2022-2023学年度吉林省长市东北师大附中净月实验学校九年级上学期期末考试数学试题

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2022-2023学年上学期九年级期末考试数学学科试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 实数﹣2023的绝对值是（　　）
A. 2023 B. ﹣2023 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的代数意义即可得出答案．
【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数，
所以，﹣2023的绝对值等于2023．
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键．
2. 作为我国核电走向世界的“国家名片”，“华龙一号”是当前核电市场接受度最高的三代核电机型之一，是我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的三代压水堆核电创新成果，中核集团“华龙一号”示范工程全面建成后，每台机组年发电能力近200亿千瓦时．200亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用科学记数法的表示方法：，进行表示即可．
【详解】解：200亿；
故选C．
【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法，是解题的关键．
3. 如图所示的几何体是由7个相同的小正方体组合成的，从左面看到的图形是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定几何体的左视图，即可得解．
【详解】解：从左面看到的图形是：

故选B．
【点睛】本题考查判断由小正方体堆砌而成的几何体的左视图．熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．
4. 如图，点A、B、C在上，点D是延长线上一点，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取圆上任一不同于点A、B、C的点，连接，利用圆内接四边形的一个外角等于内对角，以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得解．
【详解】解：如图，取圆上任一不同于点A、B、C的点，连接，

则：，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查圆内接四边形，以及圆周角定理．熟练掌握圆内接四边形的外角等于内对角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
5. 在山坡上植树，要求两颗树间的坡面距离是3，测得斜坡的倾斜角为，则斜坡上相邻两棵树的水平距离是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，构造直角三角形，利用锐角三角函数，进行求解即可．
【详解】解：如图，构造，，，
则：，
∴；
即斜坡上相邻两棵树的水平距离为：；
故选B．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用．通过添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
6. 如图，四个三角形拼成一个风车图形，若，当风车转动，点B运动的路径长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可知：B点的运动路径是以A点为圆心，长为半径，风车转动的圆弧，计算即可．
【详解】解：，风车转动，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式：．
7. 已知，且点，，都在函数的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：，，抛物线的开口向下，对称轴为：，
当时，随的增大而减小；
∵，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查比较二次函数值的大小．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
8. 如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为点C，交y轴于点A．则的面积为（ ）

A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】过点作轴于点，则四边形为矩形，根据反比例函数值的几何意义，得到矩形的面积等于，再根据的面积是矩形面积的一半即可得解．
【详解】解：过点作轴于点，

∵轴，，
∴，
∴四边形为矩形，
设与轴的交点为，
则：四边形和四边形均为矩形，
∵点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，
∴矩形面积，
∵为矩形的对角线，
∴的面积等于矩形的面积的一半，即：的面积等于；
故选B．
【点睛】本题考查利用值的几何意义，求图形的面积．熟练掌握反比例函数值的几何意义，是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 分解因式a2b+ab2＝______．
【答案】ab（a+b）
【解析】
【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案．
【详解】解：a2b+ab2＝ab（a+b）．
故答案为：ab（a+b）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
10. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程有两个相等的实数根，，进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的系数的关系．熟练掌握，方程有两个相等的实数根，是解题的关键．
11. 将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．
【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
12. 计算______．
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值，进行计算即可．
【详解】解：原式

；
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
13. 如图，在等腰直角中，，，分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】利用的面积减去两个扇形的面积，即可得解．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，，
∴，，，
∴，
∴阴影部分的面积


；
故答案为：．
【点睛】本题考查阴影部分的面积．利用割补法将阴影部分的面转化为规则图形的面积，是解题的关键．
14. 如图，点P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为______．

【答案】
【解析】
【分析】设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质可得最大值．
【详解】解：设点P的坐标为，，
由题意可知：四边形的周长，
，
当时，C有最大值，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键．
三、解答题（15-17题6分，18-20题7分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】运用平方差公式进行因式分解，化简后，再代值计算即可．
【详解】解：原式

；
当时，原式．
【点睛】本题考查整式的化简求值．熟练掌握平方差法因式分解，是解题的关键．
16. 小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排志愿者被随机分到组（体温检测）、组（便民代购）、组（环境消杀）．
（1）小红的爸爸被分到组的概率是______；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，可求出概率．
（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算“他与小红的爸爸”分到同一组的概率．
【详解】（1）共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1种，
因此被分到“B组”的概率为，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
小红爸爸
王老师
A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC
共有9种可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，
∴P（他与小红爸爸在同一组）=．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确求解的前提．
17. 如图，都是的半径，，．求度数．

