数学人教版24.1.3 弧、弦、圆心角课后复习题

这是一份数学人教版24.1.3 弧、弦、圆心角课后复习题，文件包含九年级数学上册2413弧弦圆心角6大题型-重要笔记2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练人教版原卷版docx、九年级数学上册2413弧弦圆心角6大题型-重要笔记2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
24.1.3 弧、弦、圆心角


弧、弦、圆心角定义
　　如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．　　　　　　　　　　　　　　　
定理：
　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
推论：
　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
注意：
　　(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
　　(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
题型1：弧、弦、圆心角的概念
1.1．下列命题中，正确的命题是（　　）
A．三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
B．三点确定一个圆
C．平分一条弦的直径一定重直于弦
D．相等的两个圆心角所对的两条弧相等
【答案】A
【解析】【解答】解：A、符合外心的定义，故原命题正确；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；
C、平分一条弦（非直径）的直径一定垂直于弦，故原命题错误；
D、在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的两条弧相等，故原命题错误.
故答案为：A.
【分析】根据外心的定义、确定一个圆的条件，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦之间的关系逐一判断即可.
【变式1-1】下列语句中，正确的有(　　)
①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中.
②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等.
③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧.
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.正确.
故答案为：A.
【分析】根据同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等可判断A；根据弦所对的弧有两条可判断B；根据等弧的概念可判断C；根据圆的对称性可判断D.

【变式1-2】下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等.其中正确的有（　　）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①②④
【答案】B
【解析】【解答】解：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦，选项正确，符合题意；
②如果平分的弦是直径的话，平分这条弦的直径不一定垂直于弦，选项错误，不符合题意；
③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角不一定相等，选项错误，不符合题意；
④同弧或等弧所对的弦相等，选项正确，符合题意.
∴正确的有：①④.
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理可判断①②；根据弧、圆周角的关系可判断③；根据弧、弦的关系可判断④.

题型2：弧、弦、圆心角求角度
2.如图，以AB为直径的半圆上有一点C，∠C＝25°，则 BC 的度数为(　　)

A．25° B．30° C．50° D．65°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵OC＝OA，
∴∠A＝∠C＝25°，
∴∠BOC＝2∠A＝50°，
∴BC 的度数为50°.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠A＝∠C＝25°，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠BOC＝50°，据此可得BC的度数.

【变式2-1】如图， AB 为⊙O的直径，点C、D是 BE 的三等分点， ∠AOE=60° ，则 ∠BOD 的度数为（　　）

A．40° B．60° C．80° D．120°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，
∴BE 的度数是120°，
∵C、D是 BE 上的三等分点，
∴弧CD与弧BC的度数都是40度，
∴∠BOD=80°．
故答案为：C．

【分析】先利用平角求出∠BOE=180°-∠AOE=120°，再根据C、D是 BE 上的三等分点，得到弧CD与弧BC的度数都是40度，即可得到答案。
【变式2-2】如图，在⊙O中， AC=BD ，∠AOD=150°，∠BOC=80°，则∠AOB的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【解析】【解答】 ∵AC=BD ，
∴AC−BC=BD−BC ，
∴AB=CD ，
∴∠AOB=∠COD ．
∵∠AOD=150°，∠BOC=80°，
∴∠AOB=12×(150°−80°)=35° ，
故答案为：D．
【分析】先求出AB⌢=CD⌢ ，利用等弧所对的圆心角相等可得∠AOB=∠COD，利用角的和差即可求解.

题型3：弧、弦、圆心角求线段
3.如图，在⊙O中，若AB=CD，且AD＝3，求CB的长度．

【解题思路】根据AB=CD，得到BC=AD，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到CB＝AD．
【解答过程】解：∵AB=CD，
∴AB−AC=CD−AC，即BC=AD，
∴CB＝AD＝3．
【变式3-1】如图，已知 ⊙O 的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（　　）

A．3 B．4 C．32 D．42
【答案】C
【解析】【解答】作 OF⊥CD，OE⊥AB

∵AB=CD
∴OE=OF
在 RtΔOBE 中， OB=5，BE=4
∴OE=52−42=3
∴OF=PE=3
∴OP=32
故答案为：C.
【分析】作OF⊥CD，OE⊥AB，由在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等可得OE=OF，在RtΔOBE中，用勾股定理可求OE的长，则OF=OE可求，根据有三个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形可得OFPE是正方形，所以可得PF=OF，用勾股定理可求得OP的长。


【变式3-2】如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，点B'是点B关于MN的对称点，⊙O的半径为1，则AB'的长等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．2
【解题思路】连接OB、OB′，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB′＝90°，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答过程】解：连接OB、OB′，
∵点A是半圆上一个三等分点，
∴∠AON＝60°，
∵点B是AN的中点，
∴∠BON＝30°，
∵点B'是点B关于MN的对称点，
∴∠B′ON＝30°，
∴∠AOB′＝90°，
∴AB′=12+12=2，
故选：B．


题型4：弧、弦、圆心角与比较问题
4.如图，在同圆中，弧 AB 等于弧 CD 的 2 倍，试判断 AB 与 2CD 的大小关系是（　　）

A．AB>2CD B．ABAB
∴2CD>AB
∴AB0) ，则 OP=PE−OE=3−x ，
在 Rt△POF 中， OF2+PF2=OP2 ，即 x2+12=(3−x)2 ，解得 x=43 ，
在 Rt△AOE 中， OA=AE2+OE2=42+(43)2=4103 ，
即 ⊙O 的半径为 4103 .
【解析】【分析】（1）连接AB，根据弧、弦的关系可得AC⌢=BD⌢，推出AD⌢=BC⌢，根据等弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠BAC，据此证明；
（2）连接PO，并延长交AB于点E，连接OA、OB，过O作OF⊥AC于点F，易得PE为AB的垂直平分线，则AE=4，易得AC=BD=AB=8，AP=5，AF=AE=4，PF=1，利用勾股定理求出PE，利用HL证明△AOE≌△AOF，得到OE=OF，设OE=OF=x，则OP=3-x，在Rt△POF中，由勾股定理可得x，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理就可求出OA，据此可得⊙O的半径.
15．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AD为⊙O的直径.连结BD，若AC⌢=BD⌢

（1）求证：∠1=∠2
（2）当AD=42，BC=4时，求△ABD的面积.
【答案】（1）证明：∵AC⌢=BD⌢
∴AB⌢+BC⌢=CD⌢+BC⌢
∴AB⌢=CD⌢
∴∠1=∠2
（2）解：过O点作OE⊥BC于点E

∴BE=CE= 12BC=2
∵AD为⊙O的直径
∴OB= 12AD=22
∴OE=OB2−BE2=(22)2−22=2
∴SΔABD=12AD•OE=12×42×2=42
【解析】【分析】（1）根据题意得出AB⏜=CD⏜，再根据等弧所对的圆周角相等，即可得出∠1=∠2；
（2） 过O点作OE⊥BC于点E， 根据垂径定理得出BE=CE=2，根据勾股定理求出OE的长，再根据三角形面积公式进行计算，即可得出△ABD的面积.