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2022-2023学年黑龙江省双鸭山市八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年黑龙江省双鸭山市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省双鸭山市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式计算正确的是( )
A. 24÷ 6=4 B. 54÷ 9= 6
C. 30÷ 6=5 D. 47÷ 149=7 2
2. 满足下列条件的△ABC，其中不是直角三角形的是( )
A. b2=(a+c)(a−c) B. a：b：c=1： 3：2
C. ∠C=∠A−∠B D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
3. 某校男子足球队的年龄分布如下表：
年龄/岁
13
14
15
16
17
18
人数
2
6
8
3
2
1
则这些队员年龄的平均数是( )
A. 13 B. 14 C. 14.5 D. 15
4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的y1=ax+b与y2=bx+a图象可能是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE，CE，若DE=AB，则∠AEC的度数为( )
A. 105°
B. 120°
C. 135°
D. 150°
6. 我们规定：对于任意的正数m，n的运算“Φ”为当m
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点.若AB=10，BC=6，则线段CD的长为( )
A. 3 B. 103 C. 83 D. 165
8. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是( )
A. x=20 B. x=5 C. x=25 D. x=15
9. 如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若AC=4，则EF的长为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 哈尔滨市举办中小学生春季越野大赛，小明、小颖两名同学同时从起点出发，他们所跑的路程y(千米)与时间x(分)的函数关系如图所示小刚由图示得出下列信息：①出发后，途中小明和小颖有三次相遇；②小明在比赛中的速度始终比小颖快，所以小明先到达终点；③比赛开始20分钟时小颖跑了2500米；④越野全程为6000米；在小刚得出的信息中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 在函数y=x+2x−3中，自变量x的取值范围是______．
12. 已知x= 3+ 2，y= 3− 2，则x2y+xy2= ______ ．
13. 从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是88.9，方差分别是S甲2=2.25，S乙2=1.81，S丙2=3.42，你认为最适合参加决赛的选手是______ (填“甲”或“乙”或“丙”)．
14. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=5，BF=8，则EF的长为______．
15. 如图，直线y=−43x+8与x轴，y轴分别交于点A和B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则直线AM的解析式为______．
16. 小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球.已知小明与篮板底的距离BC= 6米，眼睛与地面的距离AB=1.7米，眼睛与篮板的点D的距离AD=2.5米，则点D到地面的距离CD是______ 米.
17. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH= ．
18. 如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…，An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…，Bn在第一象限，点C1，C2，C3…，Cn在第二象限，四边形A0B1A1C1、四边形A1B2A2C2、四边形A2B3A5C3……四边形An−1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3=…=∠An−1BnAn=60°，若A0A1：A1A2：A2A3：…：An−1An=1：2：4：…：2n−1，且A0A1=2，则点Bn的横坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(5x+3yx2−y2+2xy2−x2)÷1x2y−xy2，其中x= 5+1，y= 5−1．
20. (本小题5.0分)
如图，在▱ABCD中，已知AD>AB．
(1)作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.)
(2)直接写出四边形ABEF的形状．
21. (本小题6.0分)
某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了解这两个班学生的身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
(1)收集数据
从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩(百分制)如下：
甲班：65 75 75 80 60 50 75 90 85 65
乙班：90 55 80 70 55 70 95 80 65 70
(2)整理、描述数据
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x/分
50≤x<60
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x<100
甲班
1
3
3
2
1
乙班
2
1
m
2
n
则m= ______ ，n= ______ ；
(3)分析数据
①两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表：
班级
平均数
中位数
众数
甲班
72
x
75
乙班
73
70
y
则x= ______ ，y= ______ ．
②若规定测试成绩在80分以上的学生的身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生人数．
22. (本小题8.0分)
如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE=1，求EF的长．
23. (本小题8.0分)
联想中垂线的性质，我们可引入如下概念：
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的“智慧心”．
(1)举例：如图①，在△ABC中，∠PAB=∠PBA，判断：点P ______ (填“是”或“不是”)△ABC的“智慧心”；
(2)应用：如图②，若CD为等边三角形ABC的高，“智慧心”P在高CD上，且PD=12AB，则∠APB的度数为______ ；
(3)探究：已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，∠ABC=60°，AC=4，“智慧心”P在AC边上，则PA的长为______ ．
24. (本小题10.0分)
