数学九年级上册21.1 一元二次方程复习练习题

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21.1一元二次方程


一元二次方程的有关概念
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
注意：
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
题型1：一元二次方程的识别
1.下列方程中，一元二次方程的个数为（　　）
（1）2x2−3=0 ；（2） x2+y2=5 ；（3） x(x+3)=x2−1 ；（4） x2+1x2=2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解： 2x2−3=0 是一元二次方程；
x2+y2=5 含有两个未知数，不是一元二次方程；
x(x+3)=x2−1 展开移项合并3x=-1，没有x的二次项，不是一元二次方程；
x2+1x2=2 未知数在分母中，不是一元二次方程；
一元二次方程的个数为1个
故答案为：A.
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．根据情况先化简再判断和观察分母有没有字母.
【变式1-1】下列方程中一元二次方程的个数为（　　）
①2x2－3＝0； ②x2＋y2＝5； ③x2−4=5 ； ④x2+1x2=2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解：2x2−3=0是一元二次方程，
x2+y2=5，x2−4=5，x2+1x2=2不是一元二次方程，
故答案为：A
【分析】 只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。 根据一元二次方程的定义判断即可。

【变式1-2】在下列方程 4(x−1)(x+2)=5 ， x2+y2=1 ， 5x2−10=0 ， 2x2+8x=0 ， x2−3x+4=0 ， 1x4+2x2=12x2+1 中，其中一元二次方程的个数有（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】D
【解析】【解答】解： 4(x−1)(x+2)=5 ， 5x2−10=0 ， 2x2+8x=0 是一元二次方程，
x2+y2=1 含有两个未知数，是二元二次方程，
x2−3x+4=0 是无理方程，
1x4+2x2=12x2+1 不是整式方程，是分式方程.
故答案为：D.
【分析】含一个未知数，未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0的整式方程就是一元二次方程，一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0），其中，a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，从而即可一一判断得出答案.

题型2：一元二次方程定义与字母的值
2.若关于x的方程（m+2）x|m|＋2x-3＝0是一元二次方程，则m＝　 　.
【答案】2
【解析】【解答】解：由题意得|m|=2，m+2≠0 ，
解得m=2，
故答案为：2.
【分析】只含有一个未知数，未知数的次数最高是2，且二次项的系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，据此解答即可.

【变式2-1】(a−2)xa2−2+3x−1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的值是　 　.
【答案】-2
【解析】【解答】解：∵(a−2)xa2−2+3x−1=0 是关于x的一元二次方程，
∴a2-2=2，a-2≠0，
解得：a=-2.
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程的概念可得a2-2=2且a-2≠0，求解即可.

【变式2-2】已知一元二次方程（m－2）x|m|＋3x－4＝0，那么m的值是　 　．
【答案】-2
【解析】【解答】解：由题意可得：
|m|=2且m−2≠0，
∴m=±2且m≠2，
∴m=−2，
故答案为：-2．
【分析】根据一元二次方程的定义先求出|m|=2且m−2≠0，再求出m=±2且m≠2，最后求出m的值即可。

一元二次方程的一般形式：
　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
注意：
　　(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
题型3：一元二次方程的一般形式
3.一元二次方程2x2+x＝3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）．
A．2，0，3 B．2，1，3 C．2，0，－3 D．2，1，－3
【答案】D
【解析】【解答】解： 一元二次方程2x2+x＝3化为一般式为2x2+x-3=0，
∴二次项系数是2、一次项系数是1、常数项是-3.
故答案为：D.

【分析】先把一元二次方程化为一般式，即可得出答案.

【变式3-1】将方程(3x−2)(x+1)=8x−3化成一元二次方程的一般形式后，其二次项系数是　 　，一次项系数是　 　．
【答案】3；-7
【解析】【解答】解：将方程(3x−2)(x+1)=8x−3化成一元二次方程的一般形式为3x2-7x+1=0，
则二次项系数为3，一次项系数为-7，
故答案为：3；-7．

【分析】先将方程化为一般式，再根据一元二次方程的定义求解即可。

【变式3-2】已知关于x的一元二次方程m(x－1)2＝－3x2＋x的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m的值为多少？
【答案】解：m(x－1)2＝－3x2＋x，
mx2-2mx+m+3x2-x=0，
(m＋3)x2－(2m＋1)x＋m＝0，
二次项系数为：m+3，一次项系数为：-（2m+1），
由题意，得m＋3－(2m＋1)＝0，解得m＝2.
【解析】【分析】先将方程转化为一般形式，再根据二次项系数与一次项系数互为相反数，建立关于m的方程，解方程求出m的值.

