2022-2023学年山东省泰安市东平县七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省泰安市东平县七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省泰安市东平县七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子是一元一次不等式的是(    )
A. 2x−2<3 B. 13(x−6)<0 C. 2x−y>4 D. x2−1>0
2. 下列事件中，属于假命题的是(    )
A. 等腰三角形是锐角三角形 B. 等边三角形是等腰三角形
C. 两点之间，线段最短 D. 等边三角形是锐角三角形
3. 已知在△ABC中，∠A−∠B=30°，且∠C=4∠B，则△ABC为(    )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
4. 如图，AB/​/EF/​/CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE等于(    )


A. 23° B. 16° C. 20° D. 26°
5. 如图，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠A=35°，则∠D等于(    )


A. 50° B. 65° C. 55° D. 70°
6. 若不等式组x+8<4x−1x>m的解集是x>3，则m的取值范围是(    )
A. m<3 B. m≤3 C. m>3 D. m≥3
7. 将一个各面涂有颜色的正方体，分割成同样大小的27个小正方体，从这些正方体中任取一个，恰有3个面涂有颜色的概率是(    )
A. 1927 B. 1227 C. 23 D. 827
8. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中(    )
A. 有一个内角小于60° B. 每一个内角都小于60°
C. 有一个内角大于60° D. 每一个内角都大于60°
9. 已知方程组5x+y=3ax+5y=4和x−2y=55x+by=1有相同的解，则a，b的值为(    )
A. a=1b=2 B. a=−4b=−6 C. a=−6b=2 D. a=14b=2
10. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=(    )

A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°
11. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是(    )


A. 1.5 B. 2 C. 2.25 D. 2.5
12. 如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG/​/BC，CG⊥EG于点G，则下列结论
①∠CEG=2∠DCA；
②∠DFE=130°；
③∠DFB=12∠A；
④∠ADC=∠GCD；
⑤CA平分∠BCG，其中正确的结论是(    )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①③④⑤ D. ①②③④
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 等腰三角形有一个角为30°，则它的顶角为______．
14. 某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯40s，绿60s，黄灯3s，小刚的爸爸随机地由南往北开车经过该路口时遇到红灯的概率是______．
15. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，D为AC的中点，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE=DF= 3，则线段BE的长为______ ．


16. 如图，函数y=−2x和y=ax+4的图象相交于A(m,3)，则关于x的不等式0

17. 以方程组y=2x−3y=−x+1的解为坐标的点(x,y)在第______ 象限．
18. 如图，已知AB=A1B，A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，……以此类推，若∠B=20°，则∠C2023A2023A= ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题16.0分)
解下列方程组、不等式组：
(1)2x−y=5x−1=12(2y−1)
(2)x+y4−x−y2=723(x+y)−2(x−y)=10
(3)1−53x≥13x−65x−1>3(x−1)
(4)x−12>x+2510−4(x−3)≥2(x−1)
20. (本小题6.0分)
在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球.其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是13．
(1)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(2)能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率14，若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由．
21. (本小题12.0分)
某商场从厂家批发电视机进行零售，批发价格与零售价格如下表：若商场购进甲、乙两种型号的电视机共50台，用去9万元．
(1)求商场购进甲、乙型号的电视机各多少台？
(2)迎“国庆”商场决定进行优惠促销：以零售价的七五折销售乙种型号电视机，两种电视机销售完毕，商场共获利8.5%，求甲种型号电视机打几折销售？
电视机型号
甲
乙
批发价(元/台)
1500
2500
零售价(元/台)
2025
3640

22. (本小题10.0分)
如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
(1)不等式kx+b<0的解集是______ ；
(2)求两个一次函数表达式；
(3)若直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．

23. (本小题12.0分)
某学校开展了一次防疫知识竞赛，为了奖励表现突出的同学，计划购买甲、乙两种奖品.调查发现，若购买甲种奖品3件，乙种奖品2件，共需费用190元；若购买甲种奖品4件，乙种奖品3件，共需费用270元．
(1)甲、乙两种奖品每件的价格分别是多少元？
(2)若购买甲、乙两种奖品共60件，要使总费用不超过2700元，学校最少购买几件甲种奖品？
24. (本小题10.0分)
已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．
(1)求证：BF=AC；
(2)求证：CE=12BF．