某药店销售A，B两种型号的口罩，已知销售80只A型和45只B型的利润为21元；销售40只A型和60只B型的利润为18元．
(1)求每只A型口罩和每只B型口罩的销售利润；
(2)该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不少于A型口罩的进货量且不超过它的3倍，设购进A型口罩x只，这2000只口罩的销售总利润为y元，求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(3)在(2)的条件下，该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销售总利润最大？
25. (本小题12.0分)
(1)【感知】如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．BE与DG的数量关系为______．
(2)【拓展】如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F.请判断BE与DG的数量关系，并说明理由
(3)【应用】如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE=2ED，∠A=∠F，△EBC的面积为9，则菱形CEFG的面积为______．
26. (本小题12.0分)
如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A的坐标为(−5,4)，点B，C在x轴上，点D在y轴上．
(1)求点B的坐标；
(2)动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿射线OB方向运动，设点P运动的时间为t秒，连接PD，BD，设△PBD的面积为S(S≠0)，求S与t的函数关系式(请直接写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，平面内是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 24÷ 6=2，不符合题意；
B、 54÷ 9= 6，符合题意；
C、 30÷ 6= 5，不符合题意；
D、 47÷ 149= 47×49=2 7，不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的除法法则计算．
本题主要考查了二次根式的除法，掌握二次根式的除法运算法则是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵b2=(a+c)(a−c)，
∴b2=a2−c2即a2=c2+b2，
∴△ABC是直角三角形，故该选项不符合题意；
B、a：b：c=1： 3：2，设a=x,b= 3x,c=2x，
∴a2+b2=x2+3x2=4x2，c2=4x2，
∴a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形，故该选项不符合题意；
C、∵∠C=∠A−∠B，∠C+∠B+∠A=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故该选项不符合题意；
D、∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠C+∠B+∠A=180°，
∴最大角为∠C=180°×53+4+5=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故该选项符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：平均数为(13×2+14×6+15×8+16×3+17×2+18×1)÷(2+6+8+3+2+1)=15(岁)，
故选：C．
根据平均数的意义和计算方法进行计算即可．
本题考查平均数，理解平均数的意义是正确解答的前提．
4.【答案】C
【解析】解：A、∵一次函数y1=ax+b的图象经过一、三、四象限，
∴a>0，b<0；
由一次函数y2=bx+a图象可知，b<0，a<0，两结论矛盾，故错误；
B、∵一次函数y1=ax+b的图象经过一、二、三象限，
∴a>0，b>0；
由y2的图象可知，a>0，b<0，两结论矛盾，故错误；
C、∵一次函数y1=ax+b的图象经过一、三、四象限，
∴a>0，b<0；
由y2的图象可知，a>0，b<0，两结论一致，故正确；
D、∵一次函数y1=ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a<0，b>0；
由y2的图象可知，a<0，b<0，两结论相矛盾，故错误．
故选：C．
先由一次函数y1=ax+b图象得到字母系数的符号，再与一次函数y2=bx+a的图象相比较看是否一致．
此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
5.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=AB，∠ADB=∠EDC=45°，
在△ADE与△CDE中，
AD=CD∠ADB=∠EDCDE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴∠AED=∠CED，
∵DE=AB=AD，
∴∠AED=180°−45°2，
∴∠AEC=2∠AED=180°−45°=135°，
故选：C．
根据正方形的性质得出∠ADB=∠EDC，进而利用SAS证明△ADE与△CDE全等，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠ADB=∠EDC解答．
6.【答案】B
【解析】解：∵当m≥n时，mΦn=2 m− n，
∴3Φ2=2 3− 2，
∵当m
∴(3Φ2)−(8Φ12)=(2 3− 2)−(4 2+2 3)=−5 2．
故选：B．
根据新定义当m
7.【答案】A
【解析】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE=DC，
在Rt△ABC中，AC= AB2−BC2= 102−62=8，
∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，
∴12⋅DE×10+12⋅CD×6=12×6×8，
即5DE+3CD=24，
∴CD=3．
故选：A．
利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到DE=DC，再利用勾股定理计算出AC=8，然后利用面积法得到12⋅DE×10+12⋅CD×6=12×6×8，最后解方程即可．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作已知角的角平分线).也考查了角平分线的性质．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次方程，两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解．
根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解，可得答案．
【解答】
解：∵直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P(20,25)，
∴方程x+5=ax+b的解是x=20．
故选：A．
9.【答案】B
【解析】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE//BC，AE=EC，
∴∠BCF=∠EFC，
∵CF平分∠ACB，
∴∠BCF=∠ECF，
∴∠ECF=∠EFC，
∴EF=EC=12AC=2，
故选：B．
