数学丨河南省焦作市博爱县第一中学2024届高三上学期８月开学考试数学试卷及答案

这是一份数学丨河南省焦作市博爱县第一中学2024届高三上学期８月开学考试数学试卷及答案，共17页。

焦作市博爱一中2023—2024学年高三年级（上）定位考试
数 学

考生注意：
1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。


一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则能使成立的实数a的取值的集合是( ).
A. B. C. D.
2. 已知，，，若不等式恒成立，则m的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.7
3. 对于问题“求证方程只有一个解”，可采用如下方法进行证明“将方程化为，设，因为在R上单调递减，且，所以原方程只有一个解”.类比上述解题思路，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
4. 若复数z所对应的点在第四象限，且满足，则( )
A. B. C. D.
5. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A. B. C. D.
6. 已知四面体的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD上靠近点C的四等分点，则等于( )
A. B. C. D.
7. 已知O为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为H，则( )
A.1 B.2 C.4 D.
8. 若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知集合有且仅有两个子集，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.若不等式的解集为，则
D.若不等式的解集为，且，则
10. 已知，，若圆上存在点M满足，则实数a可以是( )
A.-1 B. C.0 D.1
11. 已知直线，，不能围成三角形，则实数a的取值可能为( )
A.1 B. C.-2 D.-1
12. 若定义在R上的函数，对任意两个不相等的实数，，都有，则称函数为“H函数”，下列函数是“H函数”的有( ).
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则________.
14. 正四棱柱中，与平面所成角的正弦值为，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
15. 已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是______.
16. 某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是__________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知函数，且，.
（1）求的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明.





18. （12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围.






19. （12分）如图，在三棱锥中，，D是BC的中点，平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知，，，.

（1）求证：.
（2）若点M是线段AP上一点，且，试证明平面平面BMC.








20.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，直线.设圆C的半径为1，圆心在l上.

（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围.







21.（12分）某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段，AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴，O是AB的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上.经测量，直路AB段长为60米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米.以O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.

（1）求该段抛物线的方程；
（2）当CD长为多少米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？







22.（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过，两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得直线l与圆相切，与椭圆C交于A，B两点，且满足(O为坐标原点)?若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由.





参 考 答 案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 答案：C
解析：解：由知，且，解得.
2.答案：C
解析：因为，所以.又因为，，所以，当且仅当时取等号.由题意可得，即，则m的最大值为3.故选C.
3.答案：A
解析：由不等式，
得.
设函数，则，
所以在R上单调递增.
因为，
所以.解得或.
故选：A.
4.答案：C
解析：根据已知有：因为复数z满足：，即，故或，因为复数z所对应的点在第四象限，故复数，所以.故选C.
5.答案：D
解析：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为，则
由题意可知，，
因此有
，
即，
解得，
因为，
所以.
所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为.
故选：D.
6.答案：D
解析：因为E是棱AB的中点，F是棱CD上靠近点C的四等分点，所以，所以.因为，
，
，所以.故选D.
7.答案：A
解析：根据双曲线的对称性，不妨在双曲线右支上取点P，延长，交于点Q，图略.由角平分线性质及可知.根据双曲线的定义得，，从而，在中，OH为其中位线，故.故选A.
8.答案：A
解析：因为，
所以，设，，则，，
令
恒成立，故单调递减，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
故所以，得到.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.答案：ABD
解析：由于集合有且仅有两个子集，所以，.因为，所以.，当且仅当，时等号成立，故A正确.，当且仅当，即，时等号成立，故B正确.不等式的解集为，则，故C错误.不等式的解集为，即不等式的解集为，且，又因为，，所以，所以，故D正确.选ABD.
10.答案：ABC
解析：点M在以AB为直径的圆上，故问题等价于圆O与圆C有公共点，所以，解得，故选ABC.
11.答案：BCD
解析：因为直线的斜率为3，直线的斜率为，所以直线，一定相交，交点坐标是方程组的解，解得所以交点坐标为.当时，直线与x轴垂直，方程为，不经过点，所以三条直线能围成三角形.当时，直线的斜率为.若直线与直线的斜率相等，则，即，此时这两条直线平行，因此这三条直线不能围成三角形；若直线与直线的斜率相等，则，即，此时这两条直线平行，因此这三条直线不能围成三角形；若直线过直线，的交点，则，即，此时三条直线不能围成三角形.故选BCD.
12.答案：BC
解析：由题意可知是R上的增函数.
对于A，由，得，所以在区间上为增函数，故A中函数不是“H函数”；
对于B，，又，所以恒成立，故B中函数是“H函数”；
对于C，恒成立，故C中函数是“H函数”；
对于D，易知为偶函数，所以它不可能为R上的增函数，故D中函数不是“H函数”.
三、填空题：每小题5分，共4小题，共20分.
13.答案：
解析：因为，，
所以，
所以
，所以，
，所以，
则.
故答案为：.
14.答案：
解析：以A为原点，AB，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图.