25. (本小题12.0分)
如图，△ABD和△CBD是等边三角形，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF，连接BF与DE交于点G，连接CG．
求证：
(1)DE=BF；
(2)CG平分∠BGD．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A、此不等式中2x不是整式，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
B、此不等式是一元一次不等式，故此选项符合题意；
C、此不等式含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
D、此不等式最高次数是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意．
故选：B．
只含有一次未知数，且未知数的最高次数为1的不等式叫一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可直接判断求解．
本题主要考查一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．要注意：一元一次不等式中必须只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，并且不等式左右两边必须是整式．

2.【答案】A 
【解析】解：A.等腰三角形不一定是锐角三角形，故原命题错误，属于假命题，符合题意；
B.等边三角形是等腰三角形，正确，属于真命题，不符合题意；
C.两点之间，线段最短，正确，属于真命题，不符合题意；
D.等边三角形是锐角三角形，正确，属于真命题，不符合题意．
故选：A．
当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题．
本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义及几何图形的性质是解答本题的关键，

3.【答案】C 
【解析】解：∵∠A−∠B=30°，
∴∠A=∠B+30°．
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+30°+∠B+4∠B=180°，
∴∠B=25°，
∴∠C=4∠B=4×25°=100°．
∵100°>90°，
∴△ABC为钝角三角形．
故选：C．
由∠A−∠B=30°，可得出∠A=∠B+30°，在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠B的度数，将其代入∠C=4∠B中，可求出∠C的度数，结合∠C=100°>90°，可得出△ABC为钝角三角形．
本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．

4.【答案】C 
【解析】解：∵AB//EF//CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，
∴∠BCD=∠ABC=46°，∠FEC+∠ECD=180°，
∴∠ECD=180°−∠FEC=26°，
∴∠BCE=∠BCD−∠ECD=46°−26°=20°．
故选：C．
根据平行线的性质得到∠BCD=∠ABC=46°，∠FEC+∠ECD=180，求出∠ECD，根据∠BCE=∠BCD−∠ECD求出即可．
本题主要考查对平行线的性质的理解和掌握，能熟练地运用平行线的性质进行计算是解此题的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：连DA，如图，
∵点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，
∴DA=DB，DB=DC，
即DA=DB=DC，
∴点A、B、C三点在以D点圆心，DB为半径的圆上，
∴∠BDC=2∠BAC=2×35°=70°．
故选D．
连DA，根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB=DC，则可判断点A、B、C三点在以D点圆心，DB为半径的圆上，而弧BC所对的圆周角为∠BAC，所对的圆心角为∠BDC，
根据圆周角定理得到∠BDC=2∠BAC，即可计算出∠D．
本题考查了线段垂直平分线的概念及其性质，以及圆周角定理．

6.【答案】B 
【解析】解：①x+8<4x−1，
−3x<−9，
x>3；
②x>m，
∵不等式组的解集为x>3，
∴m≤3；
故选：B．
先将每一个不等式解出，然后根据不等式的解集是x>3求出m的范围．
本题考查不等式组的解法，解题的关键是熟练一元一次不等式的解法，以及正确理解不等式组的解集，本题属于中等题型．

7.【答案】D 
【解析】解：从这些正方体中任取一个，有27种可能，恰有3面涂有颜色的情况有8种，
故恰有3面涂有颜色的概率=827．
故选：D．
首先确定出从27个小正方体中任取一个一共有27种可能出现的结果，然后确定出取出的正方体的3个面都涂色的一共有8种情况；根据上面的分析，用3个面都涂色的正方体的情况数除以总情况数，即可解答本题，自己试试吧！
本题主要考查了用列表法求概率，理解并运用列表法求概率的方法是做题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，
应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°．
故选：D．
熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
(1)假设结论不成立；
(2)从假设出发推出矛盾；
(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