根据三角形中位线定理得到DE//BC，进而证明∠BCF=∠EFC，根据角平分线的定义、等腰三角形的判定定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：①由函数图象可知，小明和小颖在M、N两处有二次相遇，故①说法错误；
②由函数图象可知，小明由快−慢−快的速度运动，故②说法错误；
③比赛开始20分钟时，对应点为M点，此时路程为2.5千米=2500米，故③说法正确；
④2500÷20×48=6000(米)即越野全程为6000米，故④说法正确．
在小刚得出的信息中正确的有③④共2个．
故选：B．
由函数图象的信息，逐一判断．
本题考查了函数的概念及其图象．关键是根据函数的图象的变化得出信息．
11.【答案】x≠3
【解析】解：根据题意得：x−3≠0，
解得：x≠3．
故答案为x≠3．
根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.【答案】2 3
【解析】解：原式=xy(x+y)=( 3+ 2)( 3− 2)×2 3=2 3．
故答案是：2 3．
首先把所求的式子分解因式，然后代入数值计算即可．
本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行变形，以及对平方差公式的里理解是关键．
13.【答案】乙
【解析】解：∵S甲2=2.25，S乙2=1.81，S丙2=3.42，
∴S丙2>S甲2>S乙2，
∴最适合参加决赛的选手是乙．
故答案为：乙．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14.【答案】13
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AB=AD，
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴∠DEA=∠BFA=∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠DAE=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠DAE=∠ABF，且AB=AD，∠DEA=∠BFA，
∴△ABF≌△DAE(SAS)
∴DE=AF=5，BF=AE=8，
∴EF=AF+AE=13，
故答案为：13．
由“SAS”可证△ABF≌△DAE，可得DE=AF=5，BF=AE=8，可得结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△ABF≌△DAE是本题的关键．
15.【答案】y=−12x+3
【解析】
【分析】
本题考查图形的翻折变换，待定系数法求解析式，勾股定理.解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
把x的值代入即可求出y的值，即是点的坐标，再把坐标代入就能求出解析式．
【解答】
解：法一：
当x=0时，y=−43x+8=8，即B(0,8)，
当y=0时，x=6，即A(6,0)，
所以AB=AB′=10，即B′(−4,0)，
因为点B与B′关于AM对称，
所以BB′的中点为(0−42,8+02)，即(−2,4)在直线AM上，
设直线AM的解析式为y=kx+b，把(−2,4)，(6,0)，代入可得：
y=−12x+3．
法二：
直线y=−43x+8与x轴，y轴分别交于点A和B，
∴A(6,0)，B(0,8)，
AB= 62+82=10，
∴AB′=10，
设OM=x，则B′M=BM=BO−MO=8−x，B′O=AB′−AO=10−6=4，
∴x2+42=(8−x)2，
x=3，
∴M(0,3)，
又A(6,0)，
直线AM的解析式为y=−12x+3．
故答案为y=−12x+3．
16.【答案】2.2
【解析】解：如图，过点A作AE⊥CD，则CE=AB=1.7，AE=BC= 6，AD=2.5，
Rt△ADE中，DE= AD2−AE2= (2.5)2−( 6)2=0.5，
∴CD=CE+ED=1.7+0.5=2.2．
故答案为：2.2．
如图，过点A作AE⊥CD，构建直角三角形，运用勾股定理求解．
本题考查勾股定理解直角三角形，关键是添加辅助线构造直角三角形．
17.【答案】245
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO=4，AO=CO，AC⊥BD，
∴BD=8，
∵S菱形ABCD=12AC×BD=24，
∴AC=6，
∴OC=12AC=3，
∴BC= OB2+OC2=5，
∵S菱形ABCD=BC×AH=24，
∴AH=245；
故答案为：245．
根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键．
18.【答案】2n−1 3
【解析】解：∵四边形A0B1A1C1菱形，
∴A1B1=B1A0=2，
又∵∠A0B1A1=60°，
∴△A1B1A0是等边三角形，
∴点B1的横坐标为 3，
同理可求点B2的横坐标为2 3，点B3的横坐标为4 3，点B4的横坐标为8 3，
∴点Bn的横坐标为2n−1 3，
故答案为：2n−1 3．
由菱形的性质可得A1B1=B1A0=2，可证△A1B1A0是等边三角形，可得点B1的横坐标为 3，同理可证点B2的横坐标为2 3，点B3的横坐标为4 3，点B4的横坐标为8 3，即可求解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，找出规律是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(5x+3yx2−y2−2xx2−y2)÷1x2y−xy2
=5x+3y−2xx2−y2⋅(x2y−xy2)
=3(x+y)(x+y)(x−y)⋅xy(x−y)
=3xy．
当x= 5+1，y= 5−1时，
原式=3×( 5+1)( 5−1)
=3×(5−1)
=12．
【解析】先将分式化简，再代值计算即可．
本题考查分式的化简求值．正确化简是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示．
(2)四边形ABEF是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB．
由(1)得AF=AB，
∴BE=AF．
又∵BE//AF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AF=AB，
∴四边形ABEF是菱形．
【解析】(1)以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交AB、AD于两点；分别以两点为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于一点，连接该点与A点交BC于点E，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点F，连接EF．
(2)由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，证出BE=AB，由(1)得：AF=AB，得出BE=AF，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、作图一基本作图、等腰三角形的判定、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质和角平分线作图，证明BE=AB是解决问题(2)的关键．
21.【答案】3 2 75 70
【解析】解：(2)由收集的数据可得：m=3，n=2，
故答案为：3，2；
(3)①加班成绩为：50，60，65，65，75，75，75，80，85，90，
∴甲班成绩的中位数x=75+752=75，
乙班成绩出现次数最多的是7(0分)，
∴乙班成绩的众数为y=70，
故答案为：75，70；
②根据题意得：50×410=20(名)，
