22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质(讲+练)【10种题型】-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练（人教版）（解析+原卷）

这是一份22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质(讲+练)【10种题型】-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练（人教版）（解析+原卷），文件包含九年级数学上册2214二次函数yax²+bx+c的图象与性质讲+练10种题型-重要笔记2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练人教版原卷版docx、九年级数学上册2214二次函数yax²+bx+c的图象与性质讲+练10种题型-重要笔记2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练人教版解析版docx、2214二次函数yax²+bx+c的图象与性质讲+练10种题型-重要笔记2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练人教版原卷版docxbaiduyunpdownloading、2214二次函数yax²+bx+c的图象与性质讲+练10种题型-重要笔记2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练人教版解析版docxbaiduyunpdownloading等4份试卷配套教学资源，其中试卷共2页， 欢迎下载使用。

22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质



二次函数一般式与顶点式之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式

．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
注意：1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
题型1：一般式化成顶点式-配方法
1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（　　）
A．y=(x−4)2+1 B．y=(x−4)2−1
C．y=(x−2)2−1 D．y=(x−2)2+1

【变式1-1】把二次函数y=x2+2x－2配方成顶点式为（　　）
A．y=（x－1）2+2 B．y=（x－1）2+1
C．y=（x+1）2－3 D．y=（x+2）2－1

【变式1-2】把二次函数y＝2x2﹣6x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为　 　．

题型2：一般式化成顶点式-应用
2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．

【变式2-1】用配方法把函数 y=−3x2−6x+10 化成 y=a（x−ℎ）2+k 的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值.

【变式2-2】二次函数y＝（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2的图象过点（0，5）
（1）求m的值，并写出二次函数的表达式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴。

二次函数y=ax2+bx+c图象与性质
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象




开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标


增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，

题型3：公式法求顶点坐标及对称轴
3.已知二次函数 y=−12x2+bx+3 ，当 x>1 时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是（　　）
A．b≥−1 B．b≤−1 C．b≥1 D．b≤1

【变式3-1】写出抛物线 y=x2−4x−3 的开口方向、对称轴和顶点坐标.

【变式3-2】求抛物线y＝x2+2x+3的对称轴和顶点坐标.

题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质
4.若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列说法不正确的是(　　)

A．当 10 B．当 x=2 时， y 有最大值
C．图像经过点 (4，−3) D．当 y<−3 时， x<0

【变式4-1】下列对二次函数 y=x2−x 的图像的描述，正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．顶点坐标为 (12,−14)
D．在对称轴右侧部分，y随x的增大而减小

【变式4-2】二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，当 x>0 时，函数值 y 的取值范围是(　　)

A．y⩽94 B．y⩽2 C．y<2 D．y⩽3

题型5：利用二次函数的性质比较函数值
5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2
C．y1＝y2 D．y1、y2的大小不确定

【变式5-1】已知抛物线y=x2−2x−3经过A（-2，y1），B（-1，y2），C（1，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y3>y2>y1

【变式5-2】已知两点A(−5，y1)，B(3，y2)均在抛物线y=ax2+bx+x(a≠0)上，点C(x0，y0)是该抛物线的顶点．若y0≤y2 A．x0<−5 B．x0>−1
C．−5
二次函数y=ax2+bx+c图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点

几种常考的关系式的解题方法

题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系
6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．

【变式6-1】已知函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的对称轴为直线 x=−4 ．若 x1，x2 是方程 ax2+bx+c=0的两个根，且 x1
A．x1x2>0 B．−10 C．b2−4ac<0 D．abc>0

【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，且对称轴为直线x=12，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无论a，b，c 取何值，抛物线一定经过(c2a，0)．其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式6-3】如图，二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线 x=−1 ，点B的坐标为 (1，0) ，则下列结论：①AB=4 ；②b2−4ac>0 ；③b>0 ；④a−b+c<0 ，其中正确的结论有（　　）个.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

