初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程练习

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21.3实际问题与一元二次方程


单循环和双循环问题
1.（1）2人互赠礼物，每人要送 1 份礼物，共赠出 2 份礼物
（2）3人互赠礼物，每人要送 2 份礼物，共赠出 6 份礼物
（3）4人互赠礼物，每人要送 3 份礼物，共赠出 12 份礼物
（4）x人互赠礼物，每人要送 （x-1） 份礼物，共赠出 x（x-1） 份礼物
2.（1）2人握手，每人和他人握手 1 次，共握手 1 次。
（2）3人握手，每人和他人握手 2 次， 共握手 3 次。
（3）4人握手，每人和他人握手 3 次， 共握手 6 次。
（4）x人握手，每人和他人握手 （x-1） 次，共握手 12x（x-1） 次。
总结：
（1） 互赠问题∶若每两人之间进行2次活动，则x人共进行了x（x-1）次活动；
（2） 握手问题∶若每两人之间进行1次活动，则x人共进行了12x（x-1）次活动；
（3）x人握手总次数=x人互赠总次数×12
题型1：单循环和双循环问题
1.在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手95次，设参加这次同学聚会的有x人，可得方程（　　）
A．x（x﹣1）＝190 B．x（x﹣1）＝380
C．x（x﹣1）＝95 D．（x﹣1）2＝380
【答案】A
【解析】【解答】解：设共有x人参加联欢会，可得方程：
x（x﹣1）÷2＝95，
x（x﹣1）＝190．
故答案为：A．
【分析】根据“ 共握手95次 ”即可列出方程。
【变式1-1】要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（　　）
A．12x（x+1）＝90 B．12x（x﹣1）＝90
C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
【答案】D
【解析】【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝90．
故答案为：D．
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛每两队之间都进行两场比赛，可得共比赛x（x﹣1）场，根据共比赛90场建立方程即可.

【变式1-2】某旅游团旅游结束时，其中一名旅客建议大家互相握手道别，细心的小明发现，每两个参加旅游的人互握一次手，共握了66次，问这次旅游的旅客人数是多少？
【答案】解：这次旅游的游客人数为 x .
依题意，得 12 x ( x -1 ) =66 ，
解得 x 1 =12 ， x 2 =-11 (不合题意，舍去)
答：这次旅游的游客人数为12.
【解析】【分析】 设这次旅游的游客人数为 x ，根据题意列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案.
传播问题（2轮）：解决传播问题的关键点需要找清楚两个量：
１）每一轮传播的传播源的数量a，
２）每一个传播源每轮传播的数量x。
数量关系：传播总量=a+x+（a+x）x
化简得：传播总量=a（1+x）2
题型2：传播问题
2.电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（　　）
A．x（x+1）=81 B．1+x+x2=81
C．（1+x）2=81 D．1+（1+x）2=81
【答案】C
【解析】【解答】解：每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，列方程得：
1+x+x（1+x）=81，
即（1+x）2=81
故选：C．
【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这（x+1）台电脑又感染给了x（1+x）台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．
【变式2-1】有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过288人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过　 　人．
【答案】11
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x人，
由题意得，2+2x+（2+2x）x=288，
解得：x1=11，x2=﹣13，
答：每轮传染中平均一个人传染了11个人．
故答案为：11．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x人，根据经过两轮传染后共有288人患了流感，列出方程求解即可．
【变式2-2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？
【答案】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则有1+x+（1+x）x=81
即（1+x）2=81
解得x1=8，x2=﹣10（不合舍去），
所以经过三轮感染后，被感染的电脑共有81+81×8=729台﹣
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．经过三轮感染后，被感染的电脑共有729台
【解析】【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则有1+x+（1+x）x=81，再解方程求出满足条件的x的值，然后计算81（1+x）即可．
平均变化率问题：
（1）连续增长两次问题：原量×（1+x）2=新量；
（2）连续下降两次问题：原量×（1-x）2=新量.
题型3：平均变化率问题
3.由于受H7N9禽流感的影响，今年1月份市场上鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤25元经过连续两次降价后，售价下调到每斤l6元．设平均每次降价的百分率为a，则下列所列方程中正确的是（　　）
A．16（1+a）2=25 B．25（1﹣2a）=16
C．25（1﹣a）2=16 D．25（1﹣a2）=16
【答案】C
【解析】【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，
则第一次每斤的价格为：25（1﹣x），
第二次每斤的价格为25（1﹣x）2=16；
所以，可列方程：25（1﹣x）2=16．
故选C．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均每次下调的百分率为x，根据“由原来每斤16元下调到每斤9元”，即可得出方程．
【变式3-1】扬州一农场去年种植水稻10亩，总产量为6000kg，今年该农场扩大了种植面积，并且引进新品种“超级水稻”，使总产量增加到18000kg，已知种植面积的增长率是平均亩产量的增长率的2倍，求平均亩产量的增长率．
【答案】解：设平均亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率是2x，
根据题意得：10×（1+2x）× 600010 ×（1+x）=18000，
解得：x1=50%，x2=﹣200%（舍去）．
答：平均亩产量的增长率为50%
【解析】【分析】设平均亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率是2x，根据总产量=种植面积×平均亩产量即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【变式3-2】某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个.
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【答案】（1）解：设口罩日产量的月平均增长率为x，
根据题意，得30000（1＋x）2＝36300，
解得x1＝−2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%
（2）解：36300（1＋10%）＝39930（个）.
答：预计4月份平均日产量为39930个.
【解析】【分析】（1） 设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得30000(1＋x)2＝36300，求解即可；
（2）利用3月份平均日产量×(1+增长率)即可求出4月份平均日产量.

面积问题：
（1）矩形面积=1条长×1条宽；
（2）正确写出长和宽（用x表达）；
（3）全封闭∶某条边=周长÷2-另一边
（4）一边靠墙∶平行于墙的 BC=篱笆总长-2AB（AB垂直墙）；当靠墙用篱笆围矩形养鸡
场时，平行于墙的边要小于墙长，否则鸡逃跑了.
题型4：面积问题（1）
4.小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．

【答案】解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，
根据题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，
解得：x1=﹣70（不符合题意，舍去），x2=5．
答：金色纸边的宽度为5cm
【解析】【分析】设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，根据题目条件列出方程，求出其解就可以．
【变式4-1】如图，在宽为20m，长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为450 ，求道路的宽．

【答案】 解：设道路的宽为x, 由题意得：
(20-x)(27-x)=450,
整理得x2-47x+90=0,
(x-45)(x-2)=0,
∴x=2或x=45(舍去)，
∴道路的宽为2m.
【解析】【分析】设道路的宽为x, 因为矩形的空白部分，正好能拼成一个矩形，则根据长方形的面积=长×宽，列出等式，再求解即可，注意舍去不合题意的解.
【变式4-2】如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AB平行，一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570米  2 ，问小路宽为多少米？

【答案】解：设小路宽为x米，则种植草坪的六块区域可合成长为 (32−2x) 米、宽为 (20−x) 米的矩形，
根据题意得： (32−2x)(20−x)=570 ，
整理得： x2−36x+35=0 ，
解得： x1=1 ， x2=35( 错误，舍去 ) ．
答：小路宽为1米．
【解析】【分析】利用图形的平移变换，将种植草坪的六块区域合成一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可。
题型5：面积问题（2）
5.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．

【答案】解：设 AB=x m，则 BC=(50−2x) m，
根据题意得方程： x(50−2x)=300,
解得: x1=10,x2=15,
当 x=10 时 50−2x=30>25 （不合题意，舍去），
当 x=15 时 50−2x=20