24.3 正多边形和圆（7大题型）-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练（人教版）（解析+原卷）

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24.3 正多边形和圆


正多边形的概念
　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
正多边形的有关概念
　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
注意：
　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
题型1：正多边形的相关概念
1.下列关于正多边形的叙述，正确的是（　　）
A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为720°
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
【答案】C
【解析】【解答】解：正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不正确；
任何多边形的外角和都为360°，故选项B不正确；
任何正多边形都有一个外接圆，故选项C正确；
等边三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故选项D不正确.
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的性质、正多边形与圆、多边形内角和公式及外角和分别进行判断即可.
【变式1-1】已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．90°

【答案】A.
【解析】如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°，
根据圆周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．
故选A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．
【变式1-2】如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（　　）
A．30° B．45° C．55° D．60°

【答案】连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠AOB=90°．再根据圆周角定理，得∠APB=45°．
故选B．

正多边形的有关计算
　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；
　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；
　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是.
注意：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形
题型2：正多边形与圆有关的计算-角度
2.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（　　）

A．45° B．38° C．36° D．30°
【答案】C
【解析】【解答】解：连接 OC、OB ，如下图：

根据正多边形的性质可得： ∠BOC=360°5=72°
根据圆周角定理可得： ∠BAC=12∠BOC=36°
故答案为：C

【分析】连接 OC、OB ，根据正多边形的性质可得∠BOC=360°5=72°，再根据圆周角定理求解即可。
【变式2-1】如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为（　　）

A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
【答案】D
【解析】【解答】解：连接OA，OB，如图所示：

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝ 360°6 ＝60°，
当点P不在弧AB上时，
∠APB＝ 12 ∠AOB＝30°，
当点P在弧AB上时，
∠APB＝180°﹣ 12 ∠AOB＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：D．
【分析】先求出∠AOB＝ 360°6 ＝60°，再分类讨论计算求解即可。
【变式2-2】如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC．求∠BCM的大小．

【答案】解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC=120°，AB=BC．
∵四边形ABMN为正方形，
∴∠ABM=90°，AB=BM．（2分）
∴∠MBC=120°﹣90°=30°，BM=BC．
∴∠BCM=∠BMC．
∴∠BCM=12×（180°﹣30°）=75°．
【解析】【分析】△BCM是等腰三角形，只要求出顶角∠CBM就可以，这个角是正六边形与正方形内角的差．
题型3：正多边形与圆有关的计算-长度
3.如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM为（　　）

A．2 B．23 C．3 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：连接OB、OC，如图所示：

则∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=2，
∵OM⊥BC，
∴∠BOM=12∠BOC=30°
∴OM=OB⋅cos30°=OB⋅32=4×32=23，
故答案为：B．

【分析】连接OB、OC，证出△OBC是等边三角形，得出BC=OB=2，再根据垂直的定义得出∠BOM=12∠BOC=30°，即可得出答案。

【变式3-1】如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若∠AOB是某正n边形的一个外角，则n的值为（　　）

A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：连接OC，如图：

根据题意，正六边形和正方形的中心都是点O，
∴∠BOC=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOB=90° − 60°=30°；
∵∠AOB是某正n边形的一个外角，
∴n=360°30°=12 ；
故答案为：B．

【分析】连接OC，先求出∠AOB的度数，在利用正多边形外交和等于360度，即可求出答案。

【变式3-2】如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2 2 ，则⊙O的半径为（　　）

A．2 B．6 C．2 2 D．26
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接OM，

∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，OM＝OF，
∴△OFM是等边三角形，
∴OM＝OF＝FM＝2 2 ．
则⊙O的半径为2 2 ．
故答案为：C．
【分析】如图，连接OM，根据正六边形的性质及点M为劣弧FG的中点，可得△OFM是等边三角形，可得OM＝OF＝FM＝2 2 ，即得⊙O的半径.
【变式3-3】如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 CD 上（不与C点重合）．