一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
题型4：一元二次方程的解-求字母的值
4.关于x的一元二次方程 x2−m=0 的一个根是3，则m的值是（　　）
A．3 B．−3 C．9 D．−9
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵ 关于x的一元二次方程 x2−m=0 的一个根是3
∴32−m=0
∴ m=9
故答案为：C.
【分析】直接将x=3代入原方程中可得关于m的方程，求解即可.

【变式4-1】关于x的方程x2﹣6x+k＝0的一个根是2，则k的值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根是2，
∴22−6×2+k=0，解得k=8．
故答案为：D．

【分析】将x=2代入方程x2﹣6x+k＝0求出k的值即可。

【变式4-2】如果x＝1是关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个实数根，那么m＝　 　；
【答案】2
【解析】【解答】解：把x=1代入方程x2-3x+m=0得1-3+m=0，
解得m=2．
故答案为：2．
【分析】把x=1代入方程x2-3x+m=0中，求出m值.
题型5：一元二次方程的解-求代数式的值
5.若关于x的一元二次方程为ax2−3bx−5=0(a≠0)有一个根为x=2，那么4a−6b的值是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【解析】【解答】把x=2代入方程ax2−3bx−5=0
4a−6b-5=0 即4a−6b=5
故答案为B

【分析】将x=2代入ax2−3bx−5=0(a≠0)可得4a−6b-5=0，再化简即可得到4a−6b=5。
【变式5-1】已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，求代数式1+6m﹣2m2的值.
【答案】解：∵m是方程x2-3x-2=0的根，
∴m2-3m-2=0，
∴m2-3m=2，
∴1+6m-2m2
=1-2（m2-3m）
=1-2×2
=1-4
=-3，
【解析】【分析】由方程根的概念可得m2-3m=2，待求式可变形为1-2(m2-3m)，据此计算.

【变式5-2】已知 m 是方程 x2−3x+1=0 的一个根，求代数式 (m−2)2+(m−3)(m+1) 的值．
【答案】解：依题意得：m2-3m+1=0，
∴m2-3m=-1，
∴(m−2)2+(m−3)(m+1)
= 2m2−6m+1
= 2(m2−3m)+1
=-2+1
=-1
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再将x2−3x+1=0代入计算即可。
已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，代数式5m2﹣5m+2016的值．
【答案】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根
∴m2−m−1=0
∴m2−m=1
∴5m2−5m+2016
= 5(m2−m)+2016
=5+2016
=2021
【解析】【分析】将x=m代入方程，得到关于m的式子，代入代数式求出答案即可。

一元二次方程根的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.
（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.
题型6：必有一根问题（赋值法）
6.若 a−b+c=0 ，则关于x的方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 必有一根是（　　）
A．1 B．±1 C．0 D．-1
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0变为a-b＋c＝0，
∴当x＝-1时，代入方程ax2＋bx＋c＝0，有a-b＋c＝0；
综上可知，方程必有一根为-1．
故答案为：D.
【分析】由ax2＋bx＋c＝0到a-b＋c＝0，可得：当x＝-1时，有a-b＋c＝0，故问题可求．

【变式6-1】关于 x 的一元二次方程 ax2−bx−2020=0 满足 a+b=2020 ，则方程必有一根为（　　）
A．1 B．−1 C．±1 D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】解：当x=-1时，a+b-2020=0，则a+b=2020，
所以若a+b=2020，则此方程必有一根为-1．
故答案为：B．

【分析】原方程中当x=-1，可得a+b-2020=0，即可得结论。
【变式6-2】若一元二次方程ax2+bx+c=0中，4a﹣2b+c=0．则此方程必有一根为　 　．
【答案】﹣2
【解析】【解答】解：当x=-2时，4a-2b+c=0，则此方程必有一根为-2．
故答案是：-2．
【分析】将x=-2带入方程 ax2+bx+c=0能得到4a-2b+c=0，即可得到答案。
知识储备：长方形面积=长×宽（ab）；正方形面积=边长×边长（a2）三角形面积=底×高÷2（12ah）；圆的面积=πr2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2=[12h(a+b)]
列方程小技巧：用含未知数的式子分别表示求面积的必要边长，再根据题意套公式，列方程即可。
题型7：列一元二次方程-面积问题
7.有一个三角形，面积为30cm2，其中一边比这边上的高的4倍少1cm，若设这边上的高为xcm，请你列出关于x的方程，并判断它是什么方程？若是一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．
【分析】根据三角形的面积公式可得关于x的方程，去括号、移项可得其一般式，结合一般式即可得二次项、一次项系数及常数项．
【解答】解：根据题意可得关于x的方程为12x（4x-1）=30，它是一元二次方程；
整理为一般式为2x2-12x-30=0，二次项系数为2，一次项系数为-12，常数项为-30．
【点评】本题主要考查一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．