答：估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生为20名．
(2)由收集的数据即可得到答案；
(3)①由众数和中位数的定义求解可得；②用总人数乘以乙班样本中优秀人数所占比例可得．
本题考查了众数、中位数以及样本估计总体，熟练掌握众数、中位数的定义以及用样本估计总体的计算方法是解题的关键．
22.【答案】解：由图形折叠可得BE=EG，DF=FG，
∵正方形ABCD的边长为3，BE=1，
∴EG=1，EC=3−1=2，CF=3−FG，
在直角△ECF中，
∴EF2=EC2+CF2，
∴(1+GF)2=22+(3−GF)2，
解得GF=32，
∴EF=1+32=52．
【解析】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG，因为正方形ABCD的边长为3，BE=1，求出EG，EC，在直角△ECF中，运用勾股定理求出GF，再求出EF．
本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段．
23.【答案】是 90° 2或43
【解析】解：(1)∵∠PAB=∠PBA，
∴PA=PB，
∴点P是△ABC的“智慧心”，
故答案为：是；
(2)连接PA、PB，
若PB=PC，则∠PCB=∠PBC，
∵CD为等边三角形ABC的高，
∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，
∴PD= 33DB= 36AB，这与已知PD=12AB矛盾，
∴PB≠PC，即PB=PC不存在，
同理可知，PA≠PC，即PA=PC不存在，
若PA=PB，
∵PD=12AB，
∴PD=BD，
∴∠BPD=45°，
∴∠APB=90°，
故答案为：90°；
(3)若PB=PC，设PC=x，则PA=4−x，
∵∠A=90°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=30°，
∴BC=2AB，
由勾股定理得：AB2+AC2=BC2，即AB2+42=(2AB)2，
解得：AB=4 33，
在Rt△BAP中，BP2=PA2+AB2，即x2=(4−x)2+(4 33)2，
解得：x=83，
∴PA=4−83=43；
若PA=PC，则PA=12AC=2，
若PA=PB，由图知，在Rt△PBC中，这种情况不可能，
综上所述，PA的长为2或43，
故答案为：2或43．
(1)根据等腰三角形的判定定理得到PA=PB，根据“智慧心”的定义判断；
(2)分PB=PC、PA=PC、PA=PB三种情况，根据等边三角形的性质和“智慧心”的定义解答；
(3)根据勾股定理求出PB=PC、PA=PC、PA=PB三种情况，根据勾股定理解答．
本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，理解“智慧心”的定义是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设每只A型口罩和每只B型口罩的销售利润分别为a元和b元．
根据题意，得80a+45b=2140a+60b=18，解得a=0.15b=0.2．
∴每只A型口罩和每只B型口罩的销售利润分别为0.15元和0.2元．
(2)购进B型口罩(2000−x)只．
根据题意，得y=0.15x+0.2(2000−x)=−0.05x+400．
由题意得2000−x≥x2000−x≤3x，解得500≤x≤1000．
∴y=−0.05x+400(500≤x≤1000)．
(3)∵y=−0.05x+400(500≤x≤1000)，
∴y随x的减小而增大，
∴当x=500时，y最大．
∴2000−x=2000−500=1500．
∴该药店购进A型、B型口罩各500只和1500只，才能使销售总利润最大．
【解析】(1)设每只A型口罩和每只B型口罩的销售利润分别为a元和b元，根据题意列方程组并求解即可．
(2)购进B型口罩(2000−x)只，写出y关于x的函数关系式，并依题意列不等式组，求出x的取值范围；
(3)根据y随x的增减特点和x的取值范围，判断当x为何值时y值取最大值，并计算出此时购进B型口罩的数量．
本题考查一次函数、二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题过程稍微复杂，需要认真、细心，防止出错．
25.【答案】BE=DG 24
【解析】(1)解：BE与DG的数量关系为相等，
∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形，
∴BC=CD，CE=CG，
∵∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD−∠ECD=∠ECG−∠ECD，
即∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
CB=CD∠BCE=∠DCGCE=CG，
∴△BCE≌△DCG(SAS)，
∴BE=DG．
故答案为：BE=DG；
(2)解：BE=DG，理由如下：
∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F，
∵∠A=∠F，
∴∠BCD=∠ECG，
∴∠BCD−∠ECD=∠ECG−∠ECD，
即∠BCE=∠DCG，
∴△BCE≌△DCG(SAS)．
∴BE=DG．
(3)解：∵四边形ABCD是菱形，S△EBC=9，
∴S△AEB+S△EDC=9，
∵AE=2DE，
∴S△AEB=2S△EDC，
∴S△AEB=6，S△EDC=3，
∵△BCE≌△DCG，
∴S△DGC=S△EBC=9，
∴S△ECG=9+3=12，
∴菱形CEFG的面积=2⋅S△EGC=24，
故答案为：24．
(1)证明△BCE≌△DCG即可解决问题；
(2)BE=DG，证明△BCE≌△DCG；
(3)由四边形ABCD是菱形，S△EBC=9，推出S△AEB+S△EDC=9，由AE=2DE，推出S△AEB=2S△EDC，可得S△AEB=6，S△EDC=3，由△BCE≌△DCG，推出S△DGC=S△EBC=9，根据菱形CEFG的面积=2⋅S△EGC即可解决问题．
本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质解决问题，灵活运用条件解决问题．
26.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，点A的坐标为(−5,4)，
∴AD=AB=DC=BC=5，OD=4．
在Rt△COD中，由勾股定理，得
OC= CD2−OD2= 52−42=3．
∴BO=BC−OC=2．
∴B(−2,0)；
(2)∵S△BPD=12BP⋅DO=12×4⋅BP=2BP．
①当点P在OB上时，BP=2−t，
∴S=4−2t(0≤t<2)；
②当点P在OB的延长线上时，BP=t−2，
∴S=2t−4(t>2)．
综上，S=4−2t(0≤t<2)2t−4(t>2)；
(3)当∠PQC=∠PAC=90°时，设P(m,0)，
则点A到x轴的距离等于点Q到x轴的距离，即为4，
作QF⊥PC于点F，AE⊥PC于点E，
∵AC2=42+(5+3)2=80，AP2=42+(−5−m)2，CP2=(3−m)2，
由勾股定理得AC2+AP2=CP2，即80+42+(−5−m)2=(3−m)2，
解得m=7，
即P(7,0)，
∴PE=2，
∵四边形APQC是矩形，
∴AP=QC，AB//CD，
∴∠APE=∠QCF，又∠AEP=∠QFC=90°，
∴△APE≌△QCF，
∴CF=PE=2，
∴Q(1,0)；
当∠AQC=90°时，如图，
∴Q(3,4)；
综上，点Q的坐标为(1,0)或(3,4)．
【解析】(1)利用菱形的性质和点A的坐标求出菱形的边长，在Rt△COD中，由勾股定理得OC的长，求得OB的长即可；
(2)分P在线段OB上或P在OB延长线上两种情况分别列出S与t的函数关系式即可；