（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
【答案】（1）解：连接OB，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC= 12 ∠BOC=45°；
（2）解：过点O作OE⊥BC于点E， ∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2，∴BE= OB22=32=42∴BC=2BE=2× 42=82
【解析】【分析】（1）由圆内接正方形的性质可知，正方形ABCD的中心角为90°，根据同圆或等圆中圆周角等于圆心角的一半，可以求得∠BPC的度数；
（2）由题意可知，OB=OC=8，再由解直角三角形可以求得BC的长。
18．
题型4：正多边形与圆有关的计算-面积
4.如图，已知圆O内接正六边形 ABCDEF 的边长为 6cm ，求这个正六边形的边心距n，面积S．

【答案】解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示：

∴AH=HB，∠AOH=BOH，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，
∴n=OH=OA2−AH2=33cm ，
∴S△AOB=12AB⋅OH=12×6×33=93cm2 ，
∴S=6S△AOB=6×93=543cm2 ．
【解析】【分析】连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，由题易知△AOB是等边三角形，则有OA=AB=6cm，然后根据勾股定理求出边心距OH，然后利用三角形的面积求解六边形的面积即可。

【变式4-1】已知在正六边形ABCDEF中，P是EF的中点，若阴影部分四边形ABPE的面积为9，则五边形BCDEP的面积是（　　）

A．12 B．123 C．18 D．183
【答案】C
【解析】【解答】解：取正六边形ABCDEF的中心O，连接OA、OF、OP、BF，

根据正六边形的性质可得，
S△ABF=S△AOF=S△EOF ， S△BOF=S△EOF ，
∴S△ABF=S△BOF=S△EOF=12S△EBF ，
∵P是EF的中点，
∴S△FBP=S△EBP=12S△EBF ，
∴S△ABF=S△FBP=S△EBP ，
∵阴影部分四边形ABPE的面积为9，
即 S△ABF+S△FBP=9 ，
∴S△ABF=S△FBP=92 ，
取DE的中点Q，连接BQ、BD，

则 S△CDB=S△DBQ=S△EBQ=S△FBP=92 ，
∴五边形BCDEP的面积是 4×92=18 ，
故答案为：C．
【分析】先求出S△FBP=S△EBP=12S△EBF，再求出S△ABF=S△FBP=92，最后求面积即可。
【变式4-2】如图，内接正八边形ABCDEFGH，若ΔADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为　 　.

【答案】40
【解析】【解答】解：取AE中点O，则点O为正八边形ABCDEFGH外接圆的圆心，连接OD，

∴△ODE的面积= 12 ×△ADE的面积= 12 ×10=5，
圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△ODE全等的三角形构成.
则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40，
故答案为：40.
【分析】取AE中点O，则点O为正八边形ABCDEFGH外接圆的圆心，连接OD，可得△ODE的面积= 12 ×△ADE的面积=5，由于圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△ODE全等的三角形构成，据此即可求出结论.

正多边形的画法
1.用量角器等分圆
　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
　　　①正四、八边形.
　　
　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.
　　②正六、三、十二边形的作法.
　　
　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.
　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.
　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….
注意：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
题型5：作圆的正三角形、正方形、正六边形
5.尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。

（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)；
（2）已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。
【答案】（1）解：如图，正六边形ABCDEF为所作；

（2）解：连接OF，设BE与DF交于G点

∵六边形ABCDEF为正六边形
∴∠FOE=60°，DF=DE，∠DEF=120°
∴∠DFE=30°
∵OE=OF
∴△FOE为等边三角形
∴EF=OE=4，∠OEF=60°
∴∠FGE=90°
∴EG= 12 OE=2
∴FG= EF2−EG2=23
∴FD=2FG= 43
【解析】【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF；（2）连接OF，可得△OFE是等边三角形，边长为4，可求得∠OEF=60°，∠DFE=30°，设BE与DF交于G点，可得∠FGE=90°，即可求得FG的长，进而求得FD的长

