−2(x+1)的根，
所以a=−2，
故选：A．
根据增根的定义，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可．
本题考查分式方程的增根，理解增根的定义和产生过程是正确解答的关键．
9.【答案】C
【解析】解：连接CO并延长至D，如图，
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC，OB=OC，
∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD=∠OCA+∠OAC=2∠OCA，
同理，∠BOD=2∠OCB，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠OCA+2∠OCB=2∠ACB，
∴∠ACB=12∠AOB=70°，
∴∠CAB+∠CBA=180°−70°=110°，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠ABC，
∴∠IAB+∠IBA=12∠CAB+12∠ABC=12(∠CAB+∠ABC)=55°，
∴∠AIB=180°−(∠IAB+∠IBA)=125°，
故选：C．
连接CO并延长至D，利用垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OC，则∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，由三角形外角的性质得到∠AOD=2∠OCA，∠BOD=2∠OCB，由三角形内角和定理得到∠ACB=12∠AOB，则∠CAB+∠CBA=110°，∠IAB+∠IBA=55°，即可得到答案．
此题考查了垂直平分线、角平分线、等边对等角、三角形的外角性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，延长CD交AB于F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠FAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
在△ADF和△ADC中，
∠CAD=∠FADAD=AD∠ADC=∠ADF=90°，
∴△ADF≌△ADC(ASA)，
∴AF=AC，CD=FD，
∴BF=AB−AE=8−6=2cm，
又∵点E为BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=12BF=12×2=1cm．
故选：A．
延长CD交AB于F，利用“角边角”证明△ADF和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=AC，CD=FD，再求出BF并判断出DE是△BCF的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE=12BF．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键．
11.【答案】a2(a−2)
【解析】解：a3−2a2=a2(a−2)，
故答案为：a2(a−2)．
利用提公因式法，进行分解即可解答．
本题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握因式分解−提公因式法是解题的关键．
12.【答案】x≥−1
【解析】解：由数轴可知数轴上所表示的解集为x≥−1，
故答案为：x≥−1．
根据数轴即可得到答案．
本题考查了用数轴表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．
13.【答案】18
【解析】
解：由平移的性质得：BB′=AA′=6cm，AB//A′B′，AB=A′B′，AA′//BB′，
∴四边形ACB′A′是梯形．
∴B′C=BB′−BC=3(cm)，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BB′，
∴阴影部分的面积=12×(3+6)×4=18(cm2)，
故答案为：18．
【分析】由平移的性质得BB′=AA′=6cm，AB//A′B′，AB=A′B′，AA′//BB′，易知四边形ACB′A′是梯形，再由梯形面积公式计算即可．
本题考查了平移的性质、梯形面积公式等知识．掌握平移的性质得出相关线段的长度是解题的关键．
14.【答案】m<2
【解析】解：去分母得，
m−3=x−1，
解得x=m−2，
由题意得，m−2<0，
解得m<2，
x=1是分式方程的增根，所有当x=1时，方程无解，即m≠3，
所以m的取值范围是m<2．
故答案为：m<2．
解出分式方程，根据解是负数求出m的取值范围，再根据x=1是分式方程的增根，求出此时m的值，得到答案．
本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键．
15.【答案】3.6
【解析】解：如图所示，围成图形的每个外角都是60°，
∴围成图形的边数=360°60∘=6，
∴围成图形是六边形，且边长分别是2米、1米、2米、1米、2米、1米，
∴扫过的面积为2×0.2×(2+1+2+1+2+1)=3.6(平方米)，
故答案为：3.6．
简单绘制路线图，围成的几何图形每个外角都是60°，根据任意多边形外角和都是360°得出共有六条边，且长度分别为2米和1米交替出现，可得出行走路线总长度，根据半径求出扫过的面积．
本题主要考查多边形内角与外角，根据每个外角都相等以及任意多边形外角和都是360°求出几何图形的边数，确定每条边的长度计算行走总长度和扫过的面积是解题的关键．
16.【答案】解：由①得：x≤−5，
由②得：x≤−3，
则不等式组的解集为x≤−5．
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
17.【答案】解：方程两边都乘以(x−7)，
得：x−8+1=8(x−7)，
解得：x=7，
检验：x=7为增根，
∴原分式方程无解．
【解析】本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为(x−7)，所以方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要验根．
18.【答案】(1)证明：∵BE平分∠DEC，
∴∠DEB=∠BEC，∠EBC=∠BEC，
∴DE//BC．
∴∠DEB=∠EBC，
∴∠BEC=∠EBC，
∴BC=CE；
(2)解：∵BC=CE，CE=AB，
∴BC=AB，
∴∠C=∠A，
设∠C=∠A=x，
∵EA=EB，
∴∠ABE=∠A=x，
∴∠EBC=∠BEC=∠A+∠ABE=2x，
∴2x+2x+x=180°，
∴∠C=x=36°．
【解析】(1)根据角平分线的定义得到∠DEB=∠BEC，∠EBC=∠BEC，根据平行线的性质得到∠DEB=∠EBC，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