(3)分∠PQC=90°和∠AQC=90°两种情况讨论，当∠PQC=90°时，利用勾股定理和全等三角形的判定和性质求解即可；当∠AQC=90°时，画出图形，直接写出点Q的坐标．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
2022-2023学年黑龙江省双鸭山市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式计算正确的是( )
A. 24÷ 6=4 B. 54÷ 9= 6
C. 30÷ 6=5 D. 47÷ 149=7 2
2. 满足下列条件的△ABC，其中不是直角三角形的是( )
A. b2=(a+c)(a−c) B. a：b：c=1： 3：2
C. ∠C=∠A−∠B D. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
3. 某校男子足球队的年龄分布如下表：
年龄/岁
13
14
15
16
17
18
人数
2
6
8
3
2
1
则这些队员年龄的平均数是( )
A. 13 B. 14 C. 14.5 D. 15
4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的y1=ax+b与y2=bx+a图象可能是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE，CE，若DE=AB，则∠AEC的度数为( )
A. 105°
B. 120°
C. 135°
D. 150°
6. 我们规定：对于任意的正数m，n的运算“Φ”为当m
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点.若AB=10，BC=6，则线段CD的长为( )
A. 3 B. 103 C. 83 D. 165
8. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是( )
A. x=20 B. x=5 C. x=25 D. x=15
9. 如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若AC=4，则EF的长为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 哈尔滨市举办中小学生春季越野大赛，小明、小颖两名同学同时从起点出发，他们所跑的路程y(千米)与时间x(分)的函数关系如图所示小刚由图示得出下列信息：①出发后，途中小明和小颖有三次相遇；②小明在比赛中的速度始终比小颖快，所以小明先到达终点；③比赛开始20分钟时小颖跑了2500米；④越野全程为6000米；在小刚得出的信息中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 在函数y=x+2x−3中，自变量x的取值范围是______．
12. 已知x= 3+ 2，y= 3− 2，则x2y+xy2= ______ ．
13. 从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是88.9，方差分别是S甲2=2.25，S乙2=1.81，S丙2=3.42，你认为最适合参加决赛的选手是______ (填“甲”或“乙”或“丙”)．
14. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=5，BF=8，则EF的长为______．
15. 如图，直线y=−43x+8与x轴，y轴分别交于点A和B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则直线AM的解析式为______．
16. 小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球.已知小明与篮板底的距离BC= 6米，眼睛与地面的距离AB=1.7米，眼睛与篮板的点D的距离AD=2.5米，则点D到地面的距离CD是______ 米.
17. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH= ．
18. 如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…，An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…，Bn在第一象限，点C1，C2，C3…，Cn在第二象限，四边形A0B1A1C1、四边形A1B2A2C2、四边形A2B3A5C3……四边形An−1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3=…=∠An−1BnAn=60°，若A0A1：A1A2：A2A3：…：An−1An=1：2：4：…：2n−1，且A0A1=2，则点Bn的横坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(5x+3yx2−y2+2xy2−x2)÷1x2y−xy2，其中x= 5+1，y= 5−1．
20. (本小题5.0分)
如图，在▱ABCD中，已知AD>AB．
(1)作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.)
(2)直接写出四边形ABEF的形状．
21. (本小题6.0分)
某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了解这两个班学生的身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
(1)收集数据
从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩(百分制)如下：
甲班：65 75 75 80 60 50 75 90 85 65
乙班：90 55 80 70 55 70 95 80 65 70
(2)整理、描述数据
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x/分
50≤x<60
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x<100
甲班
1
3
3
2
1
乙班
2
1
m
2
n
则m= ______ ，n= ______ ；
(3)分析数据
①两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表：
班级
平均数
中位数
众数
甲班
72
x
75
乙班
73
70
y
则x= ______ ，y= ______ ．
②若规定测试成绩在80分以上的学生的身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生人数．
22. (本小题8.0分)
如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE=1，求EF的长．
23. (本小题8.0分)
联想中垂线的性质，我们可引入如下概念：
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的“智慧心”．
(1)举例：如图①，在△ABC中，∠PAB=∠PBA，判断：点P ______ (填“是”或“不是”)△ABC的“智慧心”；
(2)应用：如图②，若CD为等边三角形ABC的高，“智慧心”P在高CD上，且PD=12AB，则∠APB的度数为______ ；
(3)探究：已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，∠ABC=60°，AC=4，“智慧心”P在AC边上，则PA的长为______ ．
24. (本小题10.0分)
某药店销售A，B两种型号的口罩，已知销售80只A型和45只B型的利润为21元；销售40只A型和60只B型的利润为18元．
(1)求每只A型口罩和每只B型口罩的销售利润；