【变式5-1】尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．

（1）求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当直径AC=4时，求这个正方形的边长．
【答案】（1）解：如图所示：

（2）解：∵直径AC=4，∴OA=OB=2．∵正方形ABCD为⊙O的内接正方形，∴∠AOB=90°，∴AB= OA2+OB2 = 22
【解析】【分析】（1）根据正方形的对角线互相垂直平分，故只需要做出AC的中垂线该线与圆相交，顺次连接即可，分别以点A，C为圆心，大于AC长度的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过这点及点O作直线交圆于点B，D连接AB，BC，CD，DA四边形ABCD就是所求的正方形；
（2）根据正方形的中心角的计算方法算出∠AOB=90°，再根据勾股定理即可算出AB的长。

题型6：规律性问题
6.如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2022次旋转后，顶点D的坐标为　 　．

【答案】(32，3)
【解析】【解答】解：如图，连接AD，BD，

在正六边形ABCDEF中，AB=1，AD=2，∠ABD=90°，
∴BD=AD2−AB2=22−12=3，
在RtΔAOF中，AF=1，∠OAF=60°，
∴∠OFA=30°，
∴OA=12AF=12，
∴OB=OA+AB=32，
∴D(32，3)，
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
∴6次一个循环，
∵2022÷6=337，
∴经过第2022次旋转后，顶点D的坐标与第一象限中D点的坐标相同，
故答案为：(32，3)．
【分析】连接AD，BD，由正六边形的性质可得AD=2，∠DAB=90°，利用勾股定理求出BD=3，在RtΔAOF中，可求出OA、OB的长，即得D点坐标，由于将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，可知6次一个循环，从而得出经过第2022次旋转后，顶点D的坐标与第一象限中D点的坐标相同，据此即得结论.

【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi∁iDiEi，则正六边形OAiBi∁iDiEi（i＝4）的顶点∁i的坐标是（　　）

A．（1，−3） B．（1，3） C．（1，﹣2） D．（2，1）
【分析】由于正六边形旋转4次，每次转45°，所以点C与C4关于原点对称，可以直接把的C4坐标写出来．
【解答】解：∵正六边形旋转4次，即45°×4＝180°，
∴点C与C4关于原点对称，
∵C的坐标为（﹣1，3），
∴C4的坐标为（1，−3）．
故选：A．
【变式6-2】如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（　　）

A．（﹣2，23） B．（﹣2，﹣23） C．（2，﹣23） D．（2，23）
【分析】连接OA，根据正多边形的性质得到∠AOH＝30°，AH＝2，根据勾股定理求出OH，根据规律解答．
【解答】解：连接OA，
∠AOH＝30°，AH＝2，
∴OH=OA2−AH2=23，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
2020÷6＝336…4，
∴当n＝2020时，顶点A的坐标为（﹣2，﹣23），
故选：B．


题型7：正多边形的旋转问题
7.一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）.图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，大正六边形在绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（　　）

A．S变化，l不变 B．S不变，l变化
C．S变化，l变化 D．S与l均不变
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OC．

∵∠HOG＝∠AOC＝120°，∠OCH＝∠OAG＝60°，
∴∠HOC＝∠GOA，
在△OHC和△OGA中，
∠HOC=∠GOAOC=OA∠OCH=∠OAG，
∴△HOC≌△GOA（ASA），
∴AG＝CH，
∴S阴＝S四边形OABC＝定值，l＝GB+BC+CH＝AG+BG+BC＝2BC＝定值，
故答案为：D．
【分析】先求出∠HOC＝∠GOA，再利用ASA证明△HOC≌△GOA，最后求解即可。

【变式7-1】五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（　　）

A．36° B．60° C．72° D．90°
【答案】C
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可知，每次旋转的度数可以是360°÷5=72°或72°的倍数.
故答案为：C
【分析】此题其实质就是求正五边形的中心角的问题，用360°÷即可算出答案.