【答案】
【解析】
【分析】根据，得到优弧的度数，进而得到劣弧的度数，从而得到的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出，再利用进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴优弧的度数为，
∴劣弧的度数为：，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理．熟练掌握弧，圆心角和圆周角之间的关系，是解题的关键．
18. 如图，是由小正方形组成的6×6网格，的三个顶点A、B、C都在格点上．在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不写画法．

（1）在图1中作的中线；
（2）在图2中作的高线；
（3）在图3中边上确定点F，使得．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析 （3）画图见解析
【解析】
【分析】（1）取格点，，连接，交于点，连接，延长交于．
（2）利用构造，借助三角形全等的性质，互余的性质判断即可．
（3）取格点N满足，在的延长线上取格点S，满足，则，连接，交于点F即可．
【小问1详解】
解：画图如下，取格点，，连接，交于点，
连接，延长交于，
则即为所求．
【小问2详解】
利用构造，画图如下：
取格点，，连接交于，则即为所求．
【小问3详解】
取格点N满足，在的延长线上取格点S，满足，则，
连接，交于点F，
根据三角形相似，得到，
∵，
∴，
故点F即为所求．

【点睛】本题考查了网格上作图，熟练掌握矩形的性质，三角形的三条中线交于一点，三角形全等的判定与性质，三角形相似判定和相似三角形的性质是解题的关键．
19. 如图，在中，，以为直径作半圆，交边于点D，过点D作，垂足为点E，交的延长线于点F．求证：是的切线．

【答案】见解析
【解析】
【分析】连接，利用，得到，根据，得到，从而得到，进而得到，再根据，得到，即可得证．
【详解】证明：连接，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．

【点睛】本题考查切线的证明．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，以及同位角相等，两直线平行，是解题的关键．
20. 某体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分学生进行一分钟跳绳的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
分组
频数
频率
第一组（）
3

第二组（）
8
a
第三组（）
7

第四组（）
b


（1）频数分布表中______， ______，并将统计图补充完整；
（2）如果该校九年级共有学生600人，估计跳绳能够一分钟完成160或160次以上的学生有多少人？
（3）根据体育考试要求，每分钟完成120次以上同学为良好，请你根据现有情况对学生居家体育锻炼提出合理建议．
【答案】（1），图见解析
（2）
（3）对于达到每分钟完成120次以上的同学正常进行锻炼，对于低于每分钟完成120次以上的同学要加强居家锻炼，逐渐加大强度，进行计时练习（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）用第一组的频数除以频率，算出总数，利用第二组的频数除以总数得到，利用总数乘以第四组的频率得到，再补全统计图即可；
（2）利用600乘以第三组和第四组的频率之和，即可得解；
（3）对于达到每分钟完成120次以上的同学正常进行锻炼，对于低于每分钟完成120次以上的同学要加强居家锻炼，逐渐加大强度，进行计时练习．
【小问1详解】
解：调查的学生总人数为：人，
∴，；
故答案为：；
补全统计图如下：
【小问2详解】
解：人；
答：估计跳绳能够一分钟完成160或160次以上的学生有人．
【小问3详解】
对于达到每分钟完成120次以上的同学正常进行锻炼，对于低于每分钟完成120次以上的同学要加强居家锻炼，逐渐加大强度，进行计时练习．（答案不唯一）
【点睛】本题考查频数分布直方图．熟练掌握频率等于频数除以总数，是解题的关键．
四、解答题（21题8分，22题9分，23题10分，24题12分）
21. 小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30min．小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示
（1）家与图书馆之间的路程为多少m，小玲步行的速度为多少m/min；
（2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）求两人相遇的时间．

【答案】（1）家与图书馆之间路程为4000m，小玲步行速度为100m/s；（2）自变量x的范围为0≤x≤；（3）两人相遇时间为第8分钟．
【解析】
【分析】(1)认真分析图象得到路程与速度数据；
(2)采用方程思想列出小东离家路程y与时间x之间的函数关系式；
(3)两人相遇实际上是函数图象求交点．
【详解】解：(1)结合题意和图象可知，线段CD为小东路程与时间函数图象，折现O﹣A﹣B为小玲路程与时间图象
则家与图书馆之间路程为4000m，小玲步行速度为（4000-2000）÷（30-10）=100m/s
(2)∵小东从离家4000m处以300m/min的速度返回家，则xmin时，
∴他离家的路程y=4000﹣300x，
自变量x的范围为0≤x≤，
(3)由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前，
∴4000﹣300x=200x
解得x=8
∴两人相遇时间为第8分钟．
故答案为(1)4000，100；(2)y=4000﹣300x，0≤x≤；(3)第8分钟.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是能从函数的图象中获取相关信息.
22. 【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
猜想
如图23.4.2.在△ABC中，点D、E分别是AB与AC中点，根据画出的图形，可以猜想：
DE∥BC，且DE=1/2BC.
对此，我们可以用演译推理给出证明。