(2)该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不少于A型口罩的进货量且不超过它的3倍，设购进A型口罩x只，这2000只口罩的销售总利润为y元，求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(3)在(2)的条件下，该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销售总利润最大？
25. (本小题12.0分)
(1)【感知】如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．BE与DG的数量关系为______．
(2)【拓展】如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F.请判断BE与DG的数量关系，并说明理由
(3)【应用】如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE=2ED，∠A=∠F，△EBC的面积为9，则菱形CEFG的面积为______．
26. (本小题12.0分)
如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A的坐标为(−5,4)，点B，C在x轴上，点D在y轴上．
(1)求点B的坐标；
(2)动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿射线OB方向运动，设点P运动的时间为t秒，连接PD，BD，设△PBD的面积为S(S≠0)，求S与t的函数关系式(请直接写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，平面内是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 24÷ 6=2，不符合题意；
B、 54÷ 9= 6，符合题意；
C、 30÷ 6= 5，不符合题意；
D、 47÷ 149= 47×49=2 7，不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的除法法则计算．
本题主要考查了二次根式的除法，掌握二次根式的除法运算法则是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵b2=(a+c)(a−c)，
∴b2=a2−c2即a2=c2+b2，
∴△ABC是直角三角形，故该选项不符合题意；
B、a：b：c=1： 3：2，设a=x,b= 3x,c=2x，
∴a2+b2=x2+3x2=4x2，c2=4x2，
∴a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形，故该选项不符合题意；
C、∵∠C=∠A−∠B，∠C+∠B+∠A=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故该选项不符合题意；
D、∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠C+∠B+∠A=180°，
∴最大角为∠C=180°×53+4+5=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故该选项符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：平均数为(13×2+14×6+15×8+16×3+17×2+18×1)÷(2+6+8+3+2+1)=15(岁)，
故选：C．
根据平均数的意义和计算方法进行计算即可．
本题考查平均数，理解平均数的意义是正确解答的前提．
4.【答案】C
【解析】解：A、∵一次函数y1=ax+b的图象经过一、三、四象限，
∴a>0，b<0；
由一次函数y2=bx+a图象可知，b<0，a<0，两结论矛盾，故错误；
B、∵一次函数y1=ax+b的图象经过一、二、三象限，
∴a>0，b>0；
由y2的图象可知，a>0，b<0，两结论矛盾，故错误；
C、∵一次函数y1=ax+b的图象经过一、三、四象限，
∴a>0，b<0；
由y2的图象可知，a>0，b<0，两结论一致，故正确；
D、∵一次函数y1=ax+b的图象经过一、二、四象限，
∴a<0，b>0；
由y2的图象可知，a<0，b<0，两结论相矛盾，故错误．
故选：C．
先由一次函数y1=ax+b图象得到字母系数的符号，再与一次函数y2=bx+a的图象相比较看是否一致．
此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
5.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=AB，∠ADB=∠EDC=45°，
在△ADE与△CDE中，
AD=CD∠ADB=∠EDCDE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴∠AED=∠CED，
∵DE=AB=AD，
∴∠AED=180°−45°2，
∴∠AEC=2∠AED=180°−45°=135°，
故选：C．
根据正方形的性质得出∠ADB=∠EDC，进而利用SAS证明△ADE与△CDE全等，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠ADB=∠EDC解答．
6.【答案】B
【解析】解：∵当m≥n时，mΦn=2 m− n，
∴3Φ2=2 3− 2，
∵当m
∴(3Φ2)−(8Φ12)=(2 3− 2)−(4 2+2 3)=−5 2．
故选：B．
根据新定义当m
7.【答案】A
【解析】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE=DC，
在Rt△ABC中，AC= AB2−BC2= 102−62=8，
∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，
∴12⋅DE×10+12⋅CD×6=12×6×8，
即5DE+3CD=24，
∴CD=3．
故选：A．
利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到DE=DC，再利用勾股定理计算出AC=8，然后利用面积法得到12⋅DE×10+12⋅CD×6=12×6×8，最后解方程即可．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作已知角的角平分线).也考查了角平分线的性质．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次方程，两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解．
根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解，可得答案．
【解答】
解：∵直线y=x+5和直线y=ax+b相交于点P(20,25)，
∴方程x+5=ax+b的解是x=20．
故选：A．
9.【答案】B
【解析】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE//BC，AE=EC，
∴∠BCF=∠EFC，
∵CF平分∠ACB，
∴∠BCF=∠ECF，
∴∠ECF=∠EFC，
∴EF=EC=12AC=2，
故选：B．
根据三角形中位线定理得到DE//BC，进而证明∠BCF=∠EFC，根据角平分线的定义、等腰三角形的判定定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：①由函数图象可知，小明和小颖在M、N两处有二次相遇，故①说法错误；
②由函数图象可知，小明由快−慢−快的速度运动，故②说法错误；