(2)解根据等腰三角形的性质得到∠C=∠A，设∠C=∠A=x，根据三角形内角和定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：原式=a−3a−1÷(a−3)2a−1
=a−3a−1⋅a−1(a−3)2
=1a−3，
由分式有意义的条件可知：a不能取1，3，
当a=−1时，原式=1−1−3=−14．
【解析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代入计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，正确根据分式的混合计算法则化简是解题的关键．
20.【答案】(m+1)(m−5) 1 大 −2
【解析】解：(1)m2−4m−5
=m2−4m+4−4−5
=(m−2)2−9
=(m−2+3)(m−2−3)
=(m+1)(m−5)，
故答案为：(m+1)(m−5)；
(2)y=−x2+2x−3，
y=−x2+2x−1−2，
y=−(x−1)2−2，
∴当x=1的时，y有最大值−2，
故答案为：1，大，−2；
(3)a2+b2+c2−6a−10b−8c+50=0，
a2−6a+9+b2−10b+25+c2−8c+16=0，
(a−3)2+(b−5)2+(c−4)2=0，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．
a−3=0，b−5=0，c−4=0，
得，a=3，b=5，c=4，
∵32+42=52，即a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形．
(1)先配出完全平方，再用平方差公式进行因式分解即可；
(2)先配出完全平方，然后再根据完全平方的非负性即可求得最小值；
(3)将等式的左边拆项后重新组合，配出三个完全平方，再根据“几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0”求解出a、b、c的值，据此即可解答．
本题主要考查了配方法、用公式法进行因式分解、非负性的应用，熟练的掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
21.【答案】证明：方法一：延长DE至F，使EF=DE，连接CF、CD、AF．
∵D、E分别是△ABC的边AB，AC中点，
∴AD=BD=12AB,AE=EC=12AC，
又∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD//CF，AD=CF，
∴BD//CF，BD=CF
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴DF//BC．
方法二：过E作EF//AB交BC于F，过A作AM//BC交FE于M，
同理有：AD=BD=12AB,AE=EC=12AC，
∵EF//AB，AM//BC
∴四边形AMFB是平行四边形，
∴AM=FB，AM//FB，AB=MF，
∴∠AME=∠EFC，∠MAE=∠ECF，∠AME=∠EFC，
∵AE=EC，
∴△AME≌△CFE(AAS)，
∴AM=FC，EM=EF，
∴EM=EF=12MF，
∵AB=MF，
∴EM=EF=12MF=12AB=AD=BD，
∵EF//AB，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴AM=ED，AM//ED，
∵AM=FC，AM=FB，AM//BC，
∴AM=12BC，
∴DE//BC．
【解析】方法一：结合已给出的辅助线，先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明四边形BDFC是平行四边形，问题得证；
方法二：结合已给出的辅助线，先证明四边形AMFB是平行四边形，再证明△AME≌△CFE，接着证明四边形AMED是平行四边形，问题得证．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质证明等知识，掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)设第一批车厘子的进价为每斤x元，则第二批车厘子的进价为每斤(x−5)元，
由题意得：1350x×2=2450x−5，
解得：x=54，
经检验，x=54是原方程的解，且符合题意，
∴x−5=54−5=49，
答：第一批车厘子的进价为每斤54元，则第二批车厘子的进价为每斤49元；
(2)购进第一批车厘子的数量为1350÷54=25(斤)，则购进第二批车厘子的数量为2×25=50(斤)，
设降价后的车厘子售价每斤为m元，
由题意得：(m−49)×50×(1−35)+(80−54)×25+(80−49)×50×35≥1800，
解得：m≥60，
答：降价后的车厘子售价每斤至少60元．
【解析】(1)设第一批车厘子的进价为每斤x元，则第二批车厘子的进价为每斤(x−5)元，由题意：第二批的采购量是第一批的2倍，列出分式方程，解方程即可；
(2)设降价后的车厘子售价每斤为m元，由题意：两批车厘子的总利润不低于1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴AD//BC，BO=DO，
∴∠ADB=∠CBD，
在△BOE与△DOF中，
∠CBD=∠ADBBO=DO∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF(ASA)，
∴DF=BE且DF//BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE=DC=6，DN⊥EC，CE=4，
∴EN=CN=2，
∴DN= DC2−CN2= 36−4=4 2，
∵∠DBC=45°，DN⊥BC，
∴∠DBC=∠BDN=45°，
∴DN=BN=4 2，
∴BE=BN−EN=4 2−2，
②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG=90°，∠DEN+∠EDN=90°，
∴∠EDN=∠ECG，
∵DE=DC，DN⊥EC，
∴∠EDN=∠CDN，
∴∠ECG=∠CDN，
∵∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠BCH，∠CDB=∠BDN+∠CDN=45°+∠CDN，
∴∠CDB=∠DHC，
∴CD=CH．
【解析】(1)通过ASA证明△BOE≌△DOF，得DF=BE，又DF//BE，即可证明四边形BEDF是平行四边形；
(2)①过点D作DN⊥EC于点N，先根据勾股定理求出DN=4 2，由∠DBC=45°得BN=DN，即可求出答案；
②根据DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG=90°，∠DEN+∠EDN=90°，则有∠EDN=∠ECG，再证∠CDH=∠CHD，得出CD=CH．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
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