【定理应用】

（1）如图1，点D、E、F分别是三边中点，若的周长为10，则的周长是______；
（2）如图2，、是的中线，，点M、N分别是和的中点，若，那么的长为______；
（3）如图3，在矩形中，将线段绕点B旋转一定的角度，得到线段，连结，点H，G分别是和的中点，连结，，，已知，，则的面积最大值为______．
【答案】（1）5 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角形的中位线定理，进行求解即可；
（2）取的中点，连接，利用三角形的中位线定理以及勾股定理，进行求解即可；
（3）根据三角形的中位线定理，得到为定值，只要边上的高最大时，的面积最大，即为高时，面积最大，进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵点D、E、F分别是三边中点，
∴，
∴的周长；
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图：取的中点，连接，

∵点M、N分别是和的中点，
∴，
∵，、是的中线，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵点H，G分别是和的中点，
∴，
∵的面积等于乘以上的高，
∴当上高最大时，的面积最大，
∵上的高，
∴当时，的面积最大，
如图，当绕点旋转时，此时：，

此时：，
∴的面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，勾股定理，旋转的性质．熟练掌握三角形的中位线平行且等于第三边的一半，是解题的关键．
23. 如图，在中，，，，一动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿运动，点P不与点A、B重合，过点P向边作垂线垂足为Q，分别以、为边在点A右侧作平行四边形．设点P的运动时间为t秒．

（1）请直接写出边的长；
（2）用含t的代数式表示线段的长；
（3）当点D落在边上时，求t的值；
（4）在整个运动过程中，当点D落在的中线所在直线上时，直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）
（4）或或
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理进行计算即可；
（2）分在上和在上两种情况讨论求解，当在上，证明，利用相似比进行求解；当在上，证明，求出，利用即可得解；
（3）证明，利用相似比进行求解；
（4）分在边上的中线上，在边上的中线的延长线上和在边上的中线上，三种情况，讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴；
【小问2详解】
解：∵动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿运动，
①当在上时：如图：此时，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴；
②当在上时：如图：此时，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
综上：或；
【小问3详解】
解：当点D落在边上时，如图：

∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，即：，
解得：；
∴当时，D落在边上；
【小问4详解】
解：①当在边上的中线上时，如图：

∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵为的中线，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，即：，
解得：；
②当在边上的中线的延长线上时，如图：

∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵为的中线，
∴，
由（2）知，当在上时，，，
∴，
∴，即：，
解得：；
③当在边上的中线上时，如图：

∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵为的中线，
∴，
由（2）知，
∴，
∴，即：，
解得：；
综上：当或或时，点D落在的中线所在直线上．
【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的对边平行且相等，证明三角形相似，是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（m为常数）．
（1）当抛物线经过点时，求m的值；
（2）求该抛物线的顶点横坐标x与纵坐标y满足的数量关系；
（3）当时，
①若，，则n的取值范围是______；
②当点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为a，点B的横坐标为．将此抛物线上A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当点A在x轴下方，图象的最低点到两坐标轴的距离和是图象的最高点到x轴的距离的3倍，直接写出a的取值．
【答案】（1）
（2）
（3）①；②或
【解析】
【分析】（1）将点代入解析式即可求出m；
（2）将解析式化为顶点式，得到顶点坐标，即可得到答案；
（3）①求出当时，抛物线的解析式，得到抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，由抛物线图象的增减性及对称性得到n的取值范围；
②先求出抛物线与x轴交点坐标为，再分两种情况：当时，当时，分别列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，
整理得：，
解得；
【小问2详解】
∵，
∴顶点坐标为，
∴该抛物线的顶点横坐标x与纵坐标y满足的数量关系是；
【小问3详解】
①当时，抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∵，当时，，
∴图象过点，
∴，
∵点关于对称轴对称的点坐标为，
∴，
∴；
故答案为：；
②当时，解得或，
∴抛物线与x轴交点坐标为，
∴当时，，
此时图象G的最低点坐标为，最高点坐标为，
∴，
解得（舍去），；
当时，图象G的最低点坐标为，最高点坐标为，
∴，
解得（舍去），（舍去），
当时，图象G的最低点坐标为，最高点坐标为，
∴，
解得（舍去）；
综上，a的值为或．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，图象的对称轴，图象的顶点坐标，图象与坐标轴的交点，解一元二次方程，正确理解二次函数的图象和性质是解题的关键．