③比赛开始20分钟时，对应点为M点，此时路程为2.5千米=2500米，故③说法正确；
④2500÷20×48=6000(米)即越野全程为6000米，故④说法正确．
在小刚得出的信息中正确的有③④共2个．
故选：B．
由函数图象的信息，逐一判断．
本题考查了函数的概念及其图象．关键是根据函数的图象的变化得出信息．
11.【答案】x≠3
【解析】解：根据题意得：x−3≠0，
解得：x≠3．
故答案为x≠3．
根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.【答案】2 3
【解析】解：原式=xy(x+y)=( 3+ 2)( 3− 2)×2 3=2 3．
故答案是：2 3．
首先把所求的式子分解因式，然后代入数值计算即可．
本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行变形，以及对平方差公式的里理解是关键．
13.【答案】乙
【解析】解：∵S甲2=2.25，S乙2=1.81，S丙2=3.42，
∴S丙2>S甲2>S乙2，
∴最适合参加决赛的选手是乙．
故答案为：乙．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14.【答案】13
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AB=AD，
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴∠DEA=∠BFA=∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠DAE=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠DAE=∠ABF，且AB=AD，∠DEA=∠BFA，
∴△ABF≌△DAE(SAS)
∴DE=AF=5，BF=AE=8，
∴EF=AF+AE=13，
故答案为：13．
由“SAS”可证△ABF≌△DAE，可得DE=AF=5，BF=AE=8，可得结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△ABF≌△DAE是本题的关键．
15.【答案】y=−12x+3
【解析】
【分析】
本题考查图形的翻折变换，待定系数法求解析式，勾股定理.解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
把x的值代入即可求出y的值，即是点的坐标，再把坐标代入就能求出解析式．
【解答】
解：法一：
当x=0时，y=−43x+8=8，即B(0,8)，
当y=0时，x=6，即A(6,0)，
所以AB=AB′=10，即B′(−4,0)，
因为点B与B′关于AM对称，
所以BB′的中点为(0−42,8+02)，即(−2,4)在直线AM上，
设直线AM的解析式为y=kx+b，把(−2,4)，(6,0)，代入可得：
y=−12x+3．
法二：
直线y=−43x+8与x轴，y轴分别交于点A和B，
∴A(6,0)，B(0,8)，
AB= 62+82=10，
∴AB′=10，
设OM=x，则B′M=BM=BO−MO=8−x，B′O=AB′−AO=10−6=4，
∴x2+42=(8−x)2，
x=3，
∴M(0,3)，
又A(6,0)，
直线AM的解析式为y=−12x+3．
故答案为y=−12x+3．
16.【答案】2.2
【解析】解：如图，过点A作AE⊥CD，则CE=AB=1.7，AE=BC= 6，AD=2.5，
Rt△ADE中，DE= AD2−AE2= (2.5)2−( 6)2=0.5，
∴CD=CE+ED=1.7+0.5=2.2．
故答案为：2.2．
如图，过点A作AE⊥CD，构建直角三角形，运用勾股定理求解．
本题考查勾股定理解直角三角形，关键是添加辅助线构造直角三角形．
17.【答案】245
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO=4，AO=CO，AC⊥BD，
∴BD=8，
∵S菱形ABCD=12AC×BD=24，
∴AC=6，
∴OC=12AC=3，
∴BC= OB2+OC2=5，
∵S菱形ABCD=BC×AH=24，
∴AH=245；
故答案为：245．
根据菱形面积=对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键．
18.【答案】2n−1 3
【解析】解：∵四边形A0B1A1C1菱形，
∴A1B1=B1A0=2，
又∵∠A0B1A1=60°，
∴△A1B1A0是等边三角形，
∴点B1的横坐标为 3，
同理可求点B2的横坐标为2 3，点B3的横坐标为4 3，点B4的横坐标为8 3，
∴点Bn的横坐标为2n−1 3，
故答案为：2n−1 3．
由菱形的性质可得A1B1=B1A0=2，可证△A1B1A0是等边三角形，可得点B1的横坐标为 3，同理可证点B2的横坐标为2 3，点B3的横坐标为4 3，点B4的横坐标为8 3，即可求解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，找出规律是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(5x+3yx2−y2−2xx2−y2)÷1x2y−xy2
=5x+3y−2xx2−y2⋅(x2y−xy2)
=3(x+y)(x+y)(x−y)⋅xy(x−y)
=3xy．
当x= 5+1，y= 5−1时，
原式=3×( 5+1)( 5−1)
=3×(5−1)
=12．
【解析】先将分式化简，再代值计算即可．
本题考查分式的化简求值．正确化简是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示．
(2)四边形ABEF是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB．
由(1)得AF=AB，
∴BE=AF．
又∵BE//AF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AF=AB，
∴四边形ABEF是菱形．
【解析】(1)以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交AB、AD于两点；分别以两点为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于一点，连接该点与A点交BC于点E，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点F，连接EF．
(2)由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，证出BE=AB，由(1)得：AF=AB，得出BE=AF，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、作图一基本作图、等腰三角形的判定、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质和角平分线作图，证明BE=AB是解决问题(2)的关键．
21.【答案】3 2 75 70
【解析】解：(2)由收集的数据可得：m=3，n=2，
故答案为：3，2；
(3)①加班成绩为：50，60，65，65，75，75，75，80，85，90，
∴甲班成绩的中位数x=75+752=75，
乙班成绩出现次数最多的是7(0分)，
∴乙班成绩的众数为y=70，
故答案为：75，70；
②根据题意得：50×410=20(名)，
答：估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生为20名．
(2)由收集的数据即可得到答案；
(3)①由众数和中位数的定义求解可得；②用总人数乘以乙班样本中优秀人数所占比例可得．
本题考查了众数、中位数以及样本估计总体，熟练掌握众数、中位数的定义以及用样本估计总体的计算方法是解题的关键．