题型7：二次函数的对称性的应用
7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣4
﹣6
﹣6
﹣4
…
则该二次函数图象的对称轴为（　　）
A．y轴 B．直线x=12 C．直线x＝1 D．直线x=32

【变式7-1】已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法不正确的是（　　）
x
…
﹣1
0
1
3
…
y
…
﹣3
1
3
1
…
A．a＜0
B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间
C．2a+b＞0
D．若点（5，y1）、（﹣32，y2）都在函数图象上，则y1＜y2

【变式7-2】已知二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数过（a，b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围（　　）
A．﹣2≤a≤−32 B．﹣2≤a≤﹣1 C．﹣3≤a≤−32 D．0≤a≤2

题型8：利用二次函数的性质求字母的范围
8.已知二次函数y＝x2+bx+1当 0 A．b≥0 B．b≥﹣2 C．b≥﹣ 52 D．b≥﹣3

【变式8-1】已知二次函数 y=ax2−2ax+2(a>0) ，当 0≤x≤m 时， 2−a≤y≤2 ，则m的取值范围为（　　）
A．0≤m≤1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≥2

【变式8-2】已知二次函数 y=−x2+(2m−1)x−3 ，当 x>1 时， y 随 x 的增大而减小，而 m 的取值范围是（　　）．
A．m≤12 B．m<−12 C．m>32 D．m≤32

求二次函数y=ax2+bx+c的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
注意：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况
题型9：利用二次函数的性质求最值
9.二次函数 y=−x2+2x+4 的最大值是　 　.

【变式9-1】已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是　 　．
【变式9-2】已知抛物线 y= -x2+ mx +2m ，当-1 ≤ x ≤ 2时，对应的函数值y的最大值是6，则 m的值是　 　.

题型10：给定范围内的最值问题
10.已知二次函数 y=ax2+bx+1.5 的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为　 　，最小值为　 　.


【变式10-1】在二次函数y=x2-2x-3中，当0≦x≦3时，y的最大值是　 　

【变式10-2】已知二次函数 y=−x2+10x−21 ，当 6≤x≤12 时，函数的最大值是　 　．


一、单选题
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，对称轴是直线x＝﹣1，若点A的坐标为（1，0），则点B的坐标是（　　）
A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（0，﹣3） D．（﹣3，0）

2．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是(　　)
A．(2，﹣1) B．(﹣2，1) C．(﹣2，﹣1) D．(2，1)

3．对于函数 y=−x2−2x−2 ，使得 y 随 x 的增大而增大的 x 的取值范围是（　　）
A．x≥−1 B．x≥0 C．x≤0 D．x≤−1

4．当a＜0时，抛物线y=x2+2ax+1+2a2的顶点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．一次函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一个平面坐标系中图象可能是（　　）
A． B．
C． D．

6．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（n，3），则点B的坐标为( )．

A．（n+2，3） B．（n-2，3） C．（2-n，3） D．（2-2n，3）

7．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
①a ， b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=−2时， x的值只能取0．其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
8．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为　 　．


9．抛物线 y=x2−2x+3 的顶点坐标是　 　.

10．二次函数 y=x2−2x ，当 x　 　时 y 随 x 增大而增大.

11．若（2，5)，(4，5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是直线　 　。

12．若直线y =ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么抛物线y=ax2+bx顶点在第　 　象限.

三、解答题
13．用公式法求函数y=3x2﹣3x﹣54的最小值．

14．已知二次函数y=-x2-2x，用配方法把该函数化为y=a(x-h)2+c的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标．

四、综合题
15．已知二次函数的表达式为y=−14 x2+x+2．
（1）求该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当x小于多少时，y随x的增大而增大？

16．已知抛物线 y=x2+bx+c 与y轴交于点 C(0,−6) 与x轴的一个交点坐标是 A(−2,0) .

（1）求此抛物线的顶点D的坐标；
（2）将此图象沿x轴向左平移2个单位长度，直接写出当 y<0 时x的取值范围.