【变式7-2】下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（　　）
A．正方形 B．正五边形 C．正六边形 D．正八边形
【答案】B
【解析】【解答】解：A、正方形的最小旋转角度为90°，故本选项错误；
B、正五边形的最小旋转角度为 36005 =72°，故本选项正确；
C、正六边形的最小旋转角度为 36006 =60°，故本选项错误；
D、正八边形的最小旋转角度为 36008 =45°，故本选项错误；
故选B．
【分析】求出各个选项图形的最小旋转角度，即可做出判断．

【变式7-3】如图，边长为1的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为1的圆上，其它各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为　 　．

【答案】12°
【解析】【解答】解：如图设圆心为O，连接OA、OB，点E落在圆上的点E′处．
∵AB=OA=OB，
∴∠OAB=60°，同理∠OAE′=60°，
∵∠EAB=108°，
∴∠EAO=∠EAB﹣∠OAB=48°，
∴∠EAE′=∠OAE′﹣∠EAO=60°﹣48°=12°，
∵点E旋转的角度和点C旋转的角度相等，
∴点C旋转的角度为12°，
故答案为12°．

【分析】因为点E旋转的角度和点C旋转的角度相等，所以求出点E旋转的角度即可．



一、单选题
1．如图，ABCD为⊙O内接四边形，若∠D=85°，则∠B=（　　）

A．85° B．95° C．105° D．115°
【答案】B
【解析】【分析】根据圆内接四边形互补的性质.由∠D=85°得∠B= 95°.故选B.
2．半径为 a 的圆的内接正六边形的边心距是（　　）
A．a2 B．2a2 C．3a2 D．a
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OH垂直AB于点H，OH即为正六边形边心距.

∵六边形ABCDEF为正六边形
∴∠AOB=60° ，OA=OB=AB=a，AH=BH= a2 ，
∴OH=OA2−AH2=a2−(a2)2=34a2=32a
即半径为 a 的圆的内接正六边形的边心距是3a2.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB，过点O作OH垂直AB于点H，OH即为正六边形边心距，根据正六边形的性质用勾股定理可求解.
3．如图，正六边形ABCDEF内接于于⊙O,连接BD，则∠CBD的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF ，
∴∠BCD=180°-（360°÷6）=120°，
∵CB=CD，
∴∠CBD=180°−120°2=30°；
故答案为：A.

【分析】先根据正多边形的外角和求出这个正六边形的一个内角的度数，再结合等腰三角形的性质，利用三角形的内角和定理即可求出∠CBD的度数.
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=(　　)
　
　　
A．35° B．70° C．110° D．140°
【答案】D
【解析】【分析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A=∠DCE=70°，由圆周角定理知，∠BOD=2∠A=140°．
【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°．
故选D．
【点评】圆内接四边形的性质：
1、圆内接四边形的对角互补；
2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角)．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半
5．若一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r1，r2，r3，则r1：r2：r3等于（　　）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：2：3 D．3：2：1
【答案】C
【解析】【解答】设圆的半径为R，则正三角形的边心距为R×cos60°．四边形的边心距为R×cos45°，正六边形的边心距为R×cos30°．则r1：r2：r3=1：2：3故选：C．

【分析】经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，∠O=180n，OC是边心距，OA即半径．根据三角函数即可求解．
二、填空题
6．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=100°，则∠BOD=　 　度．

【答案】160
【解析】【解答】解：∵ A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=100°，
∴∠A=180°−∠C=80°，
∴∠BOD=2∠A=160°.
故答案为：160
【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠A=180°−∠C=80°，再利用圆周角的性质可得∠BOD=2∠A=160°。
7．如图， AB 是⊙O的弦， OC⊥AB ，交⊙O于点 C ．连接 OA ， OB ， BC ．若 AB 是⊙O的内接正六边形的一边，则 ∠ABC 的度数为　 　．