22.【答案】解：由图形折叠可得BE=EG，DF=FG，
∵正方形ABCD的边长为3，BE=1，
∴EG=1，EC=3−1=2，CF=3−FG，
在直角△ECF中，
∴EF2=EC2+CF2，
∴(1+GF)2=22+(3−GF)2，
解得GF=32，
∴EF=1+32=52．
【解析】由图形折叠可得BE=EG，DF=FG，因为正方形ABCD的边长为3，BE=1，求出EG，EC，在直角△ECF中，运用勾股定理求出GF，再求出EF．
本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段．
23.【答案】是 90° 2或43
【解析】解：(1)∵∠PAB=∠PBA，
∴PA=PB，
∴点P是△ABC的“智慧心”，
故答案为：是；
(2)连接PA、PB，
若PB=PC，则∠PCB=∠PBC，
∵CD为等边三角形ABC的高，
∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，
∴PD= 33DB= 36AB，这与已知PD=12AB矛盾，
∴PB≠PC，即PB=PC不存在，
同理可知，PA≠PC，即PA=PC不存在，
若PA=PB，
∵PD=12AB，
∴PD=BD，
∴∠BPD=45°，
∴∠APB=90°，
故答案为：90°；
(3)若PB=PC，设PC=x，则PA=4−x，
∵∠A=90°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=30°，
∴BC=2AB，
由勾股定理得：AB2+AC2=BC2，即AB2+42=(2AB)2，
解得：AB=4 33，
在Rt△BAP中，BP2=PA2+AB2，即x2=(4−x)2+(4 33)2，
解得：x=83，
∴PA=4−83=43；
若PA=PC，则PA=12AC=2，
若PA=PB，由图知，在Rt△PBC中，这种情况不可能，
综上所述，PA的长为2或43，
故答案为：2或43．
(1)根据等腰三角形的判定定理得到PA=PB，根据“智慧心”的定义判断；
(2)分PB=PC、PA=PC、PA=PB三种情况，根据等边三角形的性质和“智慧心”的定义解答；
(3)根据勾股定理求出PB=PC、PA=PC、PA=PB三种情况，根据勾股定理解答．
本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，理解“智慧心”的定义是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设每只A型口罩和每只B型口罩的销售利润分别为a元和b元．
根据题意，得80a+45b=2140a+60b=18，解得a=0.15b=0.2．
∴每只A型口罩和每只B型口罩的销售利润分别为0.15元和0.2元．
(2)购进B型口罩(2000−x)只．
根据题意，得y=0.15x+0.2(2000−x)=−0.05x+400．
由题意得2000−x≥x2000−x≤3x，解得500≤x≤1000．
∴y=−0.05x+400(500≤x≤1000)．
(3)∵y=−0.05x+400(500≤x≤1000)，
∴y随x的减小而增大，
∴当x=500时，y最大．
∴2000−x=2000−500=1500．
∴该药店购进A型、B型口罩各500只和1500只，才能使销售总利润最大．
【解析】(1)设每只A型口罩和每只B型口罩的销售利润分别为a元和b元，根据题意列方程组并求解即可．
(2)购进B型口罩(2000−x)只，写出y关于x的函数关系式，并依题意列不等式组，求出x的取值范围；
(3)根据y随x的增减特点和x的取值范围，判断当x为何值时y值取最大值，并计算出此时购进B型口罩的数量．
本题考查一次函数、二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题过程稍微复杂，需要认真、细心，防止出错．
25.【答案】BE=DG 24
【解析】(1)解：BE与DG的数量关系为相等，
∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形，
∴BC=CD，CE=CG，
∵∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD−∠ECD=∠ECG−∠ECD，
即∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
CB=CD∠BCE=∠DCGCE=CG，
∴△BCE≌△DCG(SAS)，
∴BE=DG．
故答案为：BE=DG；
(2)解：BE=DG，理由如下：
∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠A，∠ECG=∠F，
∵∠A=∠F，
∴∠BCD=∠ECG，
∴∠BCD−∠ECD=∠ECG−∠ECD，
即∠BCE=∠DCG，
∴△BCE≌△DCG(SAS)．
∴BE=DG．
(3)解：∵四边形ABCD是菱形，S△EBC=9，
∴S△AEB+S△EDC=9，
∵AE=2DE，
∴S△AEB=2S△EDC，
∴S△AEB=6，S△EDC=3，
∵△BCE≌△DCG，
∴S△DGC=S△EBC=9，
∴S△ECG=9+3=12，
∴菱形CEFG的面积=2⋅S△EGC=24，
故答案为：24．
(1)证明△BCE≌△DCG即可解决问题；
(2)BE=DG，证明△BCE≌△DCG；
(3)由四边形ABCD是菱形，S△EBC=9，推出S△AEB+S△EDC=9，由AE=2DE，推出S△AEB=2S△EDC，可得S△AEB=6，S△EDC=3，由△BCE≌△DCG，推出S△DGC=S△EBC=9，根据菱形CEFG的面积=2⋅S△EGC即可解决问题．
本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质解决问题，灵活运用条件解决问题．
26.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，点A的坐标为(−5,4)，
∴AD=AB=DC=BC=5，OD=4．
在Rt△COD中，由勾股定理，得
OC= CD2−OD2= 52−42=3．
∴BO=BC−OC=2．
∴B(−2,0)；
(2)∵S△BPD=12BP⋅DO=12×4⋅BP=2BP．
①当点P在OB上时，BP=2−t，
∴S=4−2t(0≤t<2)；
②当点P在OB的延长线上时，BP=t−2，
∴S=2t−4(t>2)．
综上，S=4−2t(0≤t<2)2t−4(t>2)；
(3)当∠PQC=∠PAC=90°时，设P(m,0)，
则点A到x轴的距离等于点Q到x轴的距离，即为4，
作QF⊥PC于点F，AE⊥PC于点E，
∵AC2=42+(5+3)2=80，AP2=42+(−5−m)2，CP2=(3−m)2，
由勾股定理得AC2+AP2=CP2，即80+42+(−5−m)2=(3−m)2，
解得m=7，
即P(7,0)，
∴PE=2，
∵四边形APQC是矩形，
∴AP=QC，AB//CD，
∴∠APE=∠QCF，又∠AEP=∠QFC=90°，
∴△APE≌△QCF，
∴CF=PE=2，
∴Q(1,0)；
当∠AQC=90°时，如图，
∴Q(3,4)；
综上，点Q的坐标为(1,0)或(3,4)．
【解析】(1)利用菱形的性质和点A的坐标求出菱形的边长，在Rt△COD中，由勾股定理得OC的长，求得OB的长即可；
(2)分P在线段OB上或P在OB延长线上两种情况分别列出S与t的函数关系式即可；
(3)分∠PQC=90°和∠AQC=90°两种情况讨论，当∠PQC=90°时，利用勾股定理和全等三角形的判定和性质求解即可；当∠AQC=90°时，画出图形，直接写出点Q的坐标．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
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