【变式7-1】将边长为4的正方形剪去如图所示的图形（即图中阴影部分），剩余部分的面积为9，可列出方程为 ，将其化成一元二次方程的一般形式为
【分析】根据题意可得空白部分是一个边长（4-x）的正方形，然后根据正方形的面积公式进行计算，最后再化成一元二次方程的一般形式，即可解答．
【解答】解：由题意得：
（4-x）2=9，
16-8x+x2=9，
∴x2-8x+7=0，
将边长为4的正方形剪去如图所示的图形（即图中阴影部分），剩余部分的面积为9，可列出方程为（4-x）2=9，将其化成一元二次方程的一般形式为：x2-8x+7=0，
故答案为：（4-x）2=9，x2-8x+7=0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．

【变式7-2】《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，宽为20m的矩形场地ABCD（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行、另一条与AD平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为95m2，求道路的宽度、若设道路的宽度为xm，则x满足的方程为（　　）

A．（32﹣x）（20﹣x）＝95 B．（32﹣2x）（20﹣x）＝95
C．（32﹣x）（20﹣x）＝95×6 D．（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6
【分析】设道路的宽度为xm，则六块草坪可合成长（32﹣2x）m，宽（20﹣x）m的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合每一块草坪的面积为95m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设道路的宽度为xm，则六块草坪可合成长（32﹣2x）m，宽（20﹣x）m的矩形，
依题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

题型8：列一元二次方程-实际问题
8.参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（　　）
A．12x(x−1)=10 B．x(x−1)=10
C．12x(x+1)=10 D．2x(x−1)=10
【答案】A
【解析】【解答】解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为(x−1)次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得：
x(x−1)2=10，
故答案为：A．
【分析】设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为(x−1)次，可得共握手x(x−1)2次，根据共握手的次数列出方程即可.

【变式8-1】某剧场共有448个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少12，求每行的座位数，如果设每行有x个座位，根据题意可列方程为　 　。
【答案】x(x+12)=448
【解析】【解答】解：设每行有x个座位，∴座位的总行数为（x+12）
∴根据总的座位数为448
x(x+12)=448.
【分析】根据题意表示出每行的座位数和行数，根据总共的座位数即可得到答案。

【变式8-2】建国70周年大阅兵时，以“同心共筑中国梦”为主题的群众游行队伍某表演方阵有8行12列，后又增加了429人，使得增加的行数和列数相同．请你计算增加了多少行． 若设增加了x行，由题意可列方程为　 　 ．
【答案】设增加了x行，则增加的列数也为x， 由题意可得， (x+8)(x+12)−12×8=429 ．
【解析】【解答】解： (x+8)(x+12)−12×8=429



一、单选题
1．将一元二次方程3x2−1=6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．3，-1 B．3，1 C．3，-6 D．3，6
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，把一元二次方程3x2−1=6x化成一般形式得：3x2−6x−1=0，
∴二次项系数为3，一次项系数为-6；
故答案为：C.
【分析】一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0），其中a为二次项系数，b为一次项系数，据此解答.
2．下列方程中，是关于x的一元二次方程为（　　）
A．x2﹣4x+5=0 B．x2+x+1=y
C． +8x﹣5=0 D．（x﹣1）2+y2=3
【答案】A
【解析】【解答】A. x2﹣4x+5=0，一元二次方程，符合题意；
B. x2+x+1=y，不符合题意，是二元二次方程；
C. 1x +8x﹣5=0，分式方程，不符合题意；
D. （x﹣1）2+y2=3，不符合题意，是二元二次方程，
故答案为：A.
【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程。根据定义即可判断求解。
3．一元二次方程3x2﹣4x﹣5＝0的一次项系数是（　　）
A．1 B．3 C．﹣4 D．﹣5
【答案】C
【解析】【解答】一元二次方程3x2﹣4x﹣5＝0的一次项系数是-4.
【分析】根据ax2+bx+c=0（a≠0）中一次项系数是b可求解.
4．下列方程中一定是一元二次方程的是（　　）
A．5x2- 2x +2=0 B．ax2+bx+c=0
C．2x+3=6 D．（a2+2)x2-2x+3=0
【答案】D
【解析】【解答】解：A. 5x2- 2x +2=0，不是整式方程，故不符合题意；
B. 当a=0时，方程ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故不符合题意；
C. 2x+3=6是一元一次方程，故不符合题意；
D. （a2+2)x2-2x+3=0是一元二次方程，故符合题意，
故答案为：D.
【分析】将一个方程化为一般形式后，如果只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，二次项的系数不为0的整式方程，就是一元二次方程，根据定义即可一一判断得出答案.
5．若方程(a-2)x2+ax=3是关于x的一元二次方程，则a的范围是（　　）
A．a≠2 B．a≥0 C．a≥0且a≠ 2 D．a为任意实数
【答案】C
【解析】【分析】由于方程是一元二次方程，所以二次项系数必定不等于零，即a-2≠0，所以a≠2，又因为被开方式大于或者等于零，即a≥0，所以选C。
【点评】这类题目在考试中一般出现于选择题，一元二次方程的各项系数确定，都要遵循一元二次方程的一般式，既然为一元二次方程，那么二次项系数必定存在，即二次项系数应该不为零，而被开方式大于或者等于零，由此可以确定a的取值范围。
6．关于 x 的一元二次方程 4x2−3x+m=0 有两个相等的实数根，那么 m 的值是（　　）
A．916 B．98 C．−98 D．−916
【答案】A
【解析】【解答】解：∵一元二次方程4x2-3x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=(-3)2-4×4×m=0，
解得：m= 916 ，
故答案为：A.