设，，则，，，，，所以，平面的一个法向量.设与平面所成的角为，则，解得.所以，.设异面直线与所成的角为，则.
15.答案：
解析：求导函数，可得，，，，

在上单调递增，
，
对任意的，，都有成立，
，
，
故答案为：.
16.答案：240
解析：先将5名学生分成4组共有种，
再将4组学生安排到4所不同的学校有种，
根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有种.
故答案为：240.
四、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.答案：（1）
（2）单调递增，证明见解析
解析：（1）由题意，得，即，
解得：，.故.
（2）方法一：在上单调递增.
证明：，且，则.
由，得，，，
所以，即.故在上单调递增.
方法二：在上单调递增.
证明：，且，则
.
由，得，，所以.故在上单调递增.

18.答案：（1）或
（2）
解析：（1）因为，且，
则，
又，所以，即，
故或；
（2）由，则，
由，解得，
又与不共线，则，解得，
故与的夹角为锐角时，实数的取值范围为：.

19.答案：
（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）因为，D是BC的中点，所以.
如图，以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以射线AD方向为y轴正方向，以射线OP的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，，
所以，
所以，即.
（2）因为平面，平面ABC，所以.
因为，，所以.
因为M为AP上一点，且，所以.
由（1）得，所以.
又，所以.
所以，.
设平面BMC的法向量为，
则即
令，则，，所以.
设平面AMC的法向量为，
则即
令，则，，所以.
所以，
所以，所以平面平面BMC.

20.答案：
（1）或，即或
（2）
解析：（1）由得则圆心.
又圆C的半径为1，圆C的方程为.
显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，即.
，，
，或.
所求圆C的切线方程为或，即或.
（2）设，则由，得，即，故点M的轨迹方程为，记为圆D.
根据题意只要保证圆D与圆C有公共点即可.
设，则，即，解得.
圆心C的横坐标a的取值范围为.

21.答案：（1），
（2）20米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大
解析：（1）设该抛物线的方程为，由条件知，，，
所以，解得，故该段抛物线的方程为，.
（2）由（1）可设，所以梯形ABCD的面积，，设，，则，令，解得，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数.所以当时，取得极大值，也是最大值.故当CD长为20米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大.

22.答案：（1）
（2）不存在直线l满足题意，理由见解析
解析：（1）设椭圆C的方程为.因为过，两点，故解得，所以椭圆C的方程为.
（2）假设存在直线l满足题意.
(i)当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为.
当时，，，，
同理可得，当时，.
(ii)当直线l的斜率存在时，设l的方程为，设，，
因为直线l与圆O相切，所以，即①，
联立方程组整理得，，
由根与系数的关系得
因为，所以.
所以，
所以，
整理得②，
联立①②，得，此时方程无解.
由(i)(ii)可知，不存在直线l满足题意.