【答案】15°
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的内接正六边形的一边，
∴∠AOB=360°6=60° ，
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
∴∠ABC= 12 ∠AOC=15°，
故答案为：15°．

【分析】根据已知条件得到∠AOB=60°，由等腰三角形的性质得出∠AOC=∠BOC=30°，再由圆周角定理即可得到结论。
8．一个正多边形的每个内角都等于140°，则它是正　 　边形．
【答案】九
【解析】【解答】解：∵多边形的各个内角都等于140°，
∴多边形的每一个外角都等于180°-140°=40°，
∴边数n=360°÷40°=9．
故答案为：九．

【分析】先利用平角求出每个外角的度数，再利用外角和除以它即可求出边数。
9．平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=1200，∠ACB=600，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是　 　．
【答案】2，3，4
【解析】【解答】解：考虑到∠AOB=1200，∠ACB=600，AO=BO=2，分两种情况探究：
情况1，如图1，

作△AOB，使∠AOB=1200， AO=BO=2，以点O 为圆心， 2为半径画圆，当点C在优弧AB上时，根据同弧所圆周角是圆心角一半，总有∠ACB= 12 ∠AOB=600，此时，OC= AO=BO=2．
情况2，如图2，

作菱形AOMB，使∠AOB=1200， AO=BO=AM=BM=2，以点M为圆心， 2为半径画圆，当点C在优弧AB上时，根据圆内接四边形对角互补，总有∠ACB=1800－∠AOB=600．此时，OC的最大值是OC为⊙M的直径4时，
所以，2＜OC≤4，整数有3，4．
综上所述，满足题意的OC长度为整数的值可以是2，3，4．
故答案为：2，3，4．

【分析】分两种情况：（1）∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则可利用圆周角定理推出点C在以点O为圆心，2为半径的圆上，故OC=2；（2）由∠AOB+∠ACB=180°可推出点A、O、B、C在同一个圆上，利用垂径定理、等边三角形得性质求出OC的取值范围，即可求出OC的整数值。
三、作图题
10．如图，已知 ⊙O ，点 A 在圆上，请以 A 为一顶点作圆内接正方形 ABCD .（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】解：如图，正方形ABCD为所作.

【解析】【分析】连接AO并延长，交圆于点C，然后作AC的垂直平分线，与圆的交点记为B、D，接下来连接A、B、C、D即可得到正方形ABCD.
四、解答题
11．一个正多边形的每一个外角都等于36°，求这个多边形的边数.
【答案】解：解：∵一个正多边形的每个外角都等于36°，
∴这个多边形的边数为360°÷36°=10.
【解析】【分析】由于多边形的外角和是固定的360°，故用多边形外角和的总度数除以每一个外角的度数即可算出多边形的边数.
12．四边形 ABCD 内接于⊙O，CB=CD，∠A=100°，点 E在 AD 上，求∠E 的度数.

【答案】解：连接BD，

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=100∘，
∴∠BCD=180°−100°=80° ，
∵CB=CD，
∴∠DBC=∠CDB ，
∴∠DBC=180°−80°2=50° ，
∴∠E=∠DBC=50° .
【解析】【分析】 连接BD，根据圆内接四边形对角互补，可求出∠BCD=180°-∠A=80°，利用等边对等角可得∠DBC=∠CDB，根据三角形的内角和求出∠DBC的度数，利用同弧所对的圆周角相等可得∠E=∠DBC，从而求出结论.
13．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．

【答案】证明 ∵A、D、C、B 四点共圆，∴∠A=∠BCE，∵BC=BE，∴∠BCE=∠E，∴∠A=∠E，∴AD=DE，即 △ADE 是等腰三角形．
【解析】【分析】由圆内接四边形的性质可知，∠A与∠DCB互补，而∠BCE与∠DCB也互补，可知∠A=∠BCE；由等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，可知∠BCE=∠E，所以∠A=∠E，再由等腰三角形的判定可知AD=DE，即△ADE是等腰三角形。
14．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．

（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；
（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．
【答案】（1）解：连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．
所以r：a=1：1；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b=AO：BO=sin60°= 3 ：2.