9.【答案】D 
【解析】解：∵方程组5x+y=3ax+5y=4和x−2y=55x+by=1有相同的解，
∴方程组5x+y=3x−2y=5的解也是它们的解，
解得：x=1y=−2，
代入其它两个方程得a−10=45−2b=1，
解得：a=14b=2，
故选：D．
因为方程组5x+y=3ax+5y=4和x−2y=55x+by=1有相同的解，所以把5x+y=3和x−2y=5联立解之求出x、y，再代入其它两个方程即可得到关于a、b的方程组，解方程组即可求解．
本题主要考查了二元一次方程组的解及解法，正确理解题意，将方程组重新组合解得x，y的值是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】
【分析】
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．
【解答】
解：过点P作PN⊥BD于点N，PF⊥BA的延长线于点F，PM⊥AC于点M．

设∠PCD=x，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM．
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD−∠BPC=x−40°，
∴∠BAC=∠ACD−∠ABC=2x−2(x−40°)=80°，
∴∠CAF=100°．
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA,PF=PM,
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，
∴∠FAP=∠MAP=12∠CAF=50°，
即∠CAP=50°．
故选：C．  
11.【答案】B 
【解析】解：设AM=x，
连接BM，MB′，
在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，
在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，
∵MB=MB′，
∴AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2，
即92+x2=(9−x)2+(9−3)2，
解得x=2，即AM=2，
故选：B．

连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．
本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．

12.【答案】B 
【解析】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD
∵EG/​/BC，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正确；
∵∠A=90°，CG⊥EG，EG/​/BC，
∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，
∴∠GCD+∠BCD=90°，
又∵∠BCD=∠ACD，
∴∠ADC=∠GDC，故④正确；
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠FBC=12∠ABC,∠FCB=12∠ACB，
∴∠BFC=180°−∠FBC−∠FCB=180°−12(∠ACB+∠ABC)=135°，
∴∠DFB=180°−∠BFC=45°，
∴∠DFB=12∠A，故③正确；
∵∠BFC=135°，
∴∠DFE=∠BFC=135°，故②错误；
根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故⑤错误；
故选：B．
根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判断④；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出∠BFC=135°，即可判断②③；根据现有条件无法推出⑤．
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．

13.【答案】30°，120° 
【解析】解：①30°的角是顶角，则底角=180°−30°2=75°；
②30°的角是底角，则顶角=180°−2×30°=120°．
故答案是：30°、120°．
注意分类讨论，①30°的角是顶角，②30°的角是底角，然后根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查了三角形内角和定理、分类讨论．

14.【答案】40103 
【解析】解：∵该路口红灯的时间为40s，绿灯时间为60s，黄灯时间为3s，
∴爸爸随机地由南往北开车经过该路口时遇到红灯的概率是4040+60+3=40103，
故答案为：40103．
由红灯的时间为40秒，绿灯的时间为60秒，黄灯的时间为3秒，直接利用概率公式求解即可求得答案．
本题主要考查等可能时间的概率，注意解决此题的关键是：测度比为时间长度比．

15.【答案】3 
【解析】解：连接BD，如图，

∵DE=DF，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD=12∠ABC=12×60°=30°，
在Rt△BDE中，tan∠EBD=DEBE，
∴tan30°= 3BE，
∴BE=3．
故答案为：3．
连接BD，如图，利用角平分线性质定理的逆定理可判断BD平分∠ABC，则∠CBD=12∠ABC=12×60°=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系确定BE的长．
本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．

16.【答案】−6 【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
先把A(m,3)代入y=−2x得到A(−32,3)，再把A点坐标代入y=ax+4求出a，接着计算出直线y=ax+4与x轴的交点坐标，然后找出直线y=ax+4在x轴上方且在直线y=−2x的下方所对应的自变量的范围即可．