【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式△=b2-4ac=0,解出m值即可.
7．把一元二次方程（x+2）（x-3）=4化成一般形式，得（　　）．
A．x2+x-10=0 B．x2-x-6=4 C．x2-x-10=0 D．x2-x-6=0
【答案】C
【解析】【分析】先根据多项式乘多项式法则去括号，再移项，合并同类项即可。
x2-3x+2x-6=4，
x2-x-10=0，
故选C.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式 ax2+bx+c=0( a,b,c 是常数，且a≠0 )，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
二、填空题
8．如果 (m−3)x2+2x+m2−3=0 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是　 　.
【答案】m≠3
【解析】【解答】一元二次方程中二次项系数不为零，
即 m−3≠0
∴m≠3
故答案为： m≠3
【分析】根据一元二次方程的定义可知，二次项系数不为零，即可求得m的取值范围.
9．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则m＝　 　.
【答案】4
【解析】【解答】解：∵方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0是关于x的一元二次方程，
∴（m﹣1）2≠0
即m≠1.
把x＝﹣1代入原方程得，（m﹣1）2﹣3m+3＝0，即：m2﹣5m+4＝0，
解得，m＝4，m＝1（不合题意舍去）.
故答案为：4.
【分析】根据一元二次方程的概念可得m≠1，根据方程解的概念将x=-1代入原方程中求解就可得到m的值.
10．若关于x的一元二次方程(a−1)x2+a2x−a=0有一个根是x=1，则a=　 　．
【答案】-1
【解析】【解答】解：根据题意得：a−1+a2−a=0，
解得：a=1或a=−1，
∵a−1≠0，即a≠1，
∴a=−1．
故答案为：-1．

【分析】将x=1代入(a−1)x2+a2x−a=0可得a−1+a2−a=0，再求出a的值即可。
11．若(m−2)xm2−2+5x+4=0是关于x的一元二次方程，则m的值为　 　
【答案】-2
【解析】【解答】解：由题意，得
m2-2=2，且m-2≠0，
解得m=-2.
故答案为：-2.
【分析】含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且二次项的系数不为0的整式方程称为一元二次方程，据此可得m2-2=2且m-2≠0，求解可得m的值.
12．已知关于 x 的一元二次方程 x2 - 22x + k = 0 有两个相等的实数根，则 k 的值为　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵方程有两个相等的实数根
∴△=8-4×1×k=0
∴k=1
【分析】由一元二次方程根的判别式为0，即可得到关于k的等式，求出k的值即可。
13．方程 (n−3)x|n|−1+3x+3n=0 是关于x的一元二次方程，则 n=　 　．
【答案】-3
【解析】【解答】解：∵方程 (n−3)x|n|−1+3x+3n=0 是关于x的一元二次方程
所以|n|-1=2，n-3≠0
解得n=-3
故答案为：-3.
【分析】先求出|n|-1=2，n-3≠0，再计算求解即可。
三、解答题
14．关于x的方程 m−3xm2−7−x=5是一元二次方程，则m是多少？
【答案】解：m2-7=2且m-3≠0
解得m=±9=±3，且m≠3
∴m=-3
【解析】【分析】一元二次方程必须满足的两个条件：
①未知数的最高次数为2；
②二次项系数部位0.
根据这两个条件得到相应的关系式，求解即可。
15．已知关于x的一元二次方程（m+3）x2+4x+m2+4m+3=0的一个根为0．试求m的值．
【答案】解：把x=0代入方程得：m2+4m+3=0，即（m+1）（m+3）=0，
解得：m=﹣1或m=﹣3，
若m=﹣3，方程为4x=0，不合题意，舍去；
则m的值为﹣1．
【解析】【分析】把x=0代入方程计算求出m的值，代入方程检验即可．