2022-2023学年度吉林省长市东北师范大学附属净月实验学校九年级上学期第一次月考数学试题

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东北师大附中净月实验学校
2022—2023学年初三（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本题共8小题，共24分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在中，，，，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题利用勾股定理求出AC边长，在根据直角三角形中为的对边长与临边长的比值即可求解.
【详解】解：∵为直角三角形，
∴，
∴.
故选C.
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，利用正切的定义求解即可，属于基础题型.
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的顶点式：，顶点坐标为即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线，
∴该函数顶点坐标是．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质．解答本题的关键理解和掌握抛物线的顶点式．
3. 抛物线经过三点，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
【详解】解：∵
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
4. 如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度AC为1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角为，则B、C之间的距离为（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】利用正切的定义求解即可．
【详解】解：由题意，∠ABC=，∠ACB=90°，AC=1200，
∵tan=，
∴BC=，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟知正切tan=是解答的关键．
5. 一艘渔船从港口沿北偏东60°方向航行60海里到达处时突然发生故障，位于港口正东方向的处的救援艇接到信号后，立即沿北偏东45°方向以40海里/小时的速度前去救援，救援艇到达处所用的时间为（ ）

A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
【答案】D
【解析】
【分析】过点C作，垂足为点D，先求出的长度，再根据勾股定理求出的长度即可．
【详解】解：过点C作，垂足为点D，

∵，海里，
∴海里，
∵，
∴，
根据勾股定理得：海里，
∴救援艇到达处所用的时间为：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、含有角的直角三角形，以及等腰直角三角形，解题的关键是熟练掌握含有角的直角三角形，所对的边等于斜边的一半．
6. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．
【详解】将化为顶点式，得.
将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛
物线的解析式为.
故选B.
【点睛】考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
7. 函数与的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象与系数的关系，看两个函数的系数符号是否一致，即可判断；
【详解】解：由函数与抛物线可知两函数图象交轴上同一点，抛物线对称轴为直线，在轴的左侧，
、抛物线的对称轴在轴的右侧，故选项错误；
B、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象知道，故选项错误；
C、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象知道，且交于轴上同一点，故选项正确；
D、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象知道，故选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数图象与系数的关系，解题关键是明确函数图象与系数的关系，树立数形结合思想，准确进行判断推理．
8. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，经过点A、B的抛物线的顶点为E，若为等腰直角三角形，则a的值为（　　）

A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作轴于，交于，求出、的坐标，代入函数解析式，即可求出答案．
【详解】解：∵抛物线的顶点为，且经过点、，
∴抛物线的对称轴是直线，且、关于直线对称，过点作轴于，交于，

∵为等腰直角三角形
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
把、的坐标代入得，
∴解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，求出、的坐标是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，共18分）
9. 函数是二次函数，则m＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数定义可得m-4=2，再解即可．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
10. 已知抛物线的解析式为，则抛物线的对称轴是直线_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据所给抛物线解析式顶点式即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴为直线是解题的关键．
11. 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 ________ 米 （结果保留根号）

【答案】
【解析】
【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.
【详解】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，
∴CE=，
∴DF=CE=，
∴，
故答案为：．

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．
12. 抛物线的图象上有两点，则b的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质和二次函数的对称性可知，A、B两点纵坐标相等，则A和B关于对称轴对称．二次函数的对称轴为，所以，最后解出答案即可．
【详解】A和B都在二次函数y=的图象上，且纵坐标相等，
点A和B关于对称轴对称，
，
解得．
故答案为-6．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质与二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．
13. 在中，，，，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出图形，如图所示，作CD垂直于BA，交BA延长线于点D，在直角三角形ACD中，利用邻补角定义求出∠CAD=60°，进而确定出∠ACD=30°，利用30度角所对直角边等于斜边的一半求出AD的长，利用勾股定理求出CD的长，由AD+DB求出DB的长，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的长，利用锐角三角函数定义即可求出sinB的值．
【详解】解：

根据题意画出图形，如图所示，过C作CD⊥BA，交BA延长线于点D，
∵∠BAC=120°，∴∠CAD=60°，
在Rt△ACD中，∠ACD=30°，AC=2，
∴AD=AC=1，
根据勾股定理得：CD==，
在Rt△BCD中，CD=，BD=BA+AD=4+1=5，
根据勾股定理得：BC==，
则sinB===．
故答案为．
【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，含30度直角三角形的性质，画出相应的图形是解本题的关键．
14. 在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示）．当直线y＝m与图象G有4个交点时，则m的取值范围是_____．

【答案】﹣＜m＜0
【解析】
【分析】如图，通过y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+和对称的性质得到D（，﹣），结合函数图象得到答案．
【详解】解：y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+．
因为 新函数的图象G是由二次函数y＝﹣x2+x+6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方得到的，
所以 新函数的图象G的顶点坐标D（，﹣），
当直线y＝m与图象G有4个交点时，则m的取值范围是﹣＜m＜0．
故答案是：﹣＜m＜0．

【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，二次函数图象与几何变换，抛物线与x轴的交点. 解决本题的关键在于当直线y＝m与图象G有4个交点时，直线y＝m要在x轴下册，新函数的顶点上侧，所以利用原函数及轴对称求出新函数的顶点很重要.
三、解答题（共10小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 计算：=_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据实数的性质化简即可求解．
【详解】
=
=．
故答案为：
【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
16. 已知抛物线L：y＝(m－2)x2＋x－2m(m是常数且m≠2)．
（1）若抛物线L有最高点，求m的取值范围；
（2）若抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同、开口方向相反，求m的值．
【答案】（1）m