【解答】
解：当y=3时，−2x=3，解得x=−32，则两直线的交点A坐标为(−32,3)，
把(−32,3)代入y=ax+4得−32a+4=3，解得a=23，
当y=0时，23x+4=0，解得x=−6，则直线y=ax+4与x轴的交点坐标为(−6,0)，
所以当−6 故答案为−6 17.【答案】四 
【解析】解：y=2x−3①y=−x+1②，
把①代入②得，2x−3=−x+1，
解得x=43，
把x=43代入②得，y=−43+1=−13，
∴方程组的解是x=43y=−13，
∴以方程组的解为坐标的点的坐标是(43,−13)，
∴在第四象限，
故答案为：四．
先用代入消元法解二元一次方程组，然后根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征进行判断即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解，点的坐标，熟练掌握二元一次方程组的解法和各象限内点的坐标特征是解题的关键．

18.【答案】80°22022 
【解析】解：∵AB=A1B，∠B=20°，
∴∠A=∠C1A1A=12(180°−∠B)=80°=80°20，
∴∠A1C1A2+∠C2A2A=80°，
∵A1C1=A1A2，
∴∠A1C1A2=∠C2A2A=40°=12×80°=80°21，
∴∠A2C2A3+∠C3A3A=40°，
∵A2C2=A2A3，
∴∠A2C2A3=∠C3A3A=20°=12×12×80°=80°22，
…
∴∠C2023A2023A=80°22022，
故答案为：80°22022．
利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠A=∠C1A1A=80°20，从而利用三角形的外角性质可得∠A1C1A2+∠C2A2A=80°，进而利用等腰三角形的性质可得∠A1C1A2=∠C2A2A=80°21，然后按照同样的思路，从数字找规律进行计算，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，规律型：数字的变化类，规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．

19.【答案】解：(1)整理得：2x−y=5amp;①x−y=12amp;②，
①−②得：x=92，
将x=92代入①得：9−y=5，
解得y=4，
∴方程组的解为x=92y=4；
(2)整理得：−x+3y=14amp;①x+5y=10amp;②，
①+②得：8y=24，
解得y=3，
将y=3代入①得：−x+9=14，
解得x=−5，
所以方程组的解为x=−5y=3；
(3)解不等式1−53x≥13x−6得：x≤72，
解不等式5x−1>3(x−1)得：x>−1，
则不等式组的解集为−1 (4)由x−12>x+25得x>3，
由10−4(x−3)≥2(x−1)得：x≤4，
则不等式组的解集为3 【解析】(1)先整理成一般式，再利用加减消元法求解即可；
(2)先整理成一般式，再利用加减消元法求解即可；
(3)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
(4)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

20.【答案】解：(1)∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是13，
∴盒子中球的总数为：5÷13=15(个)，
故盒子中黑球的个数为：15−3−5=7(个)；
∴任意摸出一个球是黑球的概率为：715；
(2)∵任意摸出一个球是红球的概率为14，
∴盒子中球的总量为：3÷14=12，
∴可以将盒子中的白球拿出3个． 
【解析】(1)直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数，再利用概率公式计算即可；
(2)利用概率公式计算得出符合题意的方法．
此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．

21.【答案】解：(1)设商场购进甲型号电视机x台，乙型号电视机y台，
由题意得：x+y=501500x+2500y=90000，
解得：x=35y=15，
答：商场购进甲型号电视机35台，乙型号电视机15台；
(2)设甲种型号电视机打a折销售，
由题意得：15×(3640×0.75−2500)+35×(2025×0.1a−1500)=(15×2500+35×1500)×8.5%，
解得：a=8，
答：甲种型号电视机打8折销售． 
【解析】(1)设商场购进甲型号电视机x台，乙型号电视机y台，根据“商场购进甲、乙两种型号的电视机共50台，用去9万元”列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设甲种型号电视机打a折销售，根据“两种电视机销售完毕，商场共获利8.5%”列出一元一次方程，解方程即可．
本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．