（2）解：T1：T2的边长比是 3 ：2，
所以S1：S2=（a：b）2=3：4．
【解析】【分析】（1）由题意可知正六边形T1的边长为a，而圆O的半径与正六边形T1的边长相等，所以r：a=1：1；正方形T2的边长为b，而圆O的半径为正六边形T2的弦心距，所以r：b=3：2。
（2）由相似多边形的性质可以相似多边形的面积比等于相似比的平方，由（1）题中的比值可求得a：b=r：b，即可求得T1与T2的面积比。
15．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形.

（1）求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF.
（2）设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求S1S2的值.
【答案】（1）解：连接AE，AD，AC，

∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴EF=ED=CD=BC，
∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，
即过顶点A的三条对角线四等分∠BAF；
（2）解：过点O作OG⊥DE于G，连接OE，
设圆O的半径为r，
∴EF=BC=ED=r，AD=2r，
在正六边形ABCDEF中，
∠OED=∠ODE=60°，
∴∠EOG=30°，
∴EG=12r，
∴OG=OE2−EG2=32r，
∴正六边形ABCDEF的面积=6×12×r×32r=332r2，
圆O的面积=πr2，
∴S1S2=πr2332r2=23π9.
【解析】【分析】（1）连接AE，AD，AC，由正多边形的性质得EF=ED=CD=BC，再利用同圆中弧、弦、圆心角之间的关系及圆周角定理得∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，由此可证得结论；
（2）过点O作OG⊥DE于G，连接OE，设圆O的半径为r，可得EF=BC=ED=r，AD=2r，由正六边形的性质可求出∠EOG=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可证得 EG=12r， 利用勾股定理表示出OG的长，然后求出正六边形的面积和圆O的面积，然后求出 S1S2的值 .
16．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON

（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是　 　，图3中∠MON的度数是　 　
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是　 　
【答案】（1）解：如图，连接OB、OC，则 OC=OB ，

∵△ABC 是 ⊙O 内接正三角形，
∴ 中心角 ∠BOC=360°3=120° ，
∵点O是 ⊙O 内接正三角形ABC的内心，
∴∠OBM=12∠ABC=30°，∠OCN=12∠ACB=30° ，
∴∠OBM=∠OCN ，
在 △OMB 和 △ONC 中， BM=CN∠OBM=∠OCNOB=OC ，
∴△OMB≅△ONC(SAS) ，
∴∠BOM=∠CON ，
∴∠MON=∠BON+∠BOM=∠BON+∠CON=∠BOC=120° ，
故答案为： 120°
（2）90°；72°
（3）∠MON=360°n
【解析】【解答】（2）如图1，连接OB、OC，

∵ 四边形ABCD是 ⊙O 内接正方形，
∴ 中心角 ∠BOC=360°4=90° ，
同（1）的方法可证： ∠MON=∠BOC=90° ；
如图2，连接OB、OC，

∵ 五边形ABCDE是 ⊙O 内接正五边形，
∴ 中心角 ∠BOC=360°5=72° ，
同（1）的方法可证： ∠MON=∠BOC=72° ，
故答案为： 90° ， 72° ；
（3）由上可知， ∠MON 的度数与正三角形边数的关系是 ∠MON=360°3 ，
∠MON 的度数与正方形边数的关系是 ∠MON=360°4 ，
∠MON 的度数与正五边形边数的关系是 ∠MON=360°5 ，
归纳类推得： ∠MON 的度数与正n边形边数n的关系是 ∠MON=360°n ，
故答案为： ∠MON=360°n ．
【分析】（1）先分别连接OB、OC，可求出∠BOM=∠CON ，再由圆周角定理即可求出∠MON的度数；
（2）同（1）即可解答；
（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答。