22.【答案】x>3 
【解析】解：(1)由图象可知：不等式kx+b<0的解集为x>3；
故填：x>3；
(2)把A(0,−1)，P(1,1)分别代入y=mx−n，
得−n=−1m−n=1，
解得m=2n=1，
所以直线l1的解析式为y=2x−1，
把P(1,1)、B(3,0)分别代入y=kx+b，
得k+b=13k+b=0，
解得k=−12b=32，
所以直线l2的解析式为y=−12x+32；
(3)当y=2x−1=0时，解得x=12，所以M点的坐标为(12,0)；
当x=0时，y=−12x+32=32，则N点坐标为(0,32)，
所以四边形OMPN的面积=S△ONB−S△PMB=12×3×32−12×(3−12)×1=1．
(1)观察函数图象，写出直线y=kx+b在x轴下方所对应的自变量的范围即可；
(2)利用待定系数法确定直线l1和l2的解析式；
(3)先再根据坐标轴上点的坐标特征确定M点和N点坐标，然后利用四边形OMPN的面积=S△ONB−S△PMB进行计算．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数图象上点的坐标特征以及平面直角坐标系中不规则图形面积的求法，利用数形结合思想是解题的关键．

23.【答案】解：(1)设甲、乙两种奖品每件的价格分别为x元，y元，
由题意得3x+2y=1904x+3y=270，
解得x=30y=50，
答：甲、乙两种奖品每件的价格分别为30元和50元；
(2)设购买甲种奖品a件，则购买乙种奖品(60−a)件，
由题意得30a+50(60−a)≤2700，
解得：a≥15，
∴学校最少购买15件甲种奖品． 
【解析】(1)设甲、乙两种奖品每件的价格分别为x元，y元，根据题意，列出方程组，解出即可得出答案；
(2)设购买甲种奖品a件，则购买乙种奖品(60−a)件，根据题意，列出不等式，求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解本题的关键在理清题意，正确找出数量关系，列出方程组或不等式．

24.【答案】证明：(1)∵DH垂直平分BC，且∠ABC=45°，
∴BD=DC，且∠BDC=90°，
∵∠A+∠ABF=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠ABF=∠ACD，
在△BDF和△CDA中，
∠BDF=∠CDADB=DC∠DBF=∠DCA,
∴△BDF≌△CDA(ASA)，
∴BF=AC．
(2)由(1)得BF=AC，
∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC，
在△ABE和△CBE中，
{∠ABE=∠CBEBE=BE∠AEB=∠CEB=90∘,
∴△ABE≌△CBE(ASA)，
∴CE=AE=12AC=12BF． 
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的性质等问题，应熟练掌握．
(1)由ASA证△BDF≌△CDA，进而可得出第(1)问的结论；
(2)在△ABC中由垂直平分线可得AB=BC，即点E是AC的中点，再结合第一问的结论即可求解．

25.【答案】证明：(1)∵△ABD和△CBD是等边三角形，
∴AD=BD，∠A=∠BDF=60°，
在△ADE和△DBF中，
AD=BD∠A=∠BDF=60°AE=DF，
∴△ADE≌△DBF(SAS)，
∴DE=BF；
(2)作CM⊥BF于点M，CN⊥DE，交ED的延长线于点N，

∴∠BMC=∠N，
∵△ABD和△CBD是等边三角形，
∴CD=CB，∠CDB=∠ABD=60°，∠ADB=∠DBC=60°，
∴AB/​/CD，AD//BC，
∴∠CDN=∠BED，∠CBM=∠AFB，
∵△ADE≌△DBF，
∴∠AED=∠DFB，
∴∠BED=∠AFB，
∴∠CDN=∠CBM，
在△CBM和△CDN中，
∠BMC=∠N∠CBM=∠CDNCB=CD,
∴△CBM≌△CDN(AAS)，
∴CN=CM，
∴点C在∠BGD的平分线上，
即CG平分∠BGD． 
【解析】(1)由“SAS”可证△ADE≌△DBF，可得DE=BF；
(2)由“AAS”可证△CBM≌△CDN，可得CN=CM，由角平分线的